Théorie de l'Échantillonnage Numérisation du signal Michel Fiocchi Novenbre 2003

Numérisation Acquisition Du signal analogique, continu dans le temps et continu en amplitude... ... à un signal définit ponctuellement et quantifié.

Numérisation Restitution Du signal numérique, discret et quantifié... ... à un signal continu dans le temps et quantifié en amplitude.

Numérisation Échantillonnage s(t) {s(nT)} Quantification s(nT) mq Codage mq i

Échantillonnage s(t) {s(nT)} Dans l'espace des temps le signal est remplacé par ces valeurs à des instants multiples entiers de la période d'échantillonnage T.

Échantillonnage Modèle mathématique

Échantillonnage Dans le plan des fréquences

Périodisation du spectre Échantillonnage Périodisation du spectre

Échantillonnage Périodisation du spectre +fe -fe

Échantillonnage Périodisation du spectre Pour une fréquence d'échantillonnage trop petite, le phénomène de recouvrement de spectre (ou de repliement ) modifie le signal.

Échantillonnage Théorème de Shannon soit fm la fréquence telle que fe=2 fm est la fréquence critique d'échantillonnage (fréquence de Shannon ou de Nyquist)

Échantillonnage Théorème de Shannon Un signal qui ne contient pas de fréquences supérieures à fmest entièrement déterminé par la suite de ses valeurs prises à des instants régulièrement espacés de la durée

Échantillonnage Exemple:acquisition d’un signal sonore Le son s(t) est supposé être composé de l’alternance de deux tonnalités placées à 1280 hz et 1620 hz;

Échantillonnage Exemple Application du théorème de Shanon: fe >3240 hz fréquence d’échantillonnage 3675 hz

Échantillonnage Exemple: spectre du signal physique ………Mais des harmoniques hautes fréquences ne sont pas négligeables……

Échantillonnage Exemple Le son se(t) est plus grave que le son réel bien que le chronogramme soit quasiment identique.

Échantillonnage Exemple K=-2 …….. K=2 K=-1 K=1 Périodisation du spectre à 3675 hz

Échantillonnage Exemple Des raies apparaissent en basse fréquence

Échantillonnage Exemple:limite de la bande passante par filtrage Des raies hautes fréquences sont atténuées,…. ….et plus audibles après repliement

Échantillonnage Reconstruction

Échantillonnage Reconstruction

Échantillonnage Reconstruction

Échantillonnage Reconstruction

Échantillonnage Reconstruction

Quantification  s(nT) mq Dans l’espace des Amplitudes, chaque valeur de s(nTe) est approchée par un multiple entier d’une quantité élémentaire q

Quantification  s(nT) mq

Bruit de Quantification puissance du bruit si p(e) est uniforme

Quantification Dynamique de codage 2 N valeurs sur la dynamique totale du codeur soit: En exprimant la puissance du signal:

Numérisation des signaux réels Signaux de durée limitée Echantillonnage de durée finie Nombre fini de points

Signaux de durée limitée Domaine temporel

Signaux de durée limitée Domaine fréquentiel

Signaux de durée limitée Cas Général N’est pas à support borné

Echantillonnage de durée finie Echantillonneur moyenneur

Echantillonnage de durée finie Echantillonneur moyenneur

Nombre fini de points Soit N le nombre de points régulièrement espacés sur la période d’observation T . Le signal est défini par une suite de N valeurs sk . Le spectre du signal est estimé par une suite de N valeurs Sk .

Nombre fini de points

Nombre fini de points TDF Sk et sk sont N périodiques

Echantillonnage du spectre Sinus à 25 hz échantillonné à 100 hz sur 100 points Sinus à 25,5 hz échantillonné à 100 hz sur 100 points