Physique 3 Vibrations et ondes mécaniques Leçon n°12 : Oscillations de circuits électriques couplés

Plan de la leçon : Oscillations de circuits électriques couplés Rappel sur les analogies électromécaniques Antirésonance électrique Couplage par condensateur Couplage par inductance Couplage électromécanique, l’exemple du haut parleur

Analogies électromécaniques Le comportement des circuits RLC linéaires et celui des systèmes mécaniques (masse, ressort avec frottements visqueux) est représenté par des équations différentielles semblables. Il est possible de passer d’un circuit électrique à un système mécanique en assimilant : Une masse avec une inductance Un frottement visqueux avec une résistance linéaire La raideur d’un ressort avec l’inverse d’une capacité. De même, il convient d’assimiler : Une force avec une différence de potentiel Un déplacement avec une quantité d’électricité (q) Une vitesse de déplacement avec une intensité (i)

Analogie électromécanique, tableau de correspondance (1) Systèmes mécanique Circuits électriques Force-tension Rotation Translation Analogie Angle  Déplacement x Charge q Vitesse angulaire Vitesse Courant Moment d’inertie J Masse m Inductance L Constante de torsion kt Raideur k 1/C Coefficient de frottement Résistance   R Energie cinétique

Analogie électromécanique, tableau de correspondance (2) Energie potentielle Fonction de dissipation Lagrangien L=T-U Equation de Lagrange « Force généralisée » appliquée Q(t) Moment appliqué Q(t)=M(t) Force appliquée Q(t)=F(t) Tension appliquée Q(t)=E(t)

Analogie électromécanique, tableau de correspondance (3) Nombre de degré de liberté Nombre de mailles Elément de couplage Elément commun à deux mailles Impédance

Exemple 1 : correspondant électrique du système anti-résonant mécanique (1) on considère le système mécanique de la figure où F(t) est une force d’intensité sinusoïdale. 1- Ecrire les équation différentielles du système. 2- Ecrire les équations du circuit électrique analogue 3- Représenter le schéma de ce circuit. 4- Calculer l’impédance d’entrée du circuit électrique.

Exemple 1 : correspondant électrique du système anti-résonant mécanique (2) 1. Les équations différentielles du système mécanique 2. Equations du circuit électrique analogue : 3. Schéma du circuit électrique

Exemple 1 : correspondant électrique du système anti-résonant mécanique (3) 4. Impédance d’entrée du circuit électrique : en supposant qi=Qiejt et V=V0ejt, on écrit : en utilisant les courants I1(t) et I2(t), on trouve : En écrivant I2 en fonction de I1 à partir de la deuxième équation et en substituant sa valeur dans la première équation et après quelques calculs, on trouve :

Etude d’un circuit anti-résonant électrique (1) Deux méthodes sont possibles pour analyser le circuit excité en régime forcé par une tension V(), par exemple pour trouver la tension Vc1 aux bornes de la capacité c1 : 1- utiliser l’impédance complexe Ze() que nous venons de dériver : 2- Trouver les solutions q1(t) et q2(t) des équations différentielles couplées du circuit et utiliser : Avec les impédances, le calcul est plus rapide, mais on n’étudie que le régime permanant. Nous obtenons une courbe Vc1(), fonction de la fréquence du signal dont le profil dépend de l’amortissement R/L et du rapport des inductances L2/L1. Pour L2=0, on obtient un simple circuit R1L1C1 excite en régime sinusoïdal dont le pic de résonance s’annule si on choisi L2 convenablement, c’est-à-dire à la fréquence : Si c1=c2, L2/L1 doit être égal à 1. Ce qui nous donne une fréquence d’antirésonance

Etude d’un circuit anti-résonant électrique (2) Avec les deux équations différentielles, leur intégration numérique, avec comme conditions initiales des condensateurs déchargés, nous donne le régime transitoire et le régime permanent. La courbe VC1(t) doit nous donner tous les détails, c’est-à-dire, les pics de résonances, l’amplitude nulle de VC1, pour la fréquence d’antirésonance et même les battements que l’on peut observer quand la fréquence d’excitation est voisine de la fréquence propre du circuit. Données pour l’animation : ANIMATION 12-1 Action : commencer avec R/L=2,50 et L2/L1=0,5 Nous avons ici une animation qui va illustrer l’analyse que nous venons de faire sur le circuit anti-résonant électrique. Action : montrer le bouton VC1(). Nous allons commencer par la courbe de tension VC1, en fonction de la fréquence du signal, calculée à partir de l’impédance complexe. Action montrer le marqueur blanc et les deux autres marqueurs. Le curseur blanc permet de visualiser la fréquence propre du circuit L1C1R1 et la fréquence d’antirésonance 2=1/L2c2 du deuxième circuit. Action : montrer les fréquences des résonances f’ et f’’ Nous voyons ici que les fréquences de résonance f’ et f’’ sont de part et d’autre des fréquences propres des deux circuits séparés. Ce qui confirme le couplage écarté les fréquences propres des circuits couplés. Action changer R/L de 250 à 500 s-1 On peut changer le rapport d’amortissement R/L de 250 à 500 s-1, ce qui va nous donner des pics de résonance de plus petite amplitude mais sensiblement aux mêmes fréquences f’ et f’’. Pour vérifier l’influence de l’amortissement sur l’acuité des résonances. Action : revenir à R/L=250s-1, et prendre L2/L1=0 et amener le curseur blanc à la fréquence de résonance = 919 Hz Pour illustrer le phénomène d’antirésonance, on va revenir à un amortissement inférieur pour avoir un bon pic de résonance. Si on prend L2/L1=0, on obtient un simple circuit RLC excité en régime sinusoïdal dont le pic d’amplitude est ici pour nos valeurs L1=0,3 H et c1=0,1 11F, à la fréquence de résonance On peut éliminer ce pic d’amplitude à cette fréquence, qui devient la fréquence d’antirésonance, en voit que Vc1 est égal à zéro à cette fréquence.

Couplage par induction mutuelle, équations du circuit On considère deux circuit RLC série couplés par induction mutuelle. Les deux inductances et les deux résistances sont identiques. Le circuit de gauche est excité par une tension V(t) sinusoïdale. On étudie le courant dans chaque circuit. A chaque instant, on a les équations : On dérivant, on obtient :

Couplage par induction mutuelle, méthode de solution des équations du circuit Régime libre : On charge le condensateur C puis on ferme le circuit de gauche. Pour étudier le régime libre, on intègre numériquement le système d’équations. Le cas R=0 sera traité en exemple. Régime forcé permanent : on utilise les impédances complexes en posant : On tire : La suite du calcul littéral est pénible. Le calcul numérique permet de cerner simplement les phénomènes.

Couplage par induction mutuelle, régime forcé : remarques Si les deux circuits sont identiques ; leur fréquence propre est Pour chercher la valeur maximale de I2, on peut dans une première étape négliger les résistances. on obtient : Z1=jX et Z2=jX ; I2 est maximum si X=M soit : La relation V=(Z1+M22/Z2)I1 montre que la partie réelle du circuit de gauche est toujours plus grande que celle du même circuit non couplé : le couplage amorti le premier circuit. On peut montrer que pour les deux circuits couplés, la valeur de M que donne la valeur maximum de I2 est telle que M22=Z1Z2. Pour deux circuits identiques accordés, Z1=Z2=R ; le coefficient de couplage optimal vaut : m=R/L0=1/Q

Exemple 2 : Circuits couplés par inductance mutuelle, régime libre (1) Soient deux circuits L-C identiques, de résistance négligeable. Le couplage par inductance mutuelle M est caractérisé par le coefficient de couplage m=M/L. On pose : 1- Ecrire les deux équations différentielles vérifiées par les charges q1(t) et q2(t) des condensateurs des circuits 1 et 2. 2- En déduire les équations différentielles vérifiées par la somme S(t)=q1+q2 et la différence D(t)=q1-q2 . Déterminer les pulsations propres ’ et ’’ de ce système couplé en fonction de 0 et k. 3- on admet le couplage lâche (m=M/L<<1). A l’instant t=0 où on ferme l’interrupteur, le condensateur (1) porte la charge q10 et celui du deuxième circuit est déchargé. Montrer que la charge du condensateur du premier circuit évolue au cours du temps suivant : q(t)=q10cos (t).cos(0t) où  est exprimé en fonction de 0 et m. En déduire la loi d’évolution de la charge q2(t) du condensateur du deuxième circuit. 4- On donne C=2F ; L=0,5 H ; m=1/10 , q10=1 C. Tracer l’allure des graphes q1(t) et q2(t) ; calculer la pseudo période T, la période des battements TB et la période TA pour l’amplitude.

Exemple 2 : Circuits couplés par inductance mutuelle, régime libre (2) 1- Les lois des mailles s’écrivent quand les deux mailles sont chacune traversées par les courants respectifs : Circuit 1 : Circuit 2 : En utilisant le facteur de couplage m et la pulsation propre : On peut écrire :

Exemple 2 : Circuits couplés par inductance mutuelle, régime libre (3) 2- En introduisant la somme S=q1+q2 et la différence D=q1-q2 des charges des deux circuits, il vient par addition et soustraction des deux équations : Ces équations sont de la forme : avec Les solutions sont de la forme où ’ et ’’ sont les pulsations des modes propres.

Exemple 2 : Circuits couplés par inductance mutuelle, régime libre (4) 3- Compte tenu des conditions initiales : On en déduit : Que nous donnent :

Exemple 2 : Circuits couplés par inductance mutuelle, régime libre (5) 3- Suite Si le couplage est lâche (m<<1), il vient : Ce qui donne : Les expressions de q1(t) et q2(t) deviennent : Que l’on réécrit : 4- Numériquement, on trouve : On obtient donc des battements.

Exemple 2 : Circuits couplés par inductance mutuelle, régime libre (6) La pseudo période est La période des battements TB est telle que : , ce qui donne : La période TA pour l’amplitude : est : c’est-à-dire

Exemple 3 : Circuits L-C couplés par inductance mutuelle, régime forcé (1) Le circuit primaire de deux circuits L-C couplés par induction mutuelle est alimenté par un générateur sinusoïdal de f.e.m v(t)=Vcost. On étudie le circuit couplé en régime forcé permanent : 1- Exprimer, en régime forcé, les charges q1(t) et q2(t) sous la forme : q1(t)=Q1().cos(t) et q2(t)=Q2().cos(t) où on déterminera les amplitudes Q() et Q2() en Fonction de V, L, 0 et m. 2- a) Déterminer la pulsation A d’antirésonance pour laquelle Q1(A)=0 ; en déduire l’amplitude Q2(A). b) Tracer l’allure des graphes Q1() et Q2().

Exemple 3 : Circuits L-C couplés par inductance mutuelle, régime forcé (2) 1- les équations des mailles s’écrivent en notation complexe : circuit 1 : circuit 2 : En utilisant : On trouve : Ce système admet comme solutions q1(t)=Q().cost et q2(t)=Q2().cos t avec et

Exemple 3 : Circuits L-C couplés par inductance mutuelle, régime forcé (3) 2- On obtiendra une charge q1 nulle (antirésonance) pour Q1(A)=0 pour la pulsation A=0 ; L’amplitude Q2 pour cette pulsation A=0 est : Les charges Q1 et Q2 sont infinies aux résonances définies par donc pour les pulsations propres On en déduit les graphes de Q1() et de Q2() : Action : mettre régime libre, Vmax=5,00, C1/C2=1, R=5. Nous avons ici les courbes des courants I1 et I2 des deux circuits couplés par une induction M où m est le coefficient de couplage. Nous sommes ici en régime libre. Les équations ont été intégrées numériquement pour avoir ces courbes. Nous voyons ici des battements qui montrent des échanges successifs de la charge initiale entre les deux circuits. On peut voir que dés que les fréquences propres des deux circuits deviennent assez différentes, en changeant le rapport C1/C2, le fonctionnement du premier circuit est très peu modifié par la présence du circuit couplé. On peut aussi tester l’influence du couplage, on voit que les battements sont plus fréquents quand m augmente. On peut voir enfin l’influence de l’amortissement. On constate que le signal diminue rapidement quand la résistance augmente. Action : mettre le régime forcé : Vmax=5 , C1/C2, m=0,2, R=10 nous allons passer au régime forcé où on a utilisé les impédances complexes pour calculer numériquement les courants I1 et I2 des deux circuits couplés par inductance mutuelle en fonction de , la fréquence de la tension appliquée. Le programme fait le calcul des amplitudes maximum des courants, c’est-à-dire la norme des courants complexes. Dans le programme nous avons pris C1=1F, L=0,1 H, ce qui nous donne 0=316 rd.s-1. pour une valeur de m=0,2, on peut vérifier que le courant I2 est maximum pour les valeurs , c’est-à-dire =0,91 0 et 1,11 0 Si on prend C1/C2 différent de 1, égale à 1,2 par exemple, on va avoir des fréquences propres pour les deux circuits. On peut vérifier que le couplage écarte les fréquences propres de chaque circuit. On peut voir aussi que l’amortissement diminue les pics de résonance sans changer leurs fréquences en augmentant R.

Etude d’un système électromécanique : le haut-parleur Le haut parleur électrodynamique peut être schématisé comme étant composé d’un aimant permanent dont les pôles sont, l’un de la forme d’une couronne, l’autre celle d’un cylindre concentrique, de sorte qu’entre les deux règne un champ d’induction magnétique constant et radial. Entre les deux pôles, une bobine solidaire d’une membrane de masse m peut se déplacer parallèlement à l’axe de symétrie OX. L’ensemble bobine-membrane est maintenu dans une position d’équilibre par un ressort k et subit un freinage, dû à l’air ambiant, de coefficient . La bobine en série avec une résistance R est reliée Électriquement à un générateur délivrant une tension e(t). Son inductance est L et la longueur de son fil ℓ. ANIMATION 12-2

Le haut-parleur, équations du mouvement Lorsque le fil est parcouru par un courant i, il s’exerce sur lui la force de Laplace D’autre part, lorsque la bobine se déplace avec une vitesse , il apparaît à ses bornes une force électromotrice induite Cette tension induite doit avoir le signe moins (loi de Lentz) si on convient de prendre comme signe positif de i celui pour laquelle la force F(i) agit dans le sens positif de . Les équations du mouvement sont :

Le haut-parleur, solution des équations du mouvement (1) Nous avons un système d’équations différentielles couplées en i et Les notions d’impédance en mécanique et électricité permettent d’écrire les deux équations différentielles sous une forme algébrique : En tirant de la 2ième équation et en reportant sa valeur dans la première équation, on peut écrire : ce qui fait apparaître l’impédance électrique ZAB du système.

Le haut-parleur, solution des équations du mouvement (2) On peut mettre ZAB sous la forme ZAB =R+j la partie réelle comprend deux termes R et Rm, La partie imaginaire comprend aussi deux (L-1/C) et Xm où S’appellent respectivement la résistance motionnelle et la réactance motionnelle qui sont les composantes de l’impédance motionnelle du haut parleur. On peut écrire :

Le haut-parleur, Etude de l’impédance motionnelle On peut expérimentalement déterminer Rm et m en effectuant deux mesures : On mesure l’impédance électrique entre les bornes A et B du générateur en bloquant la partie mécanique ce qui nous donne R et  de l’impédance électrique Zelec. On mesure l’impédance totale Z=R+j entre les bornes A et B entre les bornes A et B En soustrayant les composantes -R=Rm et -x=Xm, on trouve directement Rm et Xm, composantes de l’impédance motionnelle. Si on ajoute les carrés de Rm et de Xm, on trouve un cercle que l’on appelle la boucle de Kennelly.

Le haut-parleur, rendement La source e(t) doit fournir l’énergie Seule l’énergie Wm=Rmi2 est transformée en énergie mécanique. Le rendement du haut parleur est donc : Celui-ci est maximum aux alentours de =0. Remarque : Etude du microphone : L’étude se fait de la même façon, on remplace e(t) par une résistance de charge R0 et on applique sur la masse mobile m, une force d’excitation F(t). On trouve :