Elaboré par M. NUTH Sothan 1

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Soit x, y et z des coordonnées cartésiennes à 3 dimension. G un ensemble de points dans le plan (u, v). Déf. : On appelle surface une application continue F. x=x(u, v), y=y(u, v), z=z(u, v), {u, v}  G. (1) de l’ensemble G dans l’espace. 3

Sous la forme vectorielle : (2) où L’ensemble G s’appelle système de coordonnées et u et v sont des coordonnées ou paramètres de F. L’image F(G) est la surface et définie par (1) ou (2). 4

Ex. : Les applications : x = cosu, y = sinu, z = v, (0  u  2π, 0  v  1) et x=cos2u, y=sin2u, z=v, (0  u  2π, 0  v  1) définissent des surfaces différentes biehn que G={{u, v}; (0  u  2π, 0  v  1) soient dans les deux cas l’ensemble : x 2 + y 2 = 1, 0  z  1. 5

Le 1 er cas : La surface ne présente pas de self- intersection. Le 2 ème cas : Elle en présente. Déf. : La surface F est différentiable si (1) (ou (2)) possèdent des dérivées partielles 1ères ordre continues dans G. Déf. : Une surface différentiable F est régulière si en tout point {u, v} dans G le rang de la matrice 6

est égale à 2. Ceci exprime que sont linéairement indépendant. 7

Soit F une surface RD SSI, définie par (1) ou (2). Soit {u 0, v 0 }  G. Pour u=u 0 : devient courbe RD sur F passant par le point et un vecteur tangent à la courbe. 8

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De façon analogue : Pour v=v 0 : devient courbe RD sur F passant par le point et un vecteur tangent à la courbe. Les courbes s’appelle coordonnées de la surface F. 10

Donc les lignes de coordonnées se coupent sous l’angle  (0 <  <  ). Soit : u=u(t), v=v(t), a  t  b une courbe RD SSI passant par {u 0,v 0 } dans G : u(t 0 )=u 0, v(t 0 )=v 0, a  t 0  b Alors (3) est une courbe diff. SSI située sur F. 11

Cette courbe est régulière. En effet : puisque sont linéairement indépendants et 12

L’équation tangent à la surface F au point : où est la normale à la surface F au point 13

On a : 14

Donc : Notons : 15

Soit F RD SSI définie par : et D ⊂ G un domaine borné fermé. Soit F D la partie de F définie par D : Déf. : L’aire de surface F D est : 16

R.1: (6) représente l’aire du parallélogramme construit sur les vecteurs En effet : 17

R.2: Si la surface différentiable F définie par : z = f(x, y), {x, y}  G, alors : 18

Alors : R.3: Si z=0, alors : Ex.: Calculer l’aire de portion de sphère de rayon R et de centre l’origine de coordonnées située dans le 1 er octant. 19

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Soit F une surface RD SSI définie par et D ⊂ G un domaine borné fermé. Désignons F D la partie de F définie par D : 21

Déf.: Soit g(x, y, z) continue sur F D. 22

R.: Si z=f(x, y), {x, y}  D 23

Déf.: On dit qu’une surface RD est orientable s’il est possible de choisir un champ de vecteurs unitaires normaux continu. Dans le cas contraire on dit qu’elle est non orientable. Soit F une surface RD SSI orientée par le choix d’un champ de vecteurs unitaires normaux continus. 24

R.: Il existe une surface non orientable. Soit F une surface RD SSI orientée par le choix d’un champ de vecteur unitaires normaux : 25

Supposons : est continu sur F. Déf.: On appelle flux du champ de vecteur à travers la surface orienté F l’intégrale : où F est définie par : 26

(2) s’appelle intégrale de surface de second espèce. Si F est orientée par, alors (2) change de signe. En effet : Si P=Q=0 et F est définie par : z=z(x, y), {x, y}  D 27

Alors : Le signe dépend du choix de l’orientation de la surface. Et 28

Alors : De même manière : Et l’intégrale de surface de second espèce est (2). 29

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Soit F une surface RD SSI définie par : et G un domaine simplement connexe. Soit C ⊂ G un contour fermé simple deux fois différentiables : u=u(t), v=v(t), a  t  b, D un domaine fermé borné de frontière C. Donc définie un contour C situé sur F. 31

Soit F D la portion de surface contenue à l’intérieur de C. La surface F est orienté par vecteur unitaire normal : 32

Th.1: Soit un champ de vecteur continu et différentiable sur F. 33

Déf.: Le champ de vecteurs s’appelle rotationnel du champ de vecteurs différentiable ou 34

La formule de Stockes peut être écrite sous forme : R.: D’après la formule de Stockes, la circulation d’un champ de vecteurs suivant un contour fermé est égale au flux du rotationnel de ce champ à travers la surface limitée par ce contour. 35

Th.2 (CNS): Un champ de vecteurs continu dans G est potentiel ssi ne dépend pas de chemin L joignant deux points qc de G. Th.3 (CNS): Un champ de vecteurs continu dans G est potentiel ssi 36

Soit H={{x, y, z}; z 1 (x, y)  z  z 2 (x, y), {x, y}  D}, et z 1 (x, y) < z 2 (x, y) pour {x, y}  D Soit la surface F est orientée par Soit un champ de vecteur 37

z=z 1 (x, y) D F1F1 F2F2 F0F0 y z x 0 38

Th.: Déf.: 39

Alors la formule d’Ostrogradski devient R.: est dit solénoïdal. 40

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