Une nouvelle approche du risque de prépaiement Application aux ABS Université d’Evry – 10 janvier 2008

Plan de la présentation Description des risques attachés aux ABS Modélisation des actifs amortissables avec prépaiement Formalisme général Formules d’approximation Résultats sous l’hypothèse d’un taux de prépaiement constant

Description des risques attachés aux ABS Les différentes approches du risque de prépaiement

Mécanisme de fonctionnement des ABS Un SPV émet différentes « tranches » de dette Chacune de ces tranches reçoit une note par une ou plusieurs agences de notation Les différentes tranches émises n’ont pas un risque équivalent : Les pertes éventuelles impactent d’abord les tranches les plus junior Le remboursement de la dette commence par les tranches les plus senior

M.B.S. A.B.S. C.D.O. (sens large) Typologie des ABS Residential MBS Mortgage-backed securities (sens restreint) C.D.O. Collateralized debt obligation Residential MBS Commercial MBS Cartes de crédit Prêts à la conso Receivables Stocks Cash flows futurs Leasing… C.B.O. (bonds) C.L.O. (loans)

Le marché des ABS Définition : La titrisation est un mécanisme qui permet transférer au marché un pool de créances ou d’actifs sous la forme d’actif financiers (bonds) Les différents types d’ABS selon les actifs titrisés Prêts hypothécaires : RMBS ou CMBS Créances de cartes de crédit Prêts à la consommation Prêt étudiants … Au sein de ces catégories, les ABS peuvent être classés suivant le niveau de risque de défaut des actifs (Prime, Subprime…) Un marché en croissance avant la récente crise Un marché américain mature et qui dépasse le reste du monde en volume Le marché des ABS a réalisé une forte croissance les dernières années avant la crise du subprime. Source: Asset-Backed Alert, www.abalert.com

La crise des subprimes Facteurs de risque Taux d’intérêt LTV ratio FICO score Statut de l’occupant CSP du propriétaire Valeur du collatéral

Une crise systémique Contagion au marché ABS européen Marché de la corrélation

Le remboursement anticipé Définition Chaque prêt a un profil d’amortissement théorique, prévu à l’avance. L’emprunteur a l’option de rembourser de manière anticipée moyennant le paiement d’une pénalité (6 mois d’intérêts par exemple) L’exercice de cette option se traduit souvent par une renégociation du taux de l’emprunt Le remboursement peut être complet ou partiel Les facteurs déclenchant Evénements de la vie : divorce, décès de l’emprunteur, faillite Vente du bien : pour raisons personnelles ou professionnelles Refinancement à un meilleur taux en cas de « forte » baisse des taux Le comportement en termes de prépaiement dépend beaucoup de la géographie (ex. pays latins vs. Anglo-saxons)

Le risque pour la banque Toucher moins de revenus La banque va toucher moins de revenus que prévu Elle ne va pas forcément porter moins de risque Sélection adverse Les emprunteurs en difficulté ou plus fragiles, ne vont pas rembourser de manière anticipée Les produits concernés Leveraged loans Produits d’épargne avec options attachées (PEL) Asset Backed Securities (ABS)

Le marché et les modèles Marché essentiellement américain Marché des MBS aux US Agences Freddie Mac, Fannie Mae et Ginnie Mae Marché d’arbitrage de la volatilité des taux d’intérêts Différents formats : MBS pass-through, IO et PO, MBS tranchés Plusieurs types de modélisations Approche optionnelle Approche économétrique Approches hybrides (Fabozzi)

Les modèles optionnels (1/2) Références bibliographiques Brennan et Schwartz (1977) Dunn et McConnell : Journal of Finance (1981) Exercice optimal de l’option de refinancement de la part de l’emprunteur Les portefeuilles considérés sont homogènes : pas de risque de défaut La valeur d’un prêt est une fonction du taux court et du « time to maturity » Le taux court suit un processus CIR Les agents sont optimaux et interviennent sur un marché parfait et compétitif Equation du prix de l’obligation remboursable Conditions aux bords A maturité : Taux infinis : Callabilité :

Les modèles optionnels (2/2) L’exercice de l’option est en général non optimal L’exercice sous-optimal de l’option est modélisé par un processus de Poisson L’EDP du prix s’écrit : Les différents types d’obligations Non callable bond Callable bond avec exercice optimal Callable bond avec exercice sous optimal

Les modèles économétriques Exprimer le niveau des prépaiements futurs en fonction de certaines variables explicatives (Schwarz et Torous, 89) Variables explicatives : taux d’intérêt, niveau des prépaiements passés Burnout Les emprunteurs n’ayant pas remboursé de manière anticipée alors que d’autres l’ont fait seront peu enclines à prépayer. Hétérogénéité de comportement des emprunteurs Description du modèle Taux stochastiques – simulations Monte-Carlo Choix des variables explicatives Calibrage sur des données historiques : problème en cas de changement de comportement des emprunteurs (cf. années 90)

Les modèles hybrides Kalotay - Yang - Fabozzi Point de départ : modèles optionnels Ingrédient empirique : modélisation de la sous-optimalité des emprunteurs Modélisation du turnover / Refinancement Turnover : en moyenne 75% PSA Refinancement : ratio d’efficacité = économie / valeur de l’option Efficacité < 100% : refinancement trop tôt Efficacité = 100% : ingénieur financier / professeur à Evry Efficacité > 100% : refinancement trop tard

Le trading des ABS Asset picking Analyse fondamentale (analyse macroéconomique, analyse de la structure et des mécanismes de rehaussement de crédit) Analyse quantitative : pricing de l’Option Adjusted Spread (OAS) et modèles d’agences Mesure du rendement d’un ABS Modèle de Cash-flows Taux de prépaiement constant Discount Margin (constant spread) WAL = proxy de la duration Prix = somme actualisée au taux risqué des cash-flows dans le scenario 0 défaut

II. Modélisation des actifs amortissables avec prépaiement Formalisme général et formules d’approximation

Actifs financiers amortissables Définition : En désigne par actif amortissable tout actif financier donnant droit à des payements réguliers de principal et d’intérêts jusqu’au remboursement total du montant investi avant une maturité déterminée. Un pool d’actifs amortissables est lui-même un actif amortissable Profils d’amortissement : Le profil d’amortissement est une fonction du temps représentant le capital restant dû à la date t et qui sera notée et Exemples de profils d’amortissement standards

Prépaiement Le prépaiement est le remboursement anticipé d’une partie du capital restant dû ou de son intégralité. Accélération de l’amortissement et modification du profil d’amortissement Le prépaiement peut-être déterministe ou aléatoire et on ne dispose à un instant donnée que d’une estimation de la moyenne (espérance) du taux de prépaiement futur. Le prépaiement est défini par un processus qui représente la fraction du principal qui n’a pas été prépayée à l’instant t Le processus de prépaiement a les propriétés suivantes : A , est décroissant

Capital restant dû Si on désigne par le capital restant dû à l’instant t alors Dans le cas de structures plus complexes, par exemple la tranche senior d’un ABS à remboursement séquentiel, prend des formes plus complexes avec et Profils d’amortissement des tranches (sans normalisation)

Prépaiement et théorie de la mesure et sont deux mesures sur l’ensemble des réels positifs Pour une fonction mesurable par rapport à ces deux mesures, on définit deux opérateurs d’intégration et comme suit : Si on dénote par la dérivée de Radon-Nikodym définie par on a Application : WAL Prix : dans l’approche actuarielle, le prix est la somme des cash-flows futurs actualisés. : le taux actuariel de l’actif : le taux de coupon L’actif a été émis au pair : quand

Propriétés de la WAL Après intégration par parties : WAL et convexité : la WAL est la surface entre le l’axe des abscisses et Quand est convexe Quand est concave WAL et linéarité WAL d’un portefeuille d’actifs amortissable Relation entre la WAL d’un pool actifs amortissable titrisé et les WALs des tranches du passif

Encadrement du prix Convexité de l’exponentielle : (Inégalité de Jensen), et donc Ce qui permet d’encadrer le prix d’un actif amortissable par deux bornes non-triviales La borne est assimilable à une obligation payant coupon fixe et ayant la WAL de l’actif amortissable comme maturité. On appellera une telle obligation le l’actif bullet associé et on notera son prix

Sensibilité et convexité du prix par rapport au yield Pour de faibles valeurs de et , le développement limité à l’ordre 1 de la sensibilité du prix au yield nous donne : Par conséquent, une approximation de la sensibilité du prix est : Cette expression n’est pas définie en L’expression exacte de la sensibilité dans ce cas est Le développement limité à l’ordre 0 de la convexité du prix nous donne Avantages et inconvénients : Ces approximations sont indépendantes du profil d’amortissement et ne dépendent que des paramètres standard du marché tel que la WAL, le prix et le yield. Ces expressions ne sont pas définies au pair et sont moins efficaces pour des actifs de mauvais rating et de WAL élevée La sensibilité dépends de la dispersion des CFs

III. Sous l’hypothèse d’un taux de prépaiement constant

Taux de prépaiement constant et ABS pass-through Dans le cas d’un taux de prépaiement constant , vérifie et donc ABS pass-through Le passif est constitué d’une seule tranche de dette Si désigne le profil d’amortissement théorique de l’actif, alors le capital restant dû du passif satisfait l’ED Transformée de Laplace Sous l’hypothèse CPR, la WAL s’écrit : Si on dénote par la transformée de Laplace de au point , alors On en déduit les moments d’ordre 2 et 3 et EDP du prix On démontre que le prix d’un ABS pass-through s’écrit Le prix satisfait l’EDP suivante : Remboursement théorique Remboursement anticipé

Sensibilités du prix d’un ABS pass-through On dispose de deux approximations de la sensibilité au yield: et définie dans la section précédente L’approximation par n’est valable que pour les ABS high grade de courtes maturités L’approximation est meilleure pour les yields ou des WAL faibles à cause de l’utilisation de développements limités en L’approximation est efficace autour du pair (la bissectrice) Approximation par Approximation par

ABS avec amortissement séquentiel Dans le cas d’un ABS ayant plusieurs tranches dans son passif, le remboursement du capital peut être séquentiel ou au prorata Définition : Dans le cas d’un ABS séquentiel les paiements du principal (planifiés ou ou non planifiés) sont alloués à la tranche la plus senior jusqu’à son remboursement total avant de passer à la tranche suivante. Une tranche d’un ABS séquentiel est définie par un point d’attachement A et un point de détachement D tel que On définit le temps de détachement d’une tranche (resp. d’attachement) l’instant (resp. ) où le restant dû total atteint le point de détachement D (resp. A) Quand le taux de prépaiement est faible on a :

Tranche senior d’un ABS séquentiel L’approximation est plus efficace dans le cas des tranches senior que dans le cas des ABS pass-through : maturité plus courte Yield plus faible La sensibilité du prix au taux de prépaiement est plus compliqué que le cas d’un ABS pass-through : elle dépend de et de sa dérivée. A = 0%, = 11% = 30 ans A = 20%, = 9% = 14 ans A = 60%, = 7% = 8 ans = 10%

Tranche mezzanine d’un ABS séquentiel Quand , on obtient des tranches infiniment fines (Infinitely Thin Tranches: ITT) Dans ce cas la tranche mezzanine est assimilable à son actif bullet associé et on a : avec L’approximation de la sensibilité du prix au yield par est valide pour des épaisseur allant à 20%

Tranche mezzanine d’un ABS séquentiel (suite) Dans le cas des tranches mezzanines fines (allant jusqu’à 20% d'épaisseur), l’approximation de la sensibilité du prix au yield par est encore plus efficace que l’approximation A = 10%, D – A = 10%, = 10%

Conclusion

Conclusion Assimilation du prépaiement à un changement de mesure Formules d’approximation de la sensibilité et de la convexité du prix d’un actif amortissable Formule plus pertinente que l’approximation de la sensibilité par la WAL Formules universelles qui dépendent uniquement des paramètres du marché : Prix, yields, WAL Mise en évidence de l’impact de la dispersion des cash-flows sur la sensibilité au spread WAL : moment d’ordre 1 : moment d’ordre 2 Assimilation des tranches mezzanines à leurs actifs bullet associés Validité pour tous points d’attachement et pour des épaisseurs allant à jusqu’à 20%

Annexe 1 : Approximation par la sensi du bullet