Arithmétique Classe 3e

1 - Critères de divisibilité Soit n un nombre entier. n est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6, 8 (nombre pair) n est divisible par 5 si si son chiffre des unités est 0 ou 5 n est divisible par 3 si la somme des ses chiffres est un multiple de 3 n est divisible par 9 si la somme des ses chiffres est un multiple de 3 n est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0 45 720 est un nombre pair, il est divisible par 2 45 720 se termine par 0, il est divisible par 5 et par 10 4+5+7+2+0=18, 45 720 est divisible par 3 et par 9

2 - Division euclidienne La division euclidienne est une division dont le quotient est un nombre entier. Exemples : 73 13 56 17 210 14 -65 5 -51 3 -14 1 5 8 6 7 -70 On écrit :

Lorsque le reste de la division euclidienne d’un nombre a par un nombre b non nul est égal à 0, on dit que : b est un diviseur … de a, ou ce qui revient au même de dire que a est un multiple … de b.

Remarques 7 est un diviseur de 35 car 7 est un diviseur de 84 car On dit que 7 est un diviseur commun à 35 et 84 7 est-il un diviseur de ? est un multiple de 7

Exemple Quels sont les diviseurs de 210 ? On dit que 210 est un Avec l’exemple précédent : On dit que 210 est un multiple de 14, mais aussi de 15 On dit que 14 est un diviseur de 210, mais aussi 15 Quels sont les diviseurs de 210 ? L’ensemble de tous les diviseurs de 210 est : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 10 ; 14 ; 15 ; 21 ; 30 ; 35 ; 42 ; 70 ; 105 ; 210

3 - PGCD On cherche le plus grand diviseur commun à 45 et 75. Ensemble des diviseurs de 45 : 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 15 ; 45 Ensemble des diviseurs de 75 : 1 ; 3 ; 5 ; 15 ; 25 ; 75 Donc l’ensemble des diviseurs communs à 45 et 75 est : 1 ; 3 ; 5 ; 15 Le PGCD de 45 et 75 est le plus grand de ces diviseurs communs. PGCD( 45 ; 75 ) = 15

4 – Algorithme d’Euclide C’est une méthode qui permet de déterminer le PGCD de deux nombres entiers. ALGORITHME : Désigne une suite de calcul nécessaire à la solution d’un problème dans une durée limitée. L’appellation « algorithme » est l’équivalent latin d’un terme figurant dans l’ouvrage du mathématicien arabe Mohammed Ibn Musa Abu Djefar Al-Khwarizmi. Exemple : calculons PGCD( 143 ; 611 ) On effectue la division euclidienne du plus grand des deux nombres par le plus petit.

611 143 -572 4 39 On effectue ensuite la division euclidienne du diviseur par le reste de la division précédente. 39 143 -117 3 26

On effectue des divisions successives jusqu’à obtenir un reste nul. 26 39 -26 1 13 13 26 -26 2 PGCD( 143 ; 611 ) est le dernier reste non nul, c’est-à-dire : 13

5 – Nombres premiers entre eux Deux nombres a et b sont premiers entre eux si leur plus grand diviseur commun est 1. Remarque : 1 est leur seul diviseur commun.

Exemples : 15 et 8 sont premiers entre eux car : Ensemble des diviseurs de 15 : 1 ; 3 ; 5 ; 15 Ensemble des diviseurs de 8 : 1 ; 2 ; 4 ; 8 Le seul diviseur commun à 15 et 8 est 1. Donc PGCD( 15 ; 8 ) = 1

Exemples : 221 et 97 sont premiers entre eux car : Appliquons l’algorithme d’Euclide Donc PGCD( 221 ; 97 ) = 1

6 – Fractions Irréductibles On dit qu’une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateurs sont premiers entre eux. Exemples : (d’après 5) est une fraction irréductible car : PGCD( 15 ; 8 ) = 1 est une fraction irréductible car : PGCD( 221 ; 97 ) = 1

Méthode Pour simplifier une fraction (et la rendre irréductible), on divise le numérateur et le dénominateur par leur plus grand diviseur commun. Exemples : d’après 4, PGCD( 143 ; 611 ) = 13 Simplifions C’est irréductible !!