Introduction

Un exemple En NOIR continu : le signal original continu de période T (on dit signal sous-jacent) Points VERTs : le signal échantillonné avec 𝑇 𝑒1 < 𝑇 2  pas de déformation Ronds ROUGES : le signal échantillonné « trop » lentement avec 𝑇 𝑒2 > 𝑇 2 . On a l’impression que le signal est à plus basse fréquence qu’il ne l’est en réalité. On parle de « fréquence fantôme » ... Théorème de Shannon : Pour qu’il n’y ait pas perte d’informations  Fe > 2fmax

Principe L'échantillonnage consiste à discrétiser le temps des signaux analogiques continus. L'ensemble des échantillons prélevés constitue le signal échantillonné. Les échantillons sont prélevés à des intervalles de temps réguliers. La période entre deux échantillons consécutifs est appelée période d'échantillonnage et est notée Te. La fréquence d'échantillonnage est définie comme l'inverse de la période d'échantillonnage : Fe = 1/Te. Mathématiquement, l'opération « échantillonnage » s'écrit en utilisant la fonction peigne de Dirac telle que : 𝑥 𝑒 𝑡 =𝑥 𝑡 . 𝑝𝑒𝑖𝑔𝑛𝑒 𝑇 𝑒 𝑡

La convolution d’un signal par un peigne de Dirac périodise le signal

𝑇𝐹 𝑝𝑒𝑖𝑔𝑛𝑒 𝑇 𝑒 𝑡 = 𝐹 𝑒 . 𝑝𝑒𝑖𝑔𝑛𝑒 𝐹 𝑒 𝑓 TF d’un produit de 2 signaux, d’un peigne et d’un signal échantillonné On admettra : 1/ La TF d’un produit de convolution est un produit simple et réciproquement. 𝑇𝐹 𝑐𝑜𝑛𝑣 𝑥 𝑡 ,𝑦 𝑡 =𝑋 𝑓 .𝑌 𝑓 𝑇𝐹 𝑥 𝑡 .𝑦 𝑡 =𝑐𝑜𝑛𝑣 𝑋 𝑓 ,𝑌 𝑓 2/ La TF d’un peigne 𝑇 𝑒 -périodique est un peigne 𝐹 𝑒 -périodique d’amplitude 𝐹 𝑒 . 𝑇𝐹 𝑝𝑒𝑖𝑔𝑛𝑒 𝑇 𝑒 𝑡 = 𝐹 𝑒 . 𝑝𝑒𝑖𝑔𝑛𝑒 𝐹 𝑒 𝑓 On a donc : la TF d’un signal échantillonné est la convolution de la TF du signal sous-jacent avec un peigne fréquentiel : Cela a pour conséquence une périodisation du spectre du signal sous-jacent. 𝑇𝐹 𝑥 𝑒 𝑡 =𝑇𝐹 𝑥 𝑡 . 𝑝𝑒𝑖𝑔𝑛𝑒 𝑇 𝑒 𝑡 =𝑐𝑜𝑛𝑣 𝑋 𝑓 , 𝐹 𝑒 . 𝑝𝑒𝑖𝑔𝑛𝑒 𝐹 𝑒 𝑓

Un signal Te-échantillonné possède un spectre Fe-périodisé Spectre du signal échantillonné Soit x(t) un signal à spectre borné (possède une fréquence maximale finie). Dans cette approche mathématique, X peut être complexe et la fréquence peut être négative. Le spectre du signal échantillonné Xe(f), s’obtient en périodisant le spectre initial X(f) sur l’axe des fréquences avec une période Fe. [ref. figure] Un signal Te-échantillonné possède un spectre Fe-périodisé

Théorème de Shannon Théorème de Shannon : Pour qu’il n’y ait pas déformation du spectre  Fe > 2fmax

Filtrage anti-repliement L’Echantillonnage entraine la périodisation du spectre. Pour qu’il n’y ait pas de déformation (respect du théorême de Shannon), Il faut réaliser un filtrage analogique passe-bas de fréquence de coupure 𝐹 𝑒 2 le signal avant l’échantillonnage. Dans l’exemple ci-dessous, on échantillonne à 40 kHz un signal possédant une composante parasite à 32 kHz. En rouge le spectre initial translaté d’une valeur 𝐹 𝑒 . Dans l’intervalle − 𝑓 𝑚𝑎𝑥 , + 𝑓 𝑚𝑎𝑥 , le spectre contient une raie « fantôme » à 8 kHz !!!

Spectre « sous-jacent » périodisé Reconstruction (I) Isoler le spectre sous-jacent dans le spectre du signal échantillonné On utilise les propriétés de « localisation » de la distribution de Dirac 𝛿 et le fait qu’elle soit élément neutre du produit de convolution. Spectre « sous-jacent » périodisé 𝑃 2 𝐹 𝑚𝑎𝑥 est une « porte » de largeur 2 𝐹 𝑚𝑎𝑥 . Spectre sous-jacent

Reconstruction (II) Exprimer le signal sous-jacent 𝑥 𝑡 en fonction des échantillons 𝑥 𝑛 𝑇 𝑒

Spectre du signal sous-jacent 𝑥 𝑡 Remarque concernant la TFD renvoyé par Matlab Spectre du signal sous-jacent 𝑥 𝑡 A l’intérieur de la porte rouge : Spectre renvoyé par Matlab (fft)

Remarque concernant la présence d’oscillations dans les spectres des signaux bornés Un signal borné 𝑥 𝑏 𝑡 , par exemple compris entre 𝑡 𝑑𝑒𝑏 =0 et 𝑡 𝑓𝑖𝑛 =10 secondes est le produit d’un signal 𝑥 𝑡 de durée infinie par une porte de largeur b= 𝑡 𝑓𝑖𝑛 − 𝑡 𝑑𝑒𝑏 : 𝑥 𝑏 𝑡 =𝑥 𝑡 . 𝑝 𝑏 𝑡 La TF du signal borné 𝑥 𝑏 𝑡 est alors égal à la convolution de celle du signal 𝑥 𝑡 par celle de la porte 𝑃 𝑏 𝑡 : 𝑇𝐹 𝑥 𝑏 𝑡 =𝑇𝐹 𝑥 𝑡 ∗𝑇𝐹 𝑝 𝑏 𝑡 La TF d’une porte présente des oscillations qui se retrouvent dans le spectre du signal borné. L’effet est d ’autant plus marqué que la porte est étroite (voir la diapositive suivante). Porte 𝑝 𝑏 𝑡 avec b=2 Son spectre est une fonction 𝑃 𝑏 𝑓 avec une amplitude du lobe central égal à b=2 et des annulations aux fréquences …, −3 𝑏 , −2 𝑏 , −1 𝑏 , 1 𝑏 , 2 𝑏 , 3 𝑏 , …

Remarque concernant la présence d’oscillations dans les spectres des signaux bornés

TFD d’une porte temporelle de largeur b=2 Ecrire un programme D0 qui : crée un vecteur temps t s’étendant de -10 à 10 secondes avec une période d’échantillonnage de 0.01 seconde. Un signal p(t) partout nul sur t sauf entre t=-1 et t=1 où p(t)=1. Calcule la TFD P(f) de p(t) avec N=212 fréquences. Crée le vecteur fréquence f correspondant. Représente le signal p(t) et son spectre |P(f)| d’une façon similaire à celle-ci-dessous. Les commandes subplot, xlim et ylim seront utilisées.

Théorème de Shannon (I) Exécuter et étudier ce programme D1 : t_fin=12e-2; Te=1e-4; tcontinu = 0:Te:t_fin; ycontinu = sin(2*pi*100*tcontinu); Te=0.0008; t = 0:Te:t_fin; y = sin(2*pi*100*t); subplot(411), plot(tcontinu, ycontinu, t, y, 'or') Te=0.00125; t = 0:Te:t_fin; y = sin(2*pi*100*t); subplot(412), plot(tcontinu, ycontinu, t, y, 'or') Te=0.00225; t = 0:Te:t_fin; y = sin(2*pi*100*t); subplot(413), plot(tcontinu, ycontinu, t, y, 'or') Te=0.0111; t = 0:Te:t_fin; y = sin(2*pi*100*t); subplot(414), plot(tcontinu, ycontinu, t, y, 'or') Quel est le but de ce programme ? Le signal ycontinu est il vraiment continu ? Quelle est la fréquence du signal ycontinu(t) ? Combien de périodes devrait on observer sur le domaine t ∈ [0, 0.12] seconde. Est-ce le cas de la dernière courbe rouge ? Expliquer en termes de fréquences.

Théorème de Shannon (II) Modifier le programme D1 de façon à obtenir, programme D2, les spectres des 4 signaux de D1 comme sur la figure ci-dessous. Expliquer pourquoi la largeur des raies (liée à la résolution spectrale R) ne varie pas d’un subplot à l’autre ? Rappeler la valeur de la fréquence d’échantillonnage dans chaque subplot. D’où proviennent les raies situées du côté des hautes fréquences 𝑓 𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒_𝐻𝐹 ? Montrer qu’on observe ici la propriété suivante : Si 𝐹 𝑒 >2𝑓→ 𝑓 𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒_𝐵𝐹 =𝑓 ; 𝑓 𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒_𝐻𝐹 = 𝐹 𝑒 −𝑓

Périodisation d’une forme par convolution par un peigne Etudier chaque ligne du programme D3 ci-dessous. L’exécuter plusieurs fois en changeant N. Que se passe t’il lorsque la largeur de la forme atteint et dépasse la période du peigne. Expliquer. % Création de la forme N=20; trian=zeros(1,N); trian(1:N/2)=1:1:N/2; trian(N/2+1:N)=(N/2:-1:1); trian=trian/(N/2); subplot(311), plot(trian) % Creation d'un peigne peigne = zeros(1,1000); peigne(100:100:1000)=1; subplot(312), plot(peigne, '-o') grid on xlabel('t(s)') ylabel('Peigne de Dirac') % Convolution tic nouveauTrian=conv(trian, peigne); toc subplot(313),plot(nouveauTrian)

Utilisation de soundsc, disp, pause Réaliser, étudier, expérimenter et commenter le programme suivant (D4): Te=0.001; Fe=1/Te; t = 0:Te:1; y = sin(2*pi*80*t) + sin(2*pi*160*t)+ sin(2*pi*320*t); yn = y + 0.5*randn(size(t)); plot(t(1:50), yn(1:50)) soundsc(y, Fe); disp('Taper sur la touche "Entrée" pour continuer'); pause; soundsc(yn, Fe); Ecouter le repliement Dans un programme D5 : 1/ Créer un vecteur temps t s’étendant de 0 à 2 secondes avec une fréquence d’échantillonnage Fe=5000 Hz. 2/ Créer le signal x(t) = f[sin(2*pi*f*t)] avec f = 800, 850, 900, 950 et 1000 Hz. Représenter x(t) et son spectre, abs(X(f)). Ecouter x(t) avec la fonction soundsc. 3/ Mêmes expériences en utilisant différentes valeurs de Fe jusqu’à par exemple Fe=1000 Hz. Interpréter.

Filtre passe-bas Télécharger le signal signal_D6 depuis le répertoire http://www.u-picardie.fr/~dellis/tdsMASTER/master_files_TdS/ Dans un programme D6, 1/ Représenter le signal x(t) et son spectre dans une même figure. 2/ A l’aide du zoom, évaluer la valeur de la fréquence du signal corrompu par du bruit. 3/ On souhaite appliquer un filtre passe-bas afin de reconstruire un signal « propre ». Créer un signal fréquentiel H(f) défini sur l’ensemble {f} de la question 1/ qui soit partout nul sauf pour les fréquences comprises dans les intervalles [0, 2] Hz et [Fe-2, Fe] Hz. H(f) est appelée réponse en fréquence du filtre. 4/ Calculer le produit simple Xnew = X(f).H(f) qui constitue le spectre filtré. Représenter dans un même graphique, le module de Xnew(f) et H(f). 5/ Appliquer une TFDI pour en déduire le signal temporel filtré qu’on appellera xnew. Le représenter avec le signal original x(t). Conclusions, expliquer la forme de H, ….