II LES EQUILIBRES LIMITES

1) Définitions Les équilibres limites (E.L.) permettent de déterminer les contraintes dans les zones où le sol a été amené à la rupture. En tous points de ces zones, l’état de contrainte peut être représenté par un cercle de Mohr à la rupture qui est tangent aux droites intrinsèques. Les théories des E.L. sont relatives aux contraintes effectives.

On distingue 2 types d’E.L. L’équilibre de POUSSEE ou état ACTIF qui correspond à l’action du sol sur l’ouvrage L’équilibre de BUTEE ou état PASSIF qui correspond à l’action de l’ouvrage sur le sol

2) L’état de contrainte des terres au repos En l’absence d’actions extérieures, il existe un état de contrainte initial dans le sol qui est appelé « état de contrainte au repos ». Cas du massif à surface libre horizontale  s’v s’Ho

s’v : contrainte effective principale majeure s’Ho : contrainte principale mineure dépendant de l’histoire du sol.

Représentation de Mohr Dr.Intr. s’ t’ s’Ho s’v On dit que l’équilibre est surabondant.

s’Ho = Ko. s’v Expérimentalement on montre que : Ko : coefficient des terres au repos Sables Ko = 0,4 à 0,5 Argiles Ko = 0,5 à 0,7 Argiles molles et vases Ko = 1

Formule empirique de JAKY (pour les milieux granulaires) Ce paramètre étant difficile à mesurer, on prend pour la plupart des sols Ko = 0,5 Formule empirique de JAKY (pour les milieux granulaires) Ko = 1 – sinf’

3) Etude expérimentale des E.L. déplacement de l’écran Poussée Butée écran sable H Force

Force déplacement Fa poussée Fp butée H/100 Ko H/1000

4) Equilibres de RANKINE La diminution de s’Ho va conduire le sol à un E.L. de Poussée. s’H1 Cercle de poussée s’Ho On peut ainsi calculer s’H1 à la rupture

L’augmentation de s’Ho va conduire le sol à un E.L. de Butée. Cercle de butée s’Ho s’H2

Pour les sols pulvérulents (c’ = 0) et pour un terrain horizontal, les contraintes sont liées par les relations suivantes : En poussée : = Kag.s’V avec Kag : coefficient de poussée En butée : = Kpg.s’V avec Kpg : coefficient de butée Comme s’V = g.h (pour un sol homogène), s’H varie linéairement avec la profondeur.

Pour les sols pulvérulents et cohérents et pour un terrain horizontal, les contraintes sont liées par les relations suivantes : En poussée : En butée :

5) Cas des sols purement cohérent - Court terme Terrain horizontal : sv = g.h t Cu sv s sH1 sH2

En poussée : sHa = sv – 2Cu = g.z – 2Cu En butée : Le sol est en traction sur une certaine profondeur En butée : sHp = sv + 2Cu = g.z + 2Cu Attention : il s’agit ici de contraintes totales, g est le poids volumique apparent, généralement gsat.

Remarques concernant la théorie de Rankine -Cette théorie existe également pour la butée, mais elle est peu utilisée. - la théorie de Rankine n’est pas bien adaptée pour les écrans réels qui imposent une orientation des contraintes .

6) Théorie générale de Boussinesq (1882) Cette théorie donne la répartition des contraintes effectives sur un plan réel dans le sol (paroi B.A., palplanche…). Elle s’applique à la poussée et à la butée. Hypothèses : Sols pulvérulents : c’ = 0 Répartition des contraintes linéaires On connaît l’état de rugosité de la paroi (inclinaison d).

b r eag da l Sol (g,f’) dp epg Ecran réel

Expression des contraintes : Poussée : eag = kag.g.r (inclinaison da positive ) Butée : epg = kpg.g.r (inclinaison dp négative) Les coefficients kag et kpg sont donnés par les tables de Caquot et Kérisel. valeurs usuelles de d : Paroi lisse : d = 0 (ex : palplanches) Paroi rugueuse : d = f’ (ex : paroi coulée) Paroi B.A. : d = 0,66.f’ (ex : paroi banchée)

Forces résultantes : En poussée : En butée : L : longueur de l’écran

Attention : Ces forces résultent de l’application des contraintes effectives sur l’écran. Pour les sols humides, g correspond au poids volumique apparent du sol. En présence d’une nappe, il faut prendre en compte le poids volumique déjaugé du sol g’.

7) Actions des surcharges - Théorie de Prandtl Surcharge uniforme verticale q b Poussée Sol : g = 0 c’ = 0 f’ eaq d l

La répartition des contraintes est uniforme : eaq = kaq.q ( inclinaison d ) Force résultante : (longueur de l’écran L) Faq = kaq.q.L avec:

8) Les E.L. et le calcul des soutènements q Sol (g, f’) Faq = kaq.q.L Poids du mur Fag = 0,5.kag.g.L²