L l Si l = 3 4 + 3 + 2 + 1 + 3 + 2 + 1 B A II) Chemins Nombre de chemins = + 3 + 2 + 1 l A II) Chemins 1 1

L l Si l = 3 4 + 3 + 2 + 1 + 3 + 2 + 1 + 2 + 1 B A II) Chemins Nombre de chemins = + 3 + 2 + 1 + 2 + 1 l A II) Chemins 2 2

Si l = 3 B L L + 1 4 + 3 + 2 + 1 Nombre de chemins = + 3 + 2 + 1 + 2 + 1 l + 1 A II) Chemins 3 3

? Si l = 4 Si l = 2 Si l = 3 Si l = 4 4 + 3 + 2 + 1 4 + 3 + 2 + 1 + 3 II) Chemins 4 4

? Si l = 4 Si l = 2 Si l = 3 Si l = 4 4 + 3 + 2 + 1 4 + 3 + 2 + 1 + 3 + 3 + 1 + 3 + 2 + 1 + 2 + 2 4 + 3 + 3 + 1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 II) Chemins 5 5

Si l = 4 Si l = 2 Si l = 3 Si l = 4 4 + 3 + 2 + 1 4 + 3 + 2 + 1 + 1 + 3 + 1 + 3 + 2 + 1 + 2 + 2 4 + 3 + 3 + 1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 II) Chemins 6 6

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 II) Chemins >> Le triangle de Pascal

1 6 3 3 2 1 1 1 1 II) Chemins >> Le triangle de Pascal

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 p n ! C = n p ! ( n - p ) ! II) Chemins >> Le triangle de Pascal

! Les factorielles ! ! = ! = ! = 3 1 x 2 x 3 4 1 x 2 x 3 x 4 5 ! = 1 x 2 x 3 4 ! = 1 x 2 x 3 x 4 5 ! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5

1 1 1 n 1 2 1 1 3 3 1 p 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 2 p 4 ! n ! C = 6 n 4 p ! ( n + p ) ! p ! ( 4 + p ) ! 2 ! ( 4 + 2 ) ! II) Chemins >> Le triangle de Pascal

C = L l p = L n = L + l B A n ! p ! ( n - p ) ! II) Chemins >> Le triangle de Pascal

C = C = p = L n = L + l n ! p ! ( n - p ) ! ( L + l ) ! L ! ( ( L + l ) - L ) ! L ! x l ! p = L n = L + l II) Chemins >> Le triangle de Pascal

( L + l ) ! Nombre de chemin = L ! x l ! II) Chemins >> Le triangle de Pascal

3) Les triangles, les carrés et les cercles Dans le plan que nous utilisons traditionnellement, le plus court chemin pour relier deux points est la ligne droite. Ainsi les triangles, les carrés et les cercles ressemblent à ceci : Mais qu’en est-il à New York ? A B

3 triangles différents obtenus avec les mêmes points Les triangles  A New York, un triangle est un polygone qui peut avoir différentes formes : 3 triangles différents obtenus avec les mêmes points

Les carrés A New York, nous allons définir deux droites parallèles comme deux droites où les points appartenant à ces droites sont toujours à la même distance l'un de l'autre. A New York, un carré peut être un carré traditionnel ou pas :

Les cercles Un cercle est un ensemble de points à égale distance d'un point. A New York un cercle va être ainsi :  En bleu, cercle de centre O et de rayon 1  En rouge, cercle de centre O et de rayon 2  En vert, cercle de centre O et de rayon 3

Les cercles  Propriété: Soit O le centre du cercle C et n le rayon de C. Le cercle à New-York sera constitué de 4n points  Exemple : si n=3, il y aura 4 x 3 = 12 points sur le cercle