Coupes efficaces pour la relaxation lagrangienne Cours d’optimisation combinatoire Mr Gérard Plateau Jean-Michel Dubois 2002

Coupes efficaces Notations Condition nécéssaire Un exemple de coupe Conclusion

Coupes efficaces : notations Problème (P) valeur optimale V(P) solution optimale OS(P) domaine : FS(P)

Coupes efficaces : notations Définitions : _ une coupe est valide pour la relaxation (R) du problème (P) si le problème (R’) est encore une relaxation du problème (P). R’ est le problème R avec la nouvelle coupe. _ on dit qu’une coupe est fortement valide si de plus

Coupes efficaces : notations

Coupes efficaces : notations Dualisation de la contrainte : Avec u (Geoffrion, 1974)

Coupes efficaces : notations Dual lagrangien : Enveloppe convexe de A (Geoffrion, 1974)

Coupes efficaces Notations Condition nécéssaire Un exemple de coupe Conclusion

Coupes efficaces : condition nécéssaire Objectif : obtenir une meilleure valeur (i.e. une meilleure borne supérieure) de la relaxation Moyen : ajouter des coupes de la forme

Coupes efficaces : condition nécéssaire Définition : Ceci est équivalent à dualiser la coupe !

Coupes efficaces : condition nécéssaire On trouve une meilleure borne supérieure pour la relaxation si : et

Coupes efficaces : condition nécéssaire OS(LR’) OS(LR) OS(LP) f C L x OS(P) A C’

Coupes efficaces : condition nécéssaire Pour qu’une coupe soit fortement valide tout en améliorant la borne de la relaxation lagrangienne, il faut que : Soit la coupe est fortement valide pour Soit la coupe est fortement valide pour (P)

Coupes efficaces Notations Condition nécéssaire Un exemple de coupe Conclusion

Un exemple de coupe Exemple préliminaire : TSP asymétrique Définition du tour : C’est un graphe partiel à une composante connexe Chaque nœud à un degré intérieur égal à 1 Chaque nœud a un degré extérieur égal à 1 Le tour obtenu doit être de poids minimal !

Un exemple de coupe La troisième contrainte peut s’écrire : (*) V ensemble des sommets E ensemble des arcs Considérons la relaxation lagrangienne où on dualise ces contraintes : une solution de cette relaxation peut violer une des contraintes (*).

Un exemple de coupe Notons l’ensemble de nœuds qui ont différents degré intérieurs/extérieurs. Considérons maintenant les coupes : V ensemble des noeuds E ensemble des arcs Ces coupes n’améliorent pas la borne supérieure de la relaxation lagrangienne ! Ce sont des coupes valides mais pas fortement valides

Coupes efficaces : un exemple de coupe Sac à dos à choix multiples « on doit choisir un objet par classe » « contrainte de type sac à dos »

Coupes efficaces : un exemple de coupe Deux relaxations lagrangiennes possibles La deuxième est plus simple pour la résolution : un seul multiplicateur lagrangien. Mais ceci équivaut à la relaxation en continu

Coupes efficaces : un exemple de coupe Problème : la solution de la relaxation lagrangienne risque de ‘violer’ la contrainte de type sac à dos Solution : ajouter une coupe qui dit : de toutes les variables qui sont actuellement à 1 dans la solution courante, au moins une doit valoir zéro.

Coupes efficaces : un exemple de coupe Exemple avec 4 classes Supposons que valent 1 dans la solution courante On peut choisir la coupe Cette coupe va améliorer la borne !! Mais en la dualisant on a un autre multiplicateur de Lagrange…

Coupes efficaces Notations Condition nécéssaire Un exemple de coupe Conclusion

Conclusion Les coupes sont aussi utilisées pour les résolutions exactes, comme dans l’algorithme du simplexe (en nombres entiers) : on ajoute des coupes de Gomory « à la volée »

Conclusion L’ajout de coupes lors de relaxations lagrangiennes contribuent à l’amélioration de la borne supérieure La « taille » du problème augmente à chaque ajout de coupe

Conclusion Pour des problèmes données, il arrive que les coupes n’améliorent pas la borne supérieure de la relaxation lagrangienne : exemple du problème du voyageur de commerce