Une petite histoire de la numération La numération additive et la numération de position

La numération additive voici des exemples de graphismes de numération additive qui ont traversé les âges Nous allons les revoir juste après

30 000 av. J.-C. : l’ère paléolithique Pour mémoriser les quantités : les hommes faisaient des entailles dans du bois ou de l’os à l’aide de silex.

Déjà les civilisations utilisent la cartographie corporelle C’est-à-dire, ils dénombrent grâce à leurs corps (doigts, orteils, jambes, articulations…) afin de mémoriser les quantités. Ci-contre : trace récente de cette pratique, image du XVIe siècle. ils utilisaient également couramment les gestes pour compter (d'où d'ailleurs la numération de base 20, qui a été très répandue) malheureusement, cette image n'est pas du tout d'époque puisqu'elle date du 16e s de notre ère

Ils utilisent également les numérotations figurées Des objets, comme des cailloux, des perles, des coquillages, des nœuds… représentent des nombres et divers matériels vont commencer à être mis au point : les calculi, les abaques, les bouliers… qui pour certains vont traverser les siècles. tout était bon pour compter, les cailloux, les ficelles, plus ou moins grosses, sur lesquelles on faisait des noeuds...

8000 av. J.-C. : les calculi Au Moyen-Orient, apparaissent les calculi. Chaque caillou vaut « un », et vint l’idée de remplacer un tas de cailloux par un caillou de nature ou de forme différente.

Défaut : Ces dispositifs matériels souffrent d’une grande faiblesse : leur impuissance à garder trace du passé puisque chaque étape du calcul efface la précédente.

Les premières numérations écrites arrivent vers 3 300 av. J.-C. en Mésopotamie. Elles servent à gérer terres, troupeaux, grains… Le potier compte ses amphores.

Les premières numérations écrites sont sumériennes La tablette d’argile (2400 ans av. J.-C.) en écriture cunéiforme, où clous et chevrons représentent les chiffres de leur numération (Sumer : partie méridionale de la Mésopotamie)

Les premières numérations écrites sont sumériennes Stèle du XXIIIe siècle av. J.-C., où le nombre des offrandes est consigné dans le tableau de droite.

Les premières numérations écrites sont sumériennes Exemple de table de multiplication (2000 av. J.-C.) conservée au musée du Louvre, provenant de Suse.

Vers 3000 av. J.-C. : la numération égyptienne Moins de traces de cette numération que de la précédente car le support est très fragile : ici le papyrus Rhind où sont utilisés des hiéroglyphes simplifiés (hiéroglyphes signifie écriture des dieux, de hieros : sacré et gluphein : graver) C’est ce qu’on appelle l’écriture hiératique.

Vers 3000 av. J.-C. : la numération égyptienne Sur les monuments , ils utilisent les hiéroglyphes. A droite, le nombre 1 527. Le 10, cordelette pour entourer un paquet de 10 Le 100 aurait une origine phonétique Le 1000, la fleur de lotus Le 10 000, un doigt légèrement recourbé; avec les doigts, ils savaient, paraît-il, compter jusque 9 999

Vers 3000 av. J.-C. : la numération égyptienne Ils savent additionner, soustraire, multiplier et diviser, ils écrivent les premières fractions. Ci-contre : Horus, l’homme à tête de faucon

Vers 3000 av. J.-C. : la numération égyptienne Les additions sont d’une grande simplicité. 784 + 133 = 917

Vers 3000 av. J.-C. : la numération égyptienne Qui était : 784 + 133 917

Vers 3000 av. J.-C. : la numération égyptienne Une multiplication réclame un peu d’organisation : soit à calculer 28  15 (Les Égyptiens décomposaient le plus grand des deux nombres en puissances de 2) Les Egyptiens travaillaient de manière empirique Ils cherchaient la plus grande puissance de 2 inférieure à 28 soit 16, soustrayaient 16 de 28 ce qui donne 12 et recommençaient. La plus grande puissance de 2 inférieure à 12 est 8, on retranche, il reste 4, qui est une puissance de 2; d’où 28 = 16 + 8 + 4 Et ils faisaient cela jusqu’à ce qu’il ne reste rien; le « zero » n’existait pas encore

Vers 3000 av. J.-C. : la numération égyptienne Ils utilisaient les fractions mais ne les écrivaient pas comme nous. Certaines fractions étaient même divines.

Vers 3000 av. J.-C. : la numération égyptienne Ci-dessus, l’oudjat, symbole de la clairvoyance, et qui signifie complet en égyptien. Il représente les fameuses fractions divines. Le 1/64 manquant serait le liant magique ajouté par le mathématicien Thot, pour permettre à l’œil de fonctionner. La légende veut que l’œil d’Horus ait été arraché et dispersé en morceaux dans le royaume Les morceaux furent retrouvés et l’œil recomposé, mais…(la somme ne fait que 63/64) Horus devint roi

Vers 1800 av. J.-C., le système babylonien, numération de position déjà La numération babylonienne n’a que 2 symboles : le clou et le chevron. Selon leurs positions, les symboles peuvent représenter des unités, ou des groupes de 60 unités, ou de 60 60 unités… C’est un système de base 60.

Vers 500 av. J.-C. : la numération romaine Numération toujours additive, dont les symboles ont évolué au fil des siècles, mais encore utilisée aujourd’hui pour numéroter des paragraphes, des rois, écrire des siècles…

Vers 500 av. J.-C. : la numération romaine Voilà comment les Romains comptaient, ce qui demandait énormément de signes pour écrire un nombre (ici le nombre 23). Ceci a représenté une nette régression par rapport à certaines numérations antérieures. Par contre, abaques et bouliers étaient largement utilisés. Ensuite on a placé le 1 devant le 5 pour faire le 4 (le symbole placé devant venait en soustraction s’il était plus petit)

Exemple d’abaque Abaque (abex en grec et abacus en latin) désigne un objet à surface plane destiné à différents usages, permettant entre autres d’effectuer des calculs. Sur les premiers abaques, on déposait du sable sur lequel on écrivait Puis on y a tracé des colonnes (nos puissances de 10) et dans ces colonnes, on déposait des calculi puis des jetons( appelés epices (prononcer epicès))

L’algoriste et l’abaciste Gravure du XVIe siècle où l’algoriste (à gauche) pratique ses algorithmes de calcul pendant que l’abaciste déplace les apices.

De l’abaque au boulier Un abaque antique et un boulier chinois

L’art de compter avec un boulier Les boules du haut valent 5 et celles du bas valent 1. De droite à gauche, on lit les unités, les dizaines, etc. Ci-contre : 723

Vers 400 av. J.-C. : la numération grecque Une virgule devant le nombre signifiait qu’on multipliait par 1000, et cette numération permettait d’écrire des nombres jusque 999 999. Une nette avancée par rapport à la numération romaine

Enfin arrive l’invention du zéro Son introduction se fait en trois étapes. Le zéro est introduit dans un premier temps quand on désire multiplier par dix. Le premier zéro est babylonien. Il est apparu au IIIe siècle av. J.-C.. Il devient possible d’exprimer tout nombre dans un système à position, qui seul permet l’utilisation généralisée d’algorithmes arithmétiques, et qui rend superflu l’usage de bouliers ou d’abaques…

Puis la numération positionnelle décimale fait son apparition Initiée au IIe siècle av. J.-C. par les Chinois et finalisée vers l’an 500 de notre ère en Inde, la mise en place des systèmes arithmétiques positionnels (en particulier le système décimal) fut une découverte majeure de l’histoire des mathématiques.

La numération positionnelle utilise alors le zéro Chaque signe représente un chiffre et c’est la position du signe dans le nombre qui donne son ordre de grandeur. Notre numération décimale est une numération positionnelle. Mais un chiffre doit marquer la position vide et on réutilise le zéro (2e étape de l’introduction du zéro)

La numération positionnelle utilise alors le zéro Il devient possible d’exprimer tout nombre dans un système à position, qui seul permet l’utilisation généralisée d’algorithmes arithmétiques et qui rend superflu l’usage de bouliers, etc. Algorithme : méthode de résolution de problème, énoncée sous la forme d’une série d’opérations à effectuer.

En Inde alors apparaît le nombre zéro Le zéro n’était alors qu’un chiffre, et il faudra attendre le 5e siècle de notre ère, en Inde, pour qu’il soit considéré comme chiffre et comme nombre (3e étape de l’introduction du zéro). Un nouveau nombre demande une définition : le zéro est le résultat de la soustraction d’un entier par lui- même. Le mot indien (sùnya) signifiait : vide, espace, vacant ; et la graphie (d’abord un cercle) était inspirée de la voûte céleste.

Le zéro arrive en Europe Au IXe siècle, le zéro est introduit en Espagne par les Arabes (zéro tout comme chiffre vient de l’arabe sifr). En 982, un moine auvergnat, Gerbert d’Aurillac qui deviendra le pape Sylvestre II, après un voyage en Espagne, introduit les chiffres arabes en Europe occidentale. Ils évolueront jusqu’au XIIe siècle où ils prendront leur forme définitive, grâce entre autres à Léonard de Pise dit Fibonacci. Gerbert D’Aurillac utilisait des abaques qui ne réclamaient pas l’usage duzéro; il laissait une case vide C’est Fibonacci, qui en 1202, dans son traité « Liber Abaci »  écrit après de nombreux voyages, qui lance définitivement l’usage du zéro en Europe.Les algoristes ont, paraît-il, beaucoup freiné l’introduction du zéro, car ainsi, leur présence était indispensable.

L’évolution de la numération moderne De haut en bas : La nagari ancienne La nagari moderne L’arabe ancienne orientale L’arabe moderne orientale L’arabe occidentale La moderne

Fin de notre petite histoire…