Quand le français est plus important que les calculs en mathématiques Nombres premiers

Ce n’est pas si élémentaire que ça en à l’air! Énoncé du problème Ce n’est pas si élémentaire que ça en à l’air! Montrer qu’il existe une infinité d’entiers naturels premiers, c’est-à-dire que l’ensemble des entiers naturels premiers n’est pas borné.

Définition des nombres premiers Un nombre premier est un nombre qui ne peut donner un nombre entier comme résultat, quand on le divise, que s’il est divisé par 1 ou par lui-même. 1 n’est pas un nombre premier (il n’est divisible que par un seul nombre). Un petit rappel… Oui, c’est correct!

Résolution On suppose que la famille des nombres premiers positifs est finie : soit P = {p1=2, p2=3,p3=5…..pn-1, pn} la famille de ces nombres. Cette famille est classée dans l’ordre. Mais qu’est-ce qu’il raconte?

Résolution (suite) On pose maintenant q = p1.p2.p3…..pn-1.pn+1 C’est-à-dire que q est égal au produit de tous les nombres premiers contenus dans P augmenté de 1 Où veut-il en venir?

Mais c’est qu’il a raison l’animal! Raisonnement soit q est premier, mais c’est impossible car il est plus grand que pn, et il n’est donc pas dans la famille P qu’on a supposé finie; soit q n’est pas premier, mais alors il admet forcément un diviseur premier, or aucun des éléments de P ne divise q, sinon il diviserait 1! Mais c’est qu’il a raison l’animal!

Développement (non obligatoire) Soit pk nombre entier premier inférieur à pn. Si q n’est pas premier et qu’il est multiple de pk le résultat de la division q/pk est un nombre entier. Or q/pk = (p1.p2.p3…..pn-1.pn)/pk +1/pk Le premier terme (p1.p2.p3…..pn-1.pn+)/pk donnera bien un nombre entier puisque pk fait partie de P . Par contre la seule valeur de pk pour laquelle 1/pk donnera un nombre entier est 1. Or 1 n’est pas un nombre premier!

Conclusion On a donc une contradiction, ce qui prouve que la famille des nombres premiers est infinie. Tadaaaa…!

Commentaire Ce type de raisonnement est appelé raisonnement par l’absurde. Il est fréquemment employé en mathématiques. Pour prouver quelque chose on part de l’affirmation contraire. Autant dire que la maîtrise de la langue est primordiale! Moralité : lycéens, lycéennes, quand vous êtes en cours de Mathématiques, n’oubliez pas votre français!

Qui a dit que les mathématiques ne servait à rien? Des milliers de dollars pour des millions de chiffres L’Electronic Frontier Foundation (EFF, association de défense et de promotion de l’utilisation de l’internet) a annoncé en mars 1999, que le don d’un mécène anonyme, 50 000$, serait attribué au premier individu ou groupe qui découvrirait un nombre premier de plus d’un million de chiffres. Devinez qui est le mécène anonyme.

Qui a dit que les mathématiques ne servait à rien? Ce prix a été remporté quelques mois plus tard par les découvreurs de : 26972593 –1 Depuis on en a certainement découverts d’autres! Il est astronomique ce nombre premier!

Et ce n’est pas tout! Il existe d’autres prix : 100 000$ pour la découverte du premier nombre premier de plus de 10 millions de chiffres, 150 000$ pour la découverte du premier nombre premier de plus de 100 millions de chiffres, 250 000$ pour la découverte du premier nombre premier de plus de 1 milliard de chiffres. Des amateurs???.