Equation différentielle de 2ème ordre Elaboré par M. NUTH Sothan

ED1 I. Notion général Déf.: F(x, y, y’,y ’’) = 0 (1) où x est une variable, y est une fonction de variable x , y’ sa dérivée 1ère et y’’ sa dérivée second. s’appelle équation différentielle de 2ème ordre. On peut résoudre par rapport y’’ : y’’=f(x, y, y’) (1’)

ED1 I. Notion général… Th.de Cauchy: Si f(x, y, y’), f’ y(x, y, y’), f’ y’(x, y, y’) sont définies et continues dans G, alors il existe uniquement la solution de l’équation y’’=f(x, y, y’) à l’intérieur d’un point (x0 , y0 , y0’ )  G , vérifiant la CI y=y0 , y’=y’0 pour x=x0 . (2)

ED1 II. Solution… Déf.1: La solution générale de (1) est une fonction y=(x, c1 , c2), xG et c1 , c2 sont des constants, qui vérifie (1) et pour toute CI y=y0 , y’=y’0 pour x=x0 , (x0 , y0) G, il existe uniquement c1 = c1 0, c2=c2 0 tel que la fonction y=(x, c1 , c2) implique (x0 , c1 0, c2 0)=y0 .

ED1 II. Solution… Déf.2: La solution partielle de (1) est une fonction y= (x0 , c1 0, c2 0) obtenue de y=(x, c1 , c2) de (1) pour c1 = c1 0, c2=c2 0 vérifiant la CI y=y0 , y’=y’0 pour x=x0 . Ex.: y’’= 2 On a: y’=2x + c1 Et: y=x2 + c1 x + c2 . est une SG , où c1 et c2 sont des constants.

ED1 III. Cas d’abaissement Considérons : y’’=f (x, y, y’) On peut ramener à une ED du 1er ordre. 1. ED de la forme y’’=f(x) ou y’’=f(x,y’) En posant z(x)=y’, on obtient l’ED du 1er ordre. Ex.1: y’’=x. Ex.2:

III. Cas d’abaissement… ED1 III. Cas d’abaissement… 2. ED de la forme y’’=f(y, y’) En posant z(x)=y’ et on obtient l’ED du 1er ordre. Ex.3:

ED1 IV. EDL de 2ème ordre Considérons : y’’+ P(x)y’ + q(x)y = f(x) (1) Si f(x)=0, on a : y’’+ P(x)y’ + q(x)y = 0 (2) qui s’appelle homogène, sinon s’appelle non-homogène. Th.1: Si y1(x) et y2(x) sont les solution de (2), alors y= c1 y1(x) + c2 y2(x) est aussi la solution de (2) pour touts c1 et c2 .

ED1 IV. EDL de 2ème ordre… Th.2: Si y1(x) et y2(x) sont LD sur (a, b), alors : Th.3: Si y1(x) et y2(x) sont LI sur (a, b), alors W(x) 0. Th.4: Si les solution y1(x) et y2(x) sont LI sur (a, b), alors y= c1 y1(x) + c2 y2(x) est la solution générale de (2) pour touts c1 et c2 .

ED1 IV. EDL de 2ème ordre… Ex.: y’’  y =0. On a y1(x) = ex et y2(x) = e-x et Problème: Si l’une des solutions est connue, est-ce qu’on peut trouver la SG de (2). Soit y1(x) est une solution de (2). En posant y= y1(x)z la SG de (2). Après la résolution, on trouve:

ED1 IV. EDL de 2ème ordre… Th.5: SG(1)=SPNH(1) + SGH(2). Problème: Trouvons la SPNH(1) en utilisant la SGH(2). Soit y= c1 y1(x) + c2 y2(x) la SGH(2). Posons y= c1(x)y1(x) + c2(x)y2(x) la SPNH(1). En remplaçant dans (1), on trouve c1(x) et c2(x) de

Institut de Technologie du Cambodge 3/3/2010 ED1 IV. EDL de 2ème ordre… Ex.: y’’ – y = x. On a Y(x)=C1 ex + C2 e-x SGH Posons SPNH Pour trouver C1(x) et C2(x) il faut résoudre le système On obtient: Elaboré par M. NUTH Sothan

Institut de Technologie du Cambodge 3/3/2010 ED1 IV. EDL de 2ème ordre… On trouve SPNH Et la SGNH sous forme Elaboré par M. NUTH Sothan

V. EDLH de 2ème ordre à coefficient constant Institut de Technologie du Cambodge 3/3/2010 ED1 V. EDLH de 2ème ordre à coefficient constant Considérons: (1) où p et q sont constants réels. Considérons l’ÉC: (2) Th1.: Si k est un racine réel de l’équation (2), alors y=ekx est une solution de (1) Th2.: Si k=  i est un racine complexe de l’équation (2), alors y1=ex cosx et y2=ex sinx sont des solutions de (1). Elaboré par M. NUTH Sothan

V. EDLH de 2ème ordre à coefficient constant… Institut de Technologie du Cambodge 3/3/2010 ED1 V. EDLH de 2ème ordre à coefficient constant… Th3.: Si les racines de (2) sont k1  k2 R, alors la solution de (1) est Th4.: Si les racines de (2) sont k1 = k2 = kR, alors la solution de (1) est Th5.: Si les racines de (2) sont k=  i , alors la solution de (1) est Elaboré par M. NUTH Sothan

VI. EDLNH de 2ème ordre à coefficient constant Institut de Technologie du Cambodge 3/3/2010 ED1 VI. EDLNH de 2ème ordre à coefficient constant Considérons: Trouvons la SPNH: 1/ f(x)=Pn(x) Où La SPNH sous forme Où Qn(x) est le polynôme de degré n et r est le nombre de racines de l’EC qui sont égal à 0. Ex.: Elaboré par M. NUTH Sothan

VI. EDLNH de 2ème ordre à coefficient constant… Institut de Technologie du Cambodge 3/3/2010 ED1 VI. EDLNH de 2ème ordre à coefficient constant… 2/ f(x)=ex Pn(x) Où Pn(x) est le polynôme de degré n La SPNH sous forme Où Qn(x) est le polynôme de degré n et r est le nombre de racines de l’EC qui sont égal à . Ex.: Elaboré par M. NUTH Sothan

VI. EDLNH de 2ème ordre à coefficient constant… Institut de Technologie du Cambodge 3/3/2010 ED1 VI. EDLNH de 2ème ordre à coefficient constant… 3/ f(x)= a cosx +b sinx La SPNH sous forme Où r est le nombre de racines de l’EC qui sont égal à i. Ex.: Elaboré par M. NUTH Sothan

VI. EDLNH de 2ème ordre à coefficient constant… Institut de Technologie du Cambodge 3/3/2010 ED1 VI. EDLNH de 2ème ordre à coefficient constant… En général, si Alors Où PT(x) et QT(x) sont les polynômes de degré T =Max(m,n) et r est le nombre de racines de l’EC qui sont égal à   i. R.: On peut trouver la SPNH par le méthode de variation de constant. Elaboré par M. NUTH Sothan

VI. EDLNH de 2ème ordre à coefficient constant… Institut de Technologie du Cambodge 3/3/2010 ED1 VI. EDLNH de 2ème ordre à coefficient constant… Th.: Si est la SPNH de et si est la SPNH de Alors est la SPNH de Ex.1: Ex.2: Ex.3: Ex.4: Elaboré par M. NUTH Sothan

Institut de Technologie du Cambodge 3/3/2010 ED1 VII. Equation d’Euler Considérons Où a, b, A1 , . . . , An sont des constants. Posons Elaboré par M. NUTH Sothan

Institut de Technologie du Cambodge 3/3/2010 ED1 VII. Equation d’Euler On obtient EDL à coefficient constant. Ex.: Posons On obtient Elaboré par M. NUTH Sothan

VIII. Système de l’ED ordinaire Institut de Technologie du Cambodge 3/3/2010 ED1 VIII. Système de l’ED ordinaire Il faut trouver les solutions qui sont vérifiées le système de l’ED. Considérons Elaboré par M. NUTH Sothan

VIII. Système de l’ED ordinaire… Institut de Technologie du Cambodge 3/3/2010 ED1 VIII. Système de l’ED ordinaire… Où y1 , y2 ,…, yn sont des fonction et x est une variable. Après l’intégrale (1), on définie y1 , y2 ,…, yn qui vérifient les CI : Faire la dérivée la 1ère équation de (1) par x , on obtient: Elaboré par M. NUTH Sothan

VIII. Système de l’ED ordinaire… Institut de Technologie du Cambodge 3/3/2010 ED1 VIII. Système de l’ED ordinaire… En remplaçant , on obtient: Faisant de même façon, on obtient: Elaboré par M. NUTH Sothan

VIII. Système de l’ED ordinaire… Institut de Technologie du Cambodge 3/3/2010 ED1 VIII. Système de l’ED ordinaire… On trouve le système: Elaboré par M. NUTH Sothan

VIII. Système de l’ED ordinaire… Institut de Technologie du Cambodge 3/3/2010 ED1 VIII. Système de l’ED ordinaire… De n – 1 première on peut définir y2 , y3 ,…, yn en fonction de x, y1 , et : Elaboré par M. NUTH Sothan

VIII. Système de l’ED ordinaire… Institut de Technologie du Cambodge 3/3/2010 ED1 VIII. Système de l’ED ordinaire… En remplaçant dans la dernière équation de (3), on obtient une équation de nème ordre: Après résoudre (5), on trouve: Faisant les dérivées, on obtient: Elaboré par M. NUTH Sothan

VIII. Système de l’ED ordinaire… Institut de Technologie du Cambodge 3/3/2010 ED1 VIII. Système de l’ED ordinaire… En remplaçant dans (4), on obtient: Elaboré par M. NUTH Sothan

VIII. Système de l’ED ordinaire… Institut de Technologie du Cambodge 3/3/2010 ED1 VIII. Système de l’ED ordinaire… Ex.: Dériver la 1ère équation par x: En remplaçant y’ et z’ , on obtient: Elaboré par M. NUTH Sothan

VIII. Système de l’ED ordinaire… Institut de Technologie du Cambodge 3/3/2010 ED1 VIII. Système de l’ED ordinaire… Or, de la 1ère équation On obtient: EDL de 2ème ordre à coefficient constant. Elaboré par M. NUTH Sothan

VIII. Système de l’ED ordinaire… Institut de Technologie du Cambodge 3/3/2010 ED1 VIII. Système de l’ED ordinaire… Ex.: De (a), on a Elaboré par M. NUTH Sothan

VIII. Système de l’ED ordinaire… Institut de Technologie du Cambodge 3/3/2010 ED1 VIII. Système de l’ED ordinaire… Ex.1: Ex.2: Ex.3: Ex.4: Elaboré par M. NUTH Sothan

VIII. Système de l’ED ordinaire… Institut de Technologie du Cambodge 3/3/2010 ED1 VIII. Système de l’ED ordinaire… On peut résoudre le système de ED d’ordre supérieur. Considérons: Posons: Elaboré par M. NUTH Sothan

VIII. Système de l’ED ordinaire… Institut de Technologie du Cambodge 3/3/2010 ED1 VIII. Système de l’ED ordinaire… Alors: Ex.: Dériver la 1ère deux fois par x : , or On a: est une EDL de 4ème ordre. Elaboré par M. NUTH Sothan

IX. Système de l’ED à coefficient constant Institut de Technologie du Cambodge 3/3/2010 ED1 IX. Système de l’ED à coefficient constant Considérons: Où aij est constant, x(t) est une fonction de variable t . Elaboré par M. NUTH Sothan

IX. Système de l’ED à coefficient constant… Institut de Technologie du Cambodge 3/3/2010 ED1 IX. Système de l’ED à coefficient constant… On va trouver la solution particulière sous forme: Il faut trouver et k pour que vérifient (1). En replaçant (2) dans (1), on obtient: Elaboré par M. NUTH Sothan

IX. Système de l’ED à coefficient constant… Institut de Technologie du Cambodge 3/3/2010 ED1 IX. Système de l’ED à coefficient constant… On obtient: Le déterminant de (3) est: Elaboré par M. NUTH Sothan

IX. Système de l’ED à coefficient constant… Institut de Technologie du Cambodge 3/3/2010 ED1 IX. Système de l’ED à coefficient constant… Si 0, (3) a une solution triviale: donc Alors, il faut trouver k pour que =0. On obtient l’équation caractéristique de (1) qui a les racines de types suivantes: Elaboré par M. NUTH Sothan

IX. Système de l’ED à coefficient constant… Institut de Technologie du Cambodge 3/3/2010 ED1 IX. Système de l’ED à coefficient constant… Racines réelles différentes: k1 , k2 ,…, kn . Pour k=ki , on trouve et De même manière pour k=kn et on obtient: Où c1 , c2 ,…,cn sont des constants. Elaboré par M. NUTH Sothan

IX. Système de l’ED à coefficient constant… Institut de Technologie du Cambodge 3/3/2010 ED1 IX. Système de l’ED à coefficient constant… Ex.: L’équation caractéristique: Ou Et les racines réels: k1 = 1 , k2 = 4. Les solutions: Elaboré par M. NUTH Sothan

IX. Système de l’ED à coefficient constant… Institut de Technologie du Cambodge 3/3/2010 ED1 IX. Système de l’ED à coefficient constant… Pour k1 = 1, on définie du système ou En fin La solution: Elaboré par M. NUTH Sothan

IX. Système de l’ED à coefficient constant… Institut de Technologie du Cambodge 3/3/2010 ED1 IX. Système de l’ED à coefficient constant… Pour k1 = 4, on définie du système ou et En fin Elaboré par M. NUTH Sothan