Enseigner la géométrie au cycle 3 Mercredi 6 février 2013

A quoi bon enseigner la géométrie ?

1- Déterminer longueurs, angles, aires, volumes… 1- Déterminer longueurs, angles, aires, volumes….parallélisme, orthogonalité, alignement 2- Travailler sur des représentations (d’objets réels…ou d’objets mathématiques) 3- Apprendre à raisonner, à démontrer 4- Fournir des outils utiles aux mathématiques, mais pas seulement!!!!

1- Déterminer des mesures de grandeurs étymologie du mot « géométrie » γη (terre) μετρον (mesure) Que mesure-t-on? - longueurs, distances, - angles, - aires, superficies, - volumes…

Longueurs et angles 1 La détermination de la mesure peut être directe, grâce aux instruments Cela concerne la vie courante et les premières années d’enseignement de la géométrie.

Longueurs et angles 2 Et si la mesure directe n’est pas possible, ou n’est pas assez précise? Quelques exemples: La distance, à vol d’oiseau, entre Lille et Marseille La hauteur d’un arbre La distance de Paris à New York Il va falloir calculer…. A partir d’un plan, pour déterminer la distance de Lille à Marseille; après avoir mesuré sur le plan, on se ramène à un calcul utilisant l’échelle. Pour l’arbre on fera comme Thalès; on appliquera le théorème qui porte son nom. - La distance à vol d’oiseau (distance orthodromique) entre deux points éloignés de la Terre n’est pas calculée à partir d’un plan…il n’y a pas de plan de la Terre. Il faut alors la calculer….

Calculer une aire, un volume Des formules en pagaille Encore faut-il connaître la nature de l’objet et ses « dimensions » pour les utiliser…

2- Travailler sur des représentations d’objets mathématiques ou d’objets réels

Lire un plan, Construire ou reproduire une figure, Ecrire un programme de construction, Représenter un objet de l’espace, Lire une représentation d’un objet de l’espace, Raisonner sur l’objet ou sur sa représentation…..

3 - Apprendre à raisonner, à démontrer Dans les manuels de CM2 on commence à lire : « justifie la solution adoptée », « explique comment tu as fait », dans des problèmes de construction. Le raisonnement déductif est l’enjeu principal de la formation mathématique au collège. Progressivement la démonstration se met en place en fin de collège, puis au lycée. Les élèves développent ainsi des capacités transférables à bien d’autres domaines que les mathématiques Que seulement en CM2 les manuels demandent clairement de justifier, d’expliquer ne signifie pas pour autant qu’il ne faille pas le faire avant….surtout à l’oral; pour demander à un élève pourquoi il fait ceci plutôt que cela pour lui demander d’expliquer à ses camarades ce qu’il réalise au tableau il n’est pas nécessaire d’attendre le CM2!!! Il est important de ménager une grande progressivité dans l’apprentissage de la démonstration et de faire une large part au raisonnement, enjeu principal de la formation mathématique au collège. La rédaction et la mise en forme d’une preuve gagnent à être travaillées collectivement ,avec l’aide du professeur, et à être présentées comme une façon convaincante de communiquer un raisonnement aussi bien à l’oral que par écrit. La conjecture joue un rôle particulier dans cet apprentissage. L’outil informatique et les logiciels de géométrie dynamique sont alors une aide.

4- Fournir des outils utiles aux mathématiques …. …..mais pas seulement en sciences physiques, plus précisément en optique géométrique en histoire des arts

L’enseignement de la géométrie, de la maternelle au collège A la maternelle : appropriation de l’espace et des formes, A l’école élémentaire, en cycle 2 : poursuite de l’appropriation de l’espace et des formes, première approche d’objets mathématiques et des relations qu’ils entretiennent (alignement, angle droit, axe de symétrie, égalité de longueurs…); Reconnaître, décrire, tracer……. Utilisation d’un vocabulaire adapté….

L’enseignement de la géométrie, de la maternelle au collège Au cycle 3, « l’objectif principal de l’enseignement de la géométrie du CE2 au CM2 est de permettre aux élèves de passer progressivement d’une reconnaissance perceptive des objets à une étude fondée sur le recours aux instruments de tracé et de mesure. » (objectifs généraux du programme). Les éléments de géométrie dans l’espace et de géométrie plane sont clairement identifiés. Les objets mathématiques, les relations et propriétés sont de plus en plus présents ; les figures planes classiques peuvent alors être définies, leurs propriétés étudiées. On aborde les premières représentations des solides mathématiques de l’espace. La modélisation de situations réelles est possible. Reconnaître, décrire, reproduire, construire une figure, et aussi vérifier, à l’aide des instruments, la nature d’une figure ; utiliser le vocabulaire spécifique adapté. La place des problèmes est soulignée.

L’enseignement de la géométrie, de la maternelle au collège Les objectifs généraux en 6ème : À l’école élémentaire, les élèves ont acquis une première expérience des figures et des solides les plus usuels, en passant d’une reconnaissance perceptive (reconnaissance des formes) à une connaissance plus analytique prenant appui sur quelques propriétés (alignement, perpendicularité, parallélisme, égalité de longueurs, milieu, axes de symétrie), vérifiées à l’aide d’instruments. Ils ont été entraînés au maniement de ces instruments (équerre, règle, compas, gabarit) sur des supports variés, pour construire des figures, en particulier pour le tracé de perpendiculaires et de parallèles à l’aide de la règle et de l’équerre. Les travaux conduits en sixième prennent en compte les acquis antérieurs […] et obéissent à de nouveaux objectifs. Ils doivent viser d'une part à stabiliser les connaissances des élèves et d'autre part à les structurer.

L’enseignement de la géométrie, de la maternelle au collège En sixième la résolution de problèmes a pour objectifs : - de compléter la connaissance des propriétés des figures planes et des solides usuels, - de maîtriser les techniques de construction (utilisation des instruments et logiciels adaptés, mobilisation des connaissances dans les raisonnements implicites sous-jacents), - de reconnaître les figures planes usuelles dans une configuration complexe, - de conduire sans formalisme des raisonnements simples utilisant les propriétés des figures usuelles ou de la symétrie axiale, - de passer d’un objet de l’espace à ses représentations (et réciproquement).

En bref…. Un cycle 2 tourné vers le réel ; Un cycle 3 permet de conceptualiser les objets mathématiques, leurs relations et leurs propriétés, utilise les outils de construction et de mesure pour construire des figures ou vérifier leur nature….et aborde, en géométrie dans l’espace, les premières représentations des solides ; Le collège permet de consolider les acquis du primaire, de mettre en place, progressivement, la démonstration pour justifier les propriétés d’une figure (à partir des données de l’énoncé, du codage des figures ou de théorèmes) et de raisonner sur des solides à partir de représentations.

L’école maternelle : le programme AGIR ET S’EXPRIMER AVEC SON CORPS À la fin de l’école maternelle l’enfant est capable de : …………………………………………….. - se repérer et se déplacer dans l’espace ; - décrire ou représenter un parcours simple. • DECOUVRIR LE MONDE À la fin de l’école maternelle l’enfant est capable de : ………………………………………………….. - se situer dans l’espace et situer les objets par rapport à soi ; - se repérer dans l’espace d’une page ; - comprendre et utiliser à bon escient le vocabulaire du repérage et des relations dans le temps et dans l’espace. L’appropriation des formes se fait souvent par des jeux utilisant des solides qui sont des prismes (ayant une face triangulaire, carrée, rectangulaire, etc….) et des cylindres Il n’y a pas de programme de géométrie. Les tangrams (ou jeux apparentés) et les puzzles sont très importants dans cette construction. Les tangrams permettent de travailler sur des formes spécifiques (carré, rectangle, triangle), sur les formes complexes qu’elles peuvent élaborer. Ils permettent de faire un travail de décomposition, recomposition très importants dans la suite. Les puzzles permettent de travailler certaines « formes » particulières dans la définition d’objets mathématiques, comme la droite, l’angle droit : les bordures, les coins.

La géométrie plane à l’école élémentaire L’alignement, les points, les droites, Des morceaux de droite : demi-droite, segment, La modélisation, Angle droit, droites perpendiculaires (définition, tracé), Droites parallèles (définition, tracé), Les angles, Que faut-il justifier ? et si cela se voit ? Retour sur les figures au cycle 3 : le cercle, le rectangle Les problèmes

A l’école élémentaire : les objets, les relations et les propriétés géométriques Point, droite, segment, demi-droite, angle Alignement, perpendicularité, parallélisme, égalité de longueurs, symétrie axiale, milieu d’un segment. Au cycle 2, le travail sur les formes classiques se poursuit, à l’aide d’objets réels. Des objets de même forme permettent de définir des figures classiques, rectangle, carré,….

- Quand ? Sans attendre que cela figure dans le programme, au cycle 2. Alignement Travail sur l’alignement : - Quand ? Sans attendre que cela figure dans le programme, au cycle 2. - Comment ? Par des activités de mise en rang, d’alignement d’objets concrets, puis des activités de même type s’appuyant sur des photos, par exemple. Pour approcher l’idée de « point » on peut proposer des activités alignant des objets de plus en plus petits. - Quel instrument? La règle, ou ce qui peut en tenir lieu. On peut imaginer une activité permettant d’aligner des trous d’aiguille….(activité proposée en réunion). Ces trous d’aiguille permettent d’approcher l’idée de point.

Alignement….. points, droites Placer quatre points (F, G, H et I) alignés avec A et B ? A B Dix points ? Peut-on en trouver plus ? Combien ? Comprendre qu’une droite n’est pas le trait qui la représente sur le tableau, mais un objet mathématique « idéal » sans épaisseur, infini qui est un ensemble de points. La droite passant par A et B est constituée de tous les points alignés avec A et B. Dans les programmes et les progressions le mot « point » n’apparaît pas avant le cycle 3. En fait on parle de milieu….donc de point!! Le mot « droite » apparaît de façon implicite, lorsqu’on parle d’alignement de points. On parle alors de la droite (AB). On représente une droite, on ne la trace pas. Des logiciels de géométrie dynamique peuvent aider les élèves à mieux concevoir l’aspect « infini » des droites, en utilisant des zooms arrière successifs, la « droite » occupe toujours l’intégralité de l’écran.

Un petit test pour voir s’ils ont un peu compris… Les deux droites représentées ci-dessous se coupent-elles? Les traits ne se coupent pas mais les droites qu’elles représentent se coupent!!! Le point apparaît donc comme l’intersection de deux droites….d’où la représentation d’un point par une croix! Les droites sont sécantes, en un point.

Des morceaux de droite : segment, demi-droite B A  [CB] ? A  (CB) ? Ce n’est pas qu’un problème d’écriture…la différence entre droite et segment ne va pas de soi pour les élèves La notion de segment est plus facile à concevoir que celle de droite. Les côtés d’un polygone, les arêtes d’un solide permettent de matérialiser des segments. Lorsque l’on travaillera sur des droites et segments on ne se limitera pas à des constructions sur papier quadrillé et on évitera les tracés systématiquement dits « horizontaux ou verticaux », en fait parallèles aux bords de la feuille. L’appartenance et l’inclusion, deux notions à ne pas confondre : Un élément appartient à un ensemble (A  [CB] ou A [CB]) ; Un sous ensemble est inclus dans un ensemble ([CB]  (CB)). Il n’est pas souhaitable de parler d’inclusion en géométrie à l’école primaire et il semble raisonnable de se limiter à la notion d’appartenance. Deux demi-droite de même origine, définissent deux angles.

Points et droites Points, droites, segments et demi-droites et….cercles : des outils pour la modélisation Passer du monde réel à la modélisation mathématique. L’objet réel / l’objet mathématique / l’objet graphique

Angle droit Dans les progressions dès le CE1 on parle d’angle droit, d’équerre ou de gabarit d’un angle droit. Dans la pratique, activités de repérage « d’angles droits et d’angles qui ne sont pas droits » : - de façon perceptive dans l’environnement de l’ élève : coin de la feuille, coin du puzzle, coin de la table…etc - à l’aide de l’équerre ou d’un gabarit, sur une figure, ….lorsque ce n’est pas évident.

Figures et angles droits Le travail de rejet est aussi important que celui de sélection, pour ce genre d’exercice il serait intéressant d’ajouter « et marque un point bleu au sommet de chaque angle qui n’est pas un angle droit ». Le travail de rejet est aussi important que celui de sélection, pour ce genre d’exercice il serait intéressant de demander « marque un point bleu au sommet de chaque angle qui n’est pas un angle droit ».

Angle droit, droites perpendiculaires Quand dit-on que deux droites sont perpendiculaires? De l’angle droit aux droites perpendiculaires….. Il y a deux niveaux de difficulté avec les perpendiculaires : la conceptualisation et le tracé Que penser de la définition donnée?

Angle droit et perpendiculaires Deux difficultés souvent rencontrées au collège : Difficultés dans le maniement de l’équerre, en particulier utilisation du mauvais angle); reproduire sur la feuille, dans un plan horizontal, les gestes du professeur au tableau, dans un plan vertical, ne va pas de soi. Confusion entre perpendiculaire et vertical. Médiatrice de [AB] ???? (en 6ème) A B Deux conseils : * Apprendre à rejeter qu’un angle est droit à l’œil nu s’il ne mesure pas entre 80° et 100° et à utiliser l’équerre pour le vérifier et l’affirmer ou non dans le cas contraire (cela ne se voit pas !). *Éviter l’utilisation systématique de vertical-horizontal dans les exercices proposés mais aussi dans les affichages lors du travail sur les angles droits. Des logiciels tels que instrumenpoche permet de visualiser les gestes à faire pour tracer une perpendiculaire à une droite donnée.

Tracer une, ou la, perpendiculaire à D D est une droite ; tracer une droite D’ perpendiculaire à D. D est une droite et A est un point n’appartenant pas à D. Tracer la droite D’ passant par A et perpendiculaire à la droite D. D’ D On a définit ce que sont deux droites perpendiculaires, pas ce qu’est une droite perpendiculaire à une autre….cela ne va peut-être pas de soi!!!! A D D’ Quel est l’intérêt de ces deux questions??

Droites parallèles Qu’est-ce que des droites parallèles ? Des droites qui ont même direction. Des droites qui ne se coupent pas. Des droites avec une distance mutuelle constante. Des définitions mathématiquement équivalentes mais qui ne le sont pas nécessairement pour les élèves de cycle 3… La première est souvent liée aux images prototypiques avec des parallèles horizontales ou verticales. Et le mot « direction » n’a pas la même signification qu’en français courant. La deuxième est pratique pour montrer que des droites ne sont pas parallèles en nécessitant toutefois une bonne compréhension de ce qu’est une droite car le point d’intersection peut-être hors du tableau ou de la feuille…et puis elle n’est valable qu’en géométrie plane! La troisième est sans doute assez naturelle et peut s’appuyer sur des images concrètes : bords de la règle, rails de chemin de fer, traces laissées par un véhicule, etc.

Droites parallèles Tracer la droite parallèle à une droite donnée passant par un point. Exercice très technique… Les élèves peuvent tracer deux perpendiculaires…

Propriétés des droites parallèles Le travail mené en fin de cycle 3 doit préparer aux propriétés étudiées en sixième : Si deux droites sont parallèles à une même droite alors elle sont parallèles entre elles. Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elle sont parallèles entre elles. Si deux droites sont parallèles alors toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.

Les angles Les angles On peut essayer de visualiser concrètement un angle à l’aide de l’ouverture d’une porte ou de l’écartement d’un compas. Au cycle 3, les élèves doivent travailler avec des angles comme « grandeur », une unité et donc une mesure ne seront introduites qu’en sixième (le degré), les élèves apprendront alors à utiliser le rapporteur, cette unité sera abandonnée au lycée pour le radian. Comparaison d’angles : plus grand, plus petit, plus grand qu’un angle droit, etc. Utilisation de gabarit pour comparer des angles ou en construire : angle trois fois plus grand qu’un autre, etc. Comprendre qu’un angle ne dépend pas de la longueur des côtés tracés.    

Les angles Les angles Rappel du vocabulaire associé : Les angles saillants : Il n’y a pas d’exigences explicites relativement à ce vocabulaire, mais les élèves peuvent le rencontrer (voir évaluation nationale de fin de CM2 en 2012). Angle nul Angle saillant plat Angle rentrant plein 0° 0° à 180° 180° 180°à 360° 360° Angle aigu Angle droit Angle obtus 0° à 90° 90° 90° à 180°

« ça se voit ! » C’est assurément un challenge important entre le cycle 2 et le cycle 3. On affirmait qu’il s’agissait d’un carré, que des angles étaient droits, que des points étaient alignés car cela se voyait. Au cycle 3, on peut toujours affirmer que des angles ne sont pas droits ou que des points ne sont pas alignés, cela peut « se voir » : A B C

« ça se voit ! » Par contre, on ne peut plus affirmer le contraire en prétextant que cela se voit, il faut le vérifier avec les outils ad hoc. Pour que cela prenne tout son sens et pour que les élèves en prennent conscience, il faut présenter des situations ou la perception peut prêter à confusion… Les points A, B et C sont-ils alignés ? Le quadrilatère RSTU est-il un rectangle ? R S U T A B C

Des figures planes Carré, triangle, rectangle, rond, triangle rectangle, losange, cercle, triangle isocèle, triangle équilatéral, quadrilatère, polygone, parallélogramme, trapèze, trapèze rectangle, trapèze isocèle, pentagone, hexagone

Ce que disent les programmes Les figures planes : le carré, le rectangle, le losange, le parallélogramme, le triangle et ses cas particuliers, le cercle. Description, reproduction, construction ; vocabulaire spécifique relatif à ces figures : côté, sommet, angle, diagonale, axe de symétrie, centre, rayon, diamètre. CP : Reconnaître et nommer un carré, un rectangle, un triangle. S’initier au vocabulaire géométrique. CE1 : Décrire, reproduire, tracer un carré, un rectangle, un triangle rectangle. Connaître et utiliser un vocabulaire géométrique élémentaire approprié. CE2 : Reconnaître, décrire, nommer et reproduire, tracer des figures géométriques: carré, rectangle, losange, triangle rectangle. Vérifier la nature d’une figure plane en utilisant la règle graduée et l’équerre. Utiliser en situation le vocabulaire : côté, sommet, angle. CM1 : Vérifier la nature d’une figure plane simple en utilisant la règle graduée, l’équerre, le compas. CM2 : Vérifier la nature d’une figure en ayant recours aux instruments.

Définir un cercle : activité Placer quatre points C, D, E et F à 4 cm du point A. C A F E D En placer dix. Peut-on en trouver plus ? Combien ?

Dessiner un cercle ou un disque Dessiner le cercle de centre A et de rayon 4 cm. A La définition nous amène à utiliser le compas.

Dessiner un cercle ou un disque Dessiner le cercle de centre A et de rayon 4 cm. A

Le cercle et le disque Le vocabulaire du cercle Le cycle 3 doit permettre le passage du rond (forme) au cercle objet théorique, ensemble des points équidistants d’un point appelé centre (cercle de centre A et de rayon R). Même si un travail particulier peut être mené à un moment donné, l’acquisition du vocabulaire ne peut se faire que par une rencontre régulière des mots spécifique en contexte, et surtout par une utilisation fréquente, à l’écrit et à l’oral, par les élèves. Quelques obstacles : Différence entre cercle et disque (périmètre du … = longueur du …) ; Différence entre LE rayon et UN rayon ([OA] est … rayon du cercle, OA est … rayon du cercle, LE rayon [OA] et UN rayon [OA]), être rigoureux sans « noyer » les élèves… Utilisation correcte de centre, milieu ou moitié (centre d’une figure (cercle, disque, rectangle, losange, etc.), milieu d’un segment, moitié d’un nombre ou d’une longueur) ;

Le matériel ? Cahier de mathématiques Cahier du jour Ardoise Cahier de brouillon Feuille volante Cahier pour les problèmes Fichier Manuel Règle Équerre Compas Gabarits

Entre cycle 2 et cycle 3 des changements Qu’est-ce qu’un rectangle ? Au cycle 2 ? On reconnaît un rectangle parce qu’on voit que c’est un rectangle. Un carré n’est pas un rectangle car, visuellement, il n’a pas la même forme…. Au cycle 3 ? La figure n’est plus globale, c’est un ensemble de points et on a des côtés, des sommets et des angles. On va pouvoir le définir

Des définitions du rectangle???? Qu’est-ce qu’un rectangle ? Au cycle 3 ?

Définir un rectangle Qu’est-ce qu’un rectangle ? Utiliser le verbe « être » pour définir : Ainsi : « Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits » (cela pourra être remplacé par 3 en sixième) Le quadrilatère RSTU est-il un rectangle ? R S U T

Des propriétés du rectangle Par ailleurs on utilise le verbe avoir pour les « propriétés » : « Un rectangle a ses côtés opposés de même longueur. » « Un rectangle a ses côtés opposés parallèles. » « Un rectangle a ses diagonales de même longueur et qui se coupent en leur milieu. »

Est-ce ou n’est-ce pas un rectangle ?

Construire un rectangle Construire un rectangle de longueur 8 cm et largeur 3 cm.

Vérifier qu’on a un rectangle Tracer un cercle de rayon 5 cm. Construire deux diamètres [AB] et [RS]. Que peut-on dire du quadrilatère ARBS ? A R S B

Des exercices - Des problèmes Exercices de tracé adaptés au niveau : tracé de droites parallèles, de droites perpendiculaires, de figures particulières connaissant leurs dimensions… Exercices de reproduction de figures adaptés au niveau de l’élève : Mais aussi des problèmes : 1. Trace un carré ayant le même périmètre que le triangle ci-contre : 2. Détermine la longueur BC. B C O 4cm A 7cm D

Des problèmes plus ouverts Trace un rectangle ayant un périmètre de 40cm. Combien y a-t-il de rectangles possibles ?1, 2 ou beaucoup? Parmi les rectangles ayant un périmètre de 40cm y a-t-il un rectangle ayant une aire de 96 cm² ? Le travail peut être organisé en petits groupes. On peut poser la même question avec d’autres valeurs : un périmètre de 169,8 cm et une aire de 1400 cm² ? un périmètre de 23,87 cm et une aire de 24 cm² ? Là les tâtonnements successifs sont plus « délicats ». L’utilisation de l’outil informatique est pertinente. Fichier tableur

Autre problème ouvert

Le problème Un élève va de l’entrée, repérée par la marque jaune, à l’arbre repéré par la marque rouge après être aller toucher le mur situé à droite sur la photo de la cour. A quel endroit doit-il toucher le mur pour que la distance parcourue soit la plus petite possible? Les étapes possibles : - relevé des dimensions de la cour, - élaboration d’un plan, à une échelle donnée, - tracés de différents parcours possibles de l’élève, - mesurage des différents parcours et détermination des distances réelles…conclusion?? Utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique pour confirmer, ou infirmer, le résultat trouvé…

Fin du problème Utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique pour résoudre le problème. Fichier geogebra

L’enseignement de la géométrie dans l’espace Il y a trois phases dans l’enseignement de la géométrie dans l’espace correspondant à trois périodes, la maternelle, l’école élémentaire, le collège. Au lycée, selon qu’il est général et technologique ou professionnel, il y aura une phase supplémentaire ou non.

La géométrie dans l’espace L’appropriation de l’espace à l’école maternelle et premier contact avec les formes, L’appropriation des solides classiques et premières représentations à l’école élémentaire, Développement de la vision de l’espace au collège : représenter un solide, reconnaître un solide à partir d’une représentation et raisonner sur…le solide!

L’école primaire: le programme CP – CE1 : En géométrie, « Les élèves enrichissent leurs connaissances en matière d’orientation et de repérage. Ils apprennent à reconnaître et à décrire des figures planes et des solides. » En découverte du monde, «  Les élèves découvrent et commencent à élaborer des représentations simples de l’espace familier : la classe, l’école, le quartier, le village, la ville. ……….. Ils découvrent des formes usuelles de représentation de l’espace (photographies, cartes, mappemondes, planisphères, globe). » On retrouve des objectifs déjà identifiés à la maternelle. On aborde des représentations d’objets réels: cartes, mappemondes…. En CE1 les documents donnant la progression disent: « Reconnaître, décrire, nommer quelques solides droits : cube, pavé... » On travaille avec les objets. Apporter un cube…et faire décrire: qu’est-ce qui est attendu???

L’école primaire: le programme CE2 – CM1 – CM2 Les solides usuels : cube, pavé droit, cylindre, prismes droits, pyramide. - reconnaissance de ces solides et étude de quelques patrons ; - vocabulaire spécifique relatif à ces solides : sommet, arête, face.

Ce que disent les progressions CP Situer un objet et utiliser le vocabulaire permettant de définir des positions (devant, derrière, à gauche de, à droite de...). CE1 Reconnaître, décrire, nommer quelques solides droits : cube, pavé... CE2 Dans l’espace - Reconnaître, décrire et nommer : un cube, un pavé droit. - Utiliser en situation le vocabulaire : face, arête, sommet. CM1 Dans l’espace - Reconnaître, décrire et nommer les solides droits : cube, pavé, prisme. - Reconnaître ou compléter un patron de cube ou de pavé. CM2 Dans l’espace - Reconnaître, décrire et nommer les solides droits : cube, pavé, cylindre, prisme. - Reconnaître ou compléter un patron de solide droit. Trois mots reviennent dans tous les programmes de l’école élémentaire: Reconnaître, décrire, nommer. Nommer, on comprend ce que cela signifie…mais encore faut-il reconnaître le solide pour le nommer!!! Reconnaître un solide, oui, mais d’après quoi? Le solide lui-même ou d’après une représentation? Apparemment en CM2 l’élève doit savoir reconnaître à partir d’une représentation en perspective cavalière (évaluation CM2). Décrire? Qu’attend-on? En fin d’école on parle aussi de compléter.

Découvrir l’espace, avec des objets réels Dès la maternelle, l’élève explore son environnement immédiat : la classe, l’école, la cour de récréation sont objets de déplacement, de repérage…etc…on travaille alors beaucoup avec les mots ; Pour découvrir les formes le travail sur des objets solides est privilégié, au moins jusqu’au CP.

Pour découvrir les solides mathématiques Tri, selon la forme Jouer avec des solides On utilise des objets réels. On peut ainsi parler de cubes, de cylindres, de boules; on peut rencontrer des solides géométriques, des prismes en l’occurrence, dont on ne dira pas le nom…

Pour découvrir les formes géométriques Les jouets d’éveil permettent de découvrir les formes (carré, rond, rectangle, triangle), avec des petits solides. Les tangrams permettent de travailler avec des formes qu’on décompose, qu’on recompose, qu’on oriente différemment…etc… Les puzzles permettent d’observer les formes, les angles droits (les coins), les côtés droits (les bords)….

A partir de ce moment… On a de nouveaux objets géométriques, les cubes, les pavés…..qu’on peut construire, qu’on peut décrire, en utilisant des mots tels que face, arête, sommet….

Travailler sur des représentations Des plans : le plan de l’école, qu’on peut dessiner, compléter……sur lequel on peut lire des informations Des images d’objets On est bien sur des représentations d’objets, pas sur les objets eux-mêmes. Il faut parfois compléter par une information. On ne peut pas savoir que le paquet cadeau est un cube si on ne le dit pas. A partir de représentations il faut imaginer les objets eux-mêmes et pouvoir les décrire.

Travailler sur des représentations en perspective En CE1 les représentations en perspective cavalière apparaissent dans les cahiers de géométrie… Pratique critiquable!! Il y a souvent confusion entre l’objet et sa représentation: Ex: retrouve tous les cubes et tous les pavés…comment savoir ? Confusion entre les solides et leur représentation. Les cubes sont des pavés…. Oui mais visuellement ce sont des solides différents. On retrouve le même problème qu’avec les carrés et les rectangles. De plus on ne peut pas répondre . Retour sur ce qu’est une perspective cavalière. En d’autres termes il vaudrait mieux éviter cl’utilisation des perspectives au cycle 2.

Un problème : quelle quantité de ruban pour faire le paquet? La boite est un cube de 25 cm de côté. Il faut 60 cm de ruban pour faire le nœud. Quelle longueur de ruban faut-il prévoir pour faire le paquet cadeau?

Reconnaître, compléter des patrons

Le bon patron pour résoudre un problème de plus courte distance L'araignée et la mouche. Récréation imaginée par Henry Ernest Dudeney (1857-1931) : Une araignée veut rejoindre une mouche placée sur le mur opposé par le chemin le plus court dans une pièce parallélépipédique. La pièce a 30 pieds de longueur, 12 pieds de largeur et 12 pieds de hauteur. L'araignée se trouve au centre d'un des murs les plus petits à un pied du plafond tandis que la mouche est au centre du mur opposé à un pied du plancher. Quel est le chemin le plus court entre l'araignée et la mouche ?

Le bon patron pour résoudre un problème de plus courte distance 1 + 30 +11

Et la réponse n’est pas… 42 pieds mais 40 pieds 32 24 40

La place de la géométrie dans l’espace dans les manuels de mathématiques…. Très faible, voire quasi inexistante (en CP). En CM2 le travail consiste principalement à reconnaître des solides à partir de dessins en perspective cavalière et à reconnaître ou compléter des patrons. Le mot « décrire », omniprésent dans les programmes n’apparaît pas. On demande davantage aux élèves de dire combien il y a de faces, d’arêtes…etc…ce qui n’est pas « décrire ». La description est un exercice d’autonomie, qui comporte des degrés de liberté…mais on y reviendra plus loin!!!

Des confusions à ne pas faire…. Dans un manuel de CM2 on lit : « un dessin en perspective est une manière de représenter, sur une feuille de papier, des objets en volume, la plus proche possible de ce que voit l’observateur »….faux pour ce qui concerne la perspective cavalière . Dans le même livre on peut voir deux types différents de représentation …à éviter !!! Les erreurs commises concernent principalement la représentation en perspective cavalière. La perspective des peintres, ou perspective centrale, donne une représentation plus proche de ce que l’on voit effectivement. Elle représente ce que l’on obtiendrait sur une photo; ce qui ne correspond pas tout-à fait à la réalité de ce que nous voyons, puisque nous avons une vision à 160° environ! Il vaut mieux se limiter à la représentation en perspective cavalière, même si à un moment donné on les interroge sur ce qu’ils voient!!

Un manque de précision… Lu dans un manuel de CM2 : « Laquelle de ces figures est représentée en 3 dimensions ? » Dans le même manuel : « Observe bien les polyèdres suivants puis complète le tableau » La question est mal posée…en effet dans un plan on ne peut représenter qu’en deux dimensions!!! Que faudrait-il dire alors? Il vaudrait mieux dire : « laquelle de ces deux figures représente un cube en perspective? ». L’autre figure peut représenter un cube vu de face!!! Dans le deuxième exercice qu‘est-ce qui ne va pas?

Toujours sur la perspective cavalière… Quels dessins en perspective sont ceux d’un cube? La question est mal posée; on ne peut pas dire de façon certaine quels sont les dessins qui représentent des cubes. En revanche on peut dire ceux qui n’en sont pas, de façon certaine.

Que voit-on alors? Un cube vu de face, au niveau des yeux, en dessous, au dessus…

Maîtrise de la langue et géométrie

Au cycle 2, de façon concomitante Mise en place du langage courant et de la langue utilisée en géométrie

La langage courant L’école maternelle est le moment de l’appropriation, par l’enfant, du langage oral. Cette acquisition du langage oral se poursuit à l’école élémentaire. Il est complété par la mise en place du langage écrit (lecture, écriture). La langue mise en place est la base de la langue utilisée en géométrie. Viennent s’ajouter cependant des usages particuliers à la géométrie. La concomitance de tous ces apprentissages est une difficulté réelle pour les élèves. C’est pour cette raison qu’il faut réfléchir aux difficultés que cela leur pose et avancer avec une grande prudence.

Des activités avec le langage courant Activités de repérage, d’orientation…. Activités sur les formes de solides Les activités d’orientation, de repérage, de positionnement sont faites dans la réalité, puis sur des images…Elles permettent la mise en place d’un certain vocabulaire: devant, derrière, au dessus, en dessous, au milieu, tout droit…. On peut faire des activités de tri selon différents critères, dont celui de forme…à faire sur des objets réels…jusqu’en CP. Sur des images ou des représentations mathématiques après…

Maîtrise de la langue et géométrie Les mots de la géométrie Les phrases, en géométrie Comment travailler la langue, en géométrie : comprendre, dire et écrire Décrire une figure, écrire un programme de construction

Les mots de la géométrie Un vocabulaire spécifique - pour désigner des objets: un polygone, un carré, une droite, un segment, une médiatrice, un rayon (ou le rayon)…. - pour exprimer des propriétés : aligné, parallèle, perpendiculaire, symétrique… Un vocabulaire emprunté au langage courant - milieu, centre, hauteur, sommet, point… - droit, opposé, consécutif… - qui passe par… Des petits mots lourds de poids - les articles définis et indéfinis, non + adjectif, et, ou, donc, car, on…..

Une difficulté pour les élèves : la polysémie des mots utilisés aussi dans le langage courant ou dans d’autres domaines : - point, est-ce celui qu’on utilise en ponctuation ? milieu, de quel milieu s’agit-il? sommet, quelle différence entre le sens courant et la signification mathématique? Droit En mathématiques certains mots peuvent avoir plusieurs significations : hauteur, rayon, diamètre… Certaines expressions ont une signification très précise, beaucoup plus que le langage courant : une droite passant par un point donné, par exemple! Milieu : en biologie, il y a le milieu aseptisé ou bactérien; en sociologie on a le milieu social; il y a également le « milieu » indépendantiste, marseillais…mais on utilise le mot milieu dans le langage courant pour désigner quelque chose qui se situe à égale distance de …; par exemple on dit « marcher au milieu de la rue, écrire au milieu du tableau. Dans ce dernier cas le sens est extrêmement flou, ce qui tranche avec la précision de ce mot en mathématiques. Sommet, dans le langage courant, est utilisé pour désigner quelque chose qui se situ au plus haut: le sommet d’une montagne, le sommet de la Tour Eiffel…ce n’est pas le cas en maths. On parle des sommets d’un polygone ou d’un polyèdre, quelle que soit leur position dans l’espace ou dans le plan. L’adjectif droit caractérise un angle de 90°. C’est encore la même notion qui est sous-jacente lorsqu’on parle de prisme droit : les faces du prisme qui ne sont pas les bases sont toutes des rectangles ce qui signifie beaucoup de segments perpendiculaires… En langage courant, en sport, on parle de ligne droite… en mathématiques il vaut mieux parler de droite. Une ligne droite ou un trait droit permettent de représenter des droites (en fait ce sont des dessins). En tout cas il n’y a pas d’angle droit dans une ligne droite!! On parle aussi, en langage courant, du droit chemin, d’une personne droite. On l’oppose au mot « penché » : tiens-toi droit, la tour de Pise n’est pas droite, elle est penchée… Il est important d’être vigilant et de préciser le contexte dans lequel on s’exprime et d’attirer l’attention des élèves sur les exigences que l’on a en mathématiques.

Le poids des déterminants d est une droite et A est un point n’appartenant pas à la droite d. Une perpendiculaire à la droite d coupe cette droite en formant un angle droit. D est la perpendiculaire à d passant par le point A. Fais une figure représentant d, A et D. d A D

La difficulté de l’usage de la négation!!!! Lu dans un manuel de CE1: « avec quatre points non alignés combien peut-on tracer de droites passant par deux points ? » Que signifie, en mathématiques, « quatre points non alignés »? L’usage courant donne-t-il la même signification?

Deux cas de figure 6 droites 3…ou 4 droites

Les mots des consignes Un exemple : Réaliser la même figure, une figure identique, une figure semblable, une figure similaire… Qu’est-ce que cela veut dire? Toutes ces phrases signifient-elles la même chose ? Que dit le dictionnaire ? même : identique ou semblable (comme dans « tous les élèves ont le même livre ») identique : tout à fait semblable mais distinct semblable à : qui ressemble à…semblables : qui se ressemblent entre eux!!! (à quel degré ???) similaire : qui est à peu près semblable… En géométrie, quand on dit que les diagonales d’un rectangle ont le même milieu cela signifie que le milieu de l’une est le milieu de l’autre. On n’utilise ni « identique », ni « semblable ». On peut dire « reproduire une figure à l’identique » Deux figures sont semblables lorsqu’elles se déduisent l’une de l’autre par une similitude. En d’autres termes cela signifient que, à un agrandissement ou une réduction près, à un retournement près les figures sont identiques.

Il n’y a pratiquement pas de synonymie en mathématiques. Une difficulté pour les professeurs : l’absence de synonymie en mathématiques Il n’y a pratiquement pas de synonymie en mathématiques. Pour expliquer, pour aider, on a souvent recours à la reformulation....qui n’est pas toujours très éclairante pour l’élève et parfois difficile pour le professeur. Très souvent cette reformulation fait appel à la définition ou à des propriétés. Même si la vraie synonymie n’existe pas dans la langue, on a souvent la possibilité ,si on accepte une certaine approximation, d’utiliser un synonyme pour appréhender le sens d’un autre mot. Ce n’est pas le cas en mathématiques. Il ne faut pas confondre les objets mathématiques et les moyens de les représenter: un trait, même droit, n’est pas une droite, il représente une droite

Les mots ne suffisent pas!!! En géométrie aussi les mots s’organisent en phrases; on ne peut pas se contenter de mots qui viennent remplir les trous d’un fichier!!! Les élèves doivent : - Comprendre (à l’oral, à l’écrit) - Produire (à l’oral, voire à l’écrit) des phrases………..et cela ne va pas de soi!……cela s’apprend!

Que doivent-ils comprendre ??? Le début d’un exercice lu dans un manuel de CM2 : « Trace deux segments perpendiculaires [AB] et [CD] de 5 cm de longueur et qui se coupent en leur milieu. » * Comprendre les expressions utilisées et les informations qu’elles donnent. * Savoir comment utiliser les informations du texte pour réaliser le tracé. Pour permettre à l’élève de mieux comprendre on peut formuler autrement ; pour s’assurer que l’élève a compris on peut lui faire reformuler. Des suggestions pour une autre formulation??? Ce qui peut poser problème : Le fait de parler de deux segments perpendiculaires [AB] et [CD] et non d’un segment [AB] perpendiculaire à un segment [CD]. deux segments qui se coupent en leur milieu, pour dire que les deux segments ont le même milieu. Inutile de demander à un élève s’il a compris le texte , il peut dire « oui » alors qu’il a cru comprendre et qu’il n’en est rien et dire « non » alors qu’il a compris certaines choses mais peut-être pas tout!!! Lui faire reformuler ou poser des questions pertinentes sera plus efficace. Une suggestion : « Trace un segment [AB] de longueur 5 cm. Repère le milieu I du segment [AB]. Trace le segment [CD] perpendiculaire au segment [AB] en I, de longueur 5 cm et ayant également pour milieu le point I. »

Introduire les mots, en même temps que les notions qu’ils traitent ; Comment faire? Introduire les mots, en même temps que les notions qu’ils traitent ; - Amener les élèves, par des questions, des QCM, des fiches à trous , à utiliser correctement ces mots ; - Faire en sorte, en explicitant, en reformulant, que les élèves comprennent des phrases utilisant ces mots. Les amener progressivement à construire des phrases pour s’exprimer à l’oral en : •reformulant une partie d’énoncé de problème, •expliquant ce qu’ils font (lors d’une construction), •décrivant des figures, des solides, •commençant à expliquer, à justifier

Quelle place pour l’écrit géométrique ? Les écrits institutionnels : certaines définitions et formules synthétiques qui officialisent le savoir construit. Le « vocabulaire » géométrique doit être consigné également. Un élève en situation de recherche en géométrie produit principalement des tracés et peu d’écrits. Une exception cependant : les programmes de construction (les lire d’abord, les écrire ensuite). Il faut y aller doucement avec les écrits institutionnels. Ils doivent être le fruit d’une construction. Les objets géométriques ne sont pas tous à définir ( on ne définit pas une droite, par exemple!! On la représente…). Pour ce qui est du vocabulaire on ne se limitera pas aux seuls mots des mathématiques, stricto sensu; on complètera par les expressions utilisées… Si, en situation de recherche un élève ne produit pas d’écrit autre que des tracés, on peut lui demander de dire oralement ce qu’il fait, pourquoi il le fait. Pas d’écrit certes, mais de l’oral….

Décrire une figure géométrique A B + O Quelles propositions? Que peut-on faire de cette figure quand on a le droit de n’y poser que le regard ? On peut dire ce que l’on voit. Trois cercles de couleurs différentes, une croix et cinq lettres…. On peut dire aussi trois cercles et cinq points…   On peut essayer d’en dire plus que ça : l’un des cercles, le plus grand, a pour centre le point O ; un autre, plus petit, a pour centre le point B et un troisième, qui a l’air d’être de la même taille que le précédent, a pour centre le point C. On peut en dire encore plus, mais la question est la suivante, pour quoi faire ? Ce qu’on est en train de faire c’est de « décrire » ce que l’on voit (de façon neutre, sans y mettre d’affect). Mais où s’arrête-t-on ? Qu’est-ce qui va être utile ? Est-il intéressant de dire des choses comme celles-ci : les points A, B, C et D sont à droite du point O les points A, B, C et D sont tous sur le grand cercle les points A, B, C et D sont tous sur l’un des deux petits cercles (pas tous sur le même). La figure est constituée d’un grand cercle de centre O et de deux cercles plus petits, tous deux de même rayon. Les centres de ces deux cercles, les points C et B sont des points du grand cercle. Le cercle de centre C passe par le point B et le cercle de centre B passe par le point C.Peut-on dire que ceci est une description de la figure? C D

Cela pose la question suivante : qu’est-ce que décrire une figure? Décrire : « il s’agit d’une conduite discursive précise qui suppose des compétences langagières bien particulières et qui est fortement sollicitée à l’école. » « Décrire suppose d’abord un travail minimal de décentration.….pour décrire à quelqu’un quelque chose, il faut savoir ce qu’il sait et ce qu’il ne sait pas, ce qu’il voit et ce qu’il ne voit pas. Il faut aussi connaître l’enjeu de cette description : à quoi sert-elle? À faire reproduire à l’identique? À créer une image mentale? » Ce sont des extraits de Ermel sur les apprentissages géométriques au cycle 3. En bref qu’attend-on d’un élève lorsqu’on lui demande de décrire un solide, une figure ? A-t-il les compétences langagières pour le faire? A-t-il les connaissances techniques ? Il est nécessaire de travailler les compétences langagières en même temps que les connaissances en géométrie. Tout exercice amenant l’élève à décrire un solide, une figure est un bon moyen de développer des compétences langagières en même temps que des connaissances géométriques. Ce travail doit être fait essentiellement à l’oral. « Les situations de communication proposées en géométrie doivent prendre en compte ces paramètres, si on veut que les élèves adhèrent à l’activité et y trouvent du sens. » En bref il est conseillé de mettre au point un scénario permettant à l’élève de comprendre ce que l’on attend de lui!!! Exemple : Présenter plusieurs solides (cube coloré, octaèdre régulier, polyèdre non régulier) et demander aux participants de décrire ces solides.

Lire un programme de construction On commence à en voir en CE1, dans les « documents » élève ; un exemple : « Sur ton cahier place deux points A et B. Trace la droite qui passe par ces deux points. Sur cette droite place un point C, situé entre A et B. Sur la même droite place ensuite un point D, situé entre C et B. » C’est une lecture à laquelle il faut donner du sens, ce qui nécessite de connaître les notions géométriques qui se cachent derrière les mots.

Produire un programme de construction, à l’oral voire à l’écrit Trace un rectangle Trace un segment à l’intérieur de ce rectangle. A éviter : pourquoi ?

Un autre programme de construction Vous devez écrire un texte permettant à un élève de reproduire la figure ci-contre, sans l’avoir sous les yeux. Quel travail pour l’élève? Quel travail pour l’élève? l’analyse de la figure: reconnaissance des figures de base constitutives de cette figure complexe, vérification avec les instruments que ce sont bien les figures reconnues visuellement, mesure des longueurs nécessaires à la construction Remarque: pour alléger le travail on peut coder la figure : comment? Recenser la suite d’instructions nécessaires à la construction des figures simples successives - Ecrire les instructions dans un langage adapté, en respectant éventuellement un ordre précis.

Deux propositions 1er programme 2ème programme Vous tracez un carré de ….cm de côté ; Vous repérez le milieu d’un des côtés de ce carré ; Vous tracez le cercle ayant pour diamètre ce côté du carré. 2ème programme Vous tracez un cercle de ….cm de rayon ; Vous tracez un diamètre de ce cercle; Vous tracez un carré ayant ce diamètre pour un de ses côtés. Une difficulté important vient de l’absence de désignation des points importants de la figure. Code et désignation peuvent simplifier la tâche de l’élève… Le style est injonctif; on peut utiliser le présent de l’indicatif ou l’impératif.

Qu’est-ce que cela change ? Tracer un carré ABCD ; Repérer le milieu du segment [CD], l’appeler O ; Tracer le cercle de centre O et passant par le point C. C B O A D