Calcul de probabilités Expérience aléatoire à une étape ( exemple : 1 tirage )

Règle de l’addition Évènements non compatibles: P(A ou B) = P(A) + P(B) P(A U B) = P(A) + P(B) Remarque: en mathématique, le symbole U signifie OU; ce qui veut dire que l’on considère autant les chances de l’un que de l’autre. Évènements compatibles: P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A et B) P(A ∩ B) P(A U B) = P(A) + P(B) – Remarque: en mathématique, le symbole ∩ signifie ET; c’est-à-dire, ce qui est commun à deux ou plusieurs choses. Regardons ce qu’il en est.

Évènements compatibles et incompatibles. Deux événements A et B sont compatibles lorsqu’ils peuvent se réaliser en même temps (simultanément). Lors de la pige d’une carte dans un jeu de 52 cartes, Événement A : « obtenir une carte de cœur » Événement B : « obtenir un as » les deux évènements sont compatibles car ils peuvent se produire en même temps (simultanément); par exemple, « obtenir l’as de cœur ». Deux événements A et B sont incompatibles lorsqu’ils ne peuvent pas se réaliser en même temps (simultanément). Lors de la pige d’une carte dans un jeu de 52 cartes, Événement A : « obtenir une carte de carreau » Événement B : « obtenir une carte noire » les deux évènements sont incompatibles car ils ne peuvent pas se produire en même temps (simultanément).

Exemple 1 : Évènements incompatibles Lors de la pige d’une carte dans un jeu de 52 cartes, Événement A : « obtenir une carte de carreau » Événement B : « obtenir une carte noire » (13 possibilités) (26 possibilités) Quelle est la probabilité de « obtenir une carte de carreau ou une carte noire » ? P (A U B) = P(A) + P(B) 13 52 26 52 39 52 4 3 P (A U B) = + = = De plus, P(A ∩ B) = 0 Remarque: en mathématique, le symbole ∩ signifie ET; c’est-à-dire, ce qui est commun à deux ou plusieurs choses. Dans cet exemple, il n’y a rien de commun entre obtenir une carte de carreau et une carte noire.

Exemple 2 : Évènements compatibles Lors de la pige d’une carte dans un jeu de 52 cartes, Événement A : « obtenir une carte de carreau » Événement B : « obtenir un as » (13 possibilités) (4 possibilités) Quelle est la probabilité de « obtenir une carte de carreau ou un as » ? P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) 13 52 4 52 1 52 16 52 13 4 P(A U B) = + - = = Remarque: P(A ∩ B) signifie ce qui est commun à « obtenir une carte de carreau » et « obtenir un as » donc l’as de carreau. Cette probabilité est P(A ∩ B) = 1/52. Il faut donc la soustraire puisqu’elle a déjà été calculée dans le calcul de P(A) et celui de P(B).

Pour mieux comprendre, illustrons l’expérience aléatoire suivante: Évènement A : « les nombres premiers de 1 à 10 » : 2, 3, 5, 7 Évènement B : « les nombres impairs de 1 à 10 » : 1, 3, 5, 7, 9 On peut illustrer cette expérience à l’aide d’un diagramme de Venn. Ω Le diagramme de Venn est un schéma: On dessine un rectangle représentant l’univers des possibles. B A .10 .4 .8 .6 .1 .3 .2 .5 À l’intérieur, on dessine des cercles représentant les évènements. .9 .7 Puis, on place les éléments: Remarque: le point accompagnant le nombre indique qu’il est un élément de l’ensemble et non une quantité. 4 , 6, 8 et 10 ne font pas partie des évènements A ou B, on les place donc à l’extérieur des cercles mais à l’intérieur de l’univers des possibles; on place 2 dans le cercle représentant les nombres premiers; on place 1 et 9 dans le cercle représentant les nombres impairs; on place 3 , 5 et 7 dans l’intersection de A et B puisqu’ils sont à la fois premiers et impairs.

On peut maintenant calculer les probabilités des évènements suivants. Évènement A : « les nombres premiers de 1 à 10 » : 2, 3, 5, 7 Évènement B : « les nombres impairs de 1 à 10 » : 1, 3, 5, 7, 9 Ω Nombre de cas possibles: 10 B A .4 .1 4 10 = 2 5 .3 .6 P(A) = .2 .5 .9 .8 .7 .10 5 10 = 1 2 P(B) = 3 10 P(A ∩ B) = P(A U B) P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 4 10 5 + 3 10 6 10 3 5 - = = car elle a déjà été calculée avec P(A) et P(B)

Dans une classe de 25 élèves, les étudiants se sont inscrits aux trois sports suivants: ballon panier, ballon volant et soccer. Voici la répartition des inscriptions: 8 étudiants sont inscrits au ballon panier; 11 étudiants sont inscrits au ballon volant; 11 étudiants sont inscrits au soccer; 2 étudiants sont inscrits au ballon panier et au ballon volant; 3 étudiants sont inscrits au ballon volant et au soccer; 2 étudiants sont inscrits au ballon panier et au soccer; 1 étudiant est inscrit aux trois sports; 1 étudiant ne fait aucun sport. Ω Ballon panier Ballon volant Soccer Attention: le total ≠ 25 Alors comment dénombrer (placer) tous ses résultats correctement ?

8 étudiants sont inscrits au ballon panier; 11 étudiants sont inscrits au ballon volant; 11 étudiants sont inscrits au soccer; 2 étudiants sont inscrits au ballon panier et au ballon volant; 3 étudiants sont inscrits au ballon volant et au soccer; 2 étudiants sont inscrits au ballon panier et au soccer; 1 étudiant est inscrit aux trois sports; 1 étudiant ne fait aucun sport. Il faut placer, en premier, l’étudiant qui fait les trois sports. Ça n’en fait un de placer donc on le soustrait. On place, par la suite, les étudiants qui font deux sports. Ils sont placées donc on les soustrait. Ω Ballon panier Ballon volant Soccer On place ensuite les restes. 1 Attention: Ici, on ne place pas de point à côté du nombre car il ne représente pas un élément mais une quantité. 5 7 1 1 2 1 7

On a donc 8 étudiants inscrits au ballon panier; 11 étudiants inscrits au ballon volant; 11 étudiants inscrits au soccer; 2 étudiants inscrits au ballon panier et au ballon volant; 3 étudiants inscrits au ballon volant et au soccer; 2 étudiants inscrits au ballon panier et au soccer; 1 étudiant inscrit aux trois sports; 1 étudiant qui ne fait aucun sport. Ω Ballon panier Ballon volant Soccer Total: 25 étudiants 1 5 7 1 1 2 1 7

Ω Nombre de cas possibles: 25 Ballon panier Ballon volant Calcule la probabilité de choisir : 1 5 7 1 « Un étudiant inscrit au ballon panier» : 1 2 1 8 25 7 P( B p ) : Soccer « Un étudiant inscrit au ballon volant et au soccer » : 3 25 P( Bv ∩ S ) : « Un étudiant inscrit aux trois sports »: 1 25 P( Bp ∩ Bv ∩ S ) : « Un étudiant inscrit au ballon panier ou au soccer » : P( Bp U S ) = P(Bp) + P(S) P( Bp ∩ S ) : - 8 25 11 25 2 25 17 25 - =

Probabilités d’évènements complémentaires Ω Deux évènements sont dit complémentaires si leur intersection est vide: A B .3 .1 A ∩ B = .7 .2 et si leur union est égale à l’univers: .9 .5 A U B = Ω Si A et B sont des évènements complémentaires, alors: P(A ∩ B) = 0 et P(A) + P(B) = 1 Dans l’exemple ci-haut, l’univers possède 6 éléments. P(A ∩ B) = 0 et P(A) + P(B) = 1 4 6 2 6 6 + = = 1 Exemple: L’évènement « obtenir un nombre pair » et « obtenir un nombre impair » en lançant un dé sont des évènements complémentaires.

Dans le diagramme de Venn suivant: Ω l’univers possède 10 éléments. B A .2 .3 .5 .7 .4 .1 .3 .6 .2 .5 A : 2, 3, 5, 7 .9 .8 .7 .10 4 10 = 2 5 P(A) = A’ : signifie l’évènement complémentaire; c’est-à-dire tout ce qui n’est pas dans A. A’ : 1, 4, 6, 8, 9, 10 6 10 = 3 5 P(A’) = Pour calculer P(A’), on pourrait aussi utiliser le raisonnement suivant: P(A’) = 1 – P(A) 1 - 4 10 10 - 4 6 10 = 3 5 = =

Probabilité conditionnelle Une probabilité conditionnelle est la probabilité qu’un événement se produise sachant qu’un autre événement s’est déjà produit. La probabilité que l’événement B se produise sachant que l’événement A s’est déjà produit se note : P(B sachant A) = P(B | A) = PA(B) Trois notations équivalentes Calcul de la probabilité conditionnelle P(A ∩ B) P(A) P(B | A) = Il est important que P(A) ne soit pas nulle.

Pour bien comprendre, illustrons la situation par un diagramme de Venn. Ω A B .1 .2 .3 .4 .5 .6 C A: obtenir un nombre impair B: obtenir un nombre supérieur à 2 C: obtenir un multiple de 3 Quelle est la probabilité, d’avoir un multiple de 3 sachant que c’est un nombre supérieur à 2 ? Ici, il faut comprendre: quelle est la probabilité d’obtenir des éléments de l’évènement C en ayant sélectionné d’abord l’évènement B. Nouveau nombre de cas possibles Nombre de cas favorables 2 2 1 P(C | B) = = = 4

En utilisant la formule: Ω compte 6 éléments. Quelle est la probabilité, d’avoir un multiple de 3 sachant que c’est un nombre supérieur à 2 ? Ω A B .1 .2 .3 .4 .5 .6 C 6 4 6 2 P(B) : P(B ∩ C ) : P(B ∩ C) P(B) = P(C | B) 6 2 P(C | B) = 6 4 6 2 ÷ 4 6 2 X 4 4 2 2 1 P(C | B) = = = =

Exemple 2: On a interrogé 100 personnes sur leurs activités de fin de semaine : 50 personnes ont dit être allées au cinéma, 40 personnes ont joué au billard, 10 d'entre elles ont dit avoir été au cinéma et avoir joué au billard 20 personnes ont fait autre chose que d'aller au cinéma ou de jouer au billard. Ω : Les activités de fin de semaine de 100 personnes A : les personnes qui ont été au cinéma B : les personnes qui ont été au billard Ω A B Faire le diagramme de Venn 40 10 30 20

50 Ω : Les activités de fin de semaine de 100 personnes P(A) = 100 A : les personnes qui ont été au cinéma B : les personnes qui ont été au billard 40 P(B) = 100 Calcul des probabilités 10 Sachant que la personne a été au cinéma, quelle est la probabilité qu’elle ait aussi joué au billard ? P(A ∩ B) = 100 Ici, on sait qu’un événement s’est réalisé (avoir été au cinéma ) donc la probabilité ne se calcule plus par rapport aux 100 personnes mais uniquement par rapport aux 50 personnes qui ont été au cinéma. Ω A B 20 30 40 10 10 P(A ∩ B) P(A) 10 5 1 P(B | A) = = 100 = 50 50 100

Avec un diagramme de Venn, nous pouvons simplement en faire une analyse pour comprendre la probabilité conditionnelle et ainsi éviter les calculs. Reprenons l’exemple précédent : Ω : Les activités de fin de semaine de 100 personnes A : les personnes qui ont été au cinéma B : les personnes qui ont été au billard Ω Sachant que la personne a été au cinéma, quelle est la probabilité qu’elle ait aussi joué au billard ? A B 40 10 30 10 5 1 P(B | A) = = 20 50 Il faut regarder le nombre de cas possibles avant ( sachant que ) . Par la suite, le nombre de cas favorables parmi le nombre de cas possibles.

Le diagramme de Venn est un outil qui peut être utile pour calculer la probabilité d’un évènement.