Cours 4-b Méthode des éléments finis 2D Notion d’élément de référence Notion de patch-test Notion de convergence Application à la mécanique des fluides : calcul d’un écoulement plan 2D par la fonction de Courant Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Rappels La forme intégrale associée à l’équation de la chaleur est décomposée : Sur des éléments triangulaires Sur des éléments barre pour Neumann et Cauchy Où l’intégrale élémentaire pour un élément T3 s’écrit : Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Constats Il y a autant de fonctions Ni à calculer que d’éléments T3 Impossibilité de généraliser le calcul du vecteur sollicitation avec les Ni calculées sur l’élément réel (difficulté de définir les bornes d’intégration) Idée : utiliser un élément de référence unique avec des bornes d’intégrations simples Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Illustration de l’élément de référence Coordonnées (réf°) Coordonnées réelles Elément de référence unique Eléments « réels » Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Approche généralisable à d’autres topologies Elément barre : Elément quadrilatère : Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Changement de variables Le passage d’un élément « réel » vers un élément de « référence » implique un changement de variables pour les calculs d’intégrations. De manière générale, on a : Les bornes d’intégrations sont : h 1-h Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Définition du « jacobien » Définition : |J | est appelé le jacobien de la transformation. Il correspond au déterminant de la matrice jacobienne [J ]. La matrice jacobienne est définie par la relation mathématique suivante : Cette matrice traduit les relations entre les dérivées partielles en espace entre (x,y) et (x,h). Pour la calculer, il est alors nécessaire de disposer d’une approximation pour les variables x et y ! Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Calcul des Ni Le calcul des fonctions d’approximation consiste à : Choisir une forme d’approximation pour les Ni Poser les systèmes d’équations associés Résoudre ! Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Calcul de la matrice jacobienne [J ] Rappel : la matrice jacobienne est définie par : Les variables x et y sont approximées au sens des éléments finis : Soit : On définit aussi : Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Calcul des intégrales élémentaires Le changement de variables conduit à : Les termes de gradient se discrétisent par : Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Suite La forme élémentaire s’écrit donc : Soit : Avec : Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Notion de convergence Illustration autour d’un problème de mécanique : Nombre d’inconnues Illustration autour d’un problème de mécanique : Tracé de la courbe de convergence Objectif : Rechercher l’indépendance de la solution par rapport au maillage Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Application T3 : écoulement plan 2D Application valable dès que le fluide remplit les conditions suivantes : Incompressible : Eau Air si Mach < 0.3 (vitesse < 300-400 km/h) Non visqueux : aucun fluide n’est visqueux mais hypothèse réaliste si le domaine est grand et que l’on ne s’intéresse pas à ce qui se passe précisément au voisinage des parois. Stationnaire : constant en tout point du domaine dans le temps. Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Modèle mathématique Un écoulement incompressible se traduit par : x y Frontières Un écoulement incompressible se traduit par : où u et v sont les composantes de la vitesse du fluide Un écoulement non visqueux est dit irrotationnel, soit : On introduit la fonction de Courant définie par : … dans eq(2) pour aboutir à : Cette équation est identique à l’équation de la chaleur en 2D avec k =1 et en l’absence de terme de production ! Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Interprétation Une différence de la fonction j entre deux points A et B, traduit un débit perpendiculaire entre ces deux points : De manière générale, on a : A B A B A B H Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Condition de frontière imperméable Une frontière « imperméable » est donc définie par : H Il en résulte que pour tracer les lignes de courant (= trajectoires en stationnaire), il suffit de tracer les lignes d’isovaleurs de j. Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Exemples d’application (mini-projet) Calcul de l’écoulement autour d’un profil porteur Calcul du champ de vitesse stationnaire dans un lac Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Mise en œuvre informatique Génération d’un maillage composé de T3 Préparation du fichier de données : Aucune propriété physique particulière : k = 1 Annulation du terme source : f = 0 Identification des nœuds associés aux conditions de Dirichlet : kcond, vcond Assemblage du système et résolution : script Matlab « blin.m » Affichage des iso-valeurs : script Matlab « isoval.m » (Prochaine séance TP sous Matlab) Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC