Première séance de regroupement PHR101 Lundi 26 novembre 2012 Rappels de cours (Leçons 2 et 3) Commentaires sur les exercices Questions / Réponses

Mathématiques pour la Physique et la Chimie

Pourquoi les physiciens sont-ils « fans » des « dérivées » et des « intégrales » ?? Intéressons nous donc juste à une petite partie Δx du domaine d'étude  la courbe devient plus régulière. Elle le serait encore plus si on choisit l'intervalle Δx encore plus petit  On préfère étudier f ′(x) plutôt que f (x) : c’est le principe de régularité. Et pour généraliser ? L’intégration Imaginons que nous sommes en train d'étudier un phénomène physique caractérisé par une propriété P (x) dans un l'intervalle [xd, xf] qui définit notre domaine d'intérêt  Trop compliqué à étudier

Les équations différentielles

Equations différentielles de premier ordre Penser systématiquement À la constante d’intégration La solution est de la forme : L’intégration par rapport à x de cette fonction (en prenant ln f0 = A pour x = 0) donne f = f0 exp Kx Interprétation du signe de K : Si f  quand x   K > 0 si f  quand x   K < 0 Applications : K < 0 Loi de Beer et Lambert Désintégration radioactive K > 0 Taux d’accroissement d’une population (MAP - Les fonctions Exemple 29 –)

Equations différentielles de second ordre Cas où F = 0  Résoudre l'équation caractéristique : D = b2 - 4ac > 0  Deux racines distinctes r1 et r2 la solution est : D = b2 - 4ac = 0  Une racine double r D = b2 - 4ac < 0  Deux racines complexes  la solution est : Cas où F = Constante = d  Faire le changement de variable u = cy – d, résoudre l’équation : et penser surtout au fait qu’on cherche y(t) et non pas u(t) Cas où F est une fonction  La solution est constituée par la solution y1 de l’équation sans second membre, à laquelle on ajoute une solution particulière y2 de l’équation avec second membre.

MAP – Les équations différentielles ordinaires Un complément mathématique est mis à votre disposition en annexe. Un des 3 volets disponibles actuellement porte sur les équations différentielle. Sont principalement traitées : Les équations différentielles du premier ordre Equations à variables séparables Equations homogènes Les équations différentielles d'ordre 2 non linéaires Les équations différentielles d'ordre 2 linéaires Exemple 22: "Distribution de la température d'une barre longue" Exemple 24 : "Décharge d'un condensateur dans une bobine" Exemple 25: "Relaxation d'une suspension" Exemple 27: "Véhicule sur une route ondulée en sinusoïdes"

Les lois de Newton Ce sont des lois qui permettent de lier étroitement les deux notions de force et de mouvement. Loi d’inertie : si un corps mobile n'est soumis à aucune force, il continue éternellement à se déplacer dans la même direction et à la même vitesse Loi du mouvement Loi d'égalité ou d’actions réciproques

L’énergie en mécanique Deux types d’énergie : Ec : liée au mouvement Pour un point matériel de masse m se déplaçant à la vitesse v La variation d’Ec d’un point matériel, soumis à un ensemble de forces extérieures, entre un point A et un point B Ep : liée à la position Uniquement dans le cas des forces conservatives : Conservation de l’énergie mécanique uniquement dans le cas des forces conservatives dont le travail ne dépend pas du chemin suivi

Les oscillateurs

Différents types d’oscillateurs Oscillateur libre non amorti Oscillateur forcé sur un système non amorti Oscillateur libre sur un système amorti par frottements visqueux Cas des faibles frottements : le régime pseudo périodique Cas des forts frottements : le régime apériodique Cas limite : l’amortissement critique Oscillateur forcé sur un système amorti par frottements visqueux (Exercice sur l’AFM)

Oscillateur mécanique libre non amorti Horizontal étiré Vertical étiré Attention à la CE : PFD : Attention force de rappel : T = - K * (allongement total par rapport à la longueur à vide du ressort) O

Oscillateur mécanique libre non amorti Oscillateur horizontal ou vertical, on aboutit toujours à la même équation différentielle Ne négliger jamais un paramètre si on ne vous le demande pas explicitement N’oublier pas la condition d’équilibre à chaque fois que vous avez affaire à un ressort vertical L’allongement Dx est toujours compté par rapport à la longueur à vide du ressort l0 Dans toutes les équations différentielles relatives aux oscillateurs, il faut toujours s’arranger pour avoir le facteur 1 qui précède la dérivée seconde , le facteur qui précède x est

Animation

Oscillateur mécanique forcé non amorti Excitations sinusoïdales Projection sur l'axe des x Intuitivement la masse va osciller à la même pulsation que la force appliquée : A cos x + B sin x = C cos x + D sinx  A = C et B = D Résonance

Oscillateur mécanique libre amorti + Force de frottement Projection sur l'axe des x Equation caractéristique : Discriminent :

Oscillateur mécanique libre faiblement amorti Discriminent négatif Solutions complexes de l’équation caractéristique: Solution générale de l’équation différentielle : x(t) ≠ x(t + T) : l’amplitude des oscillations diminue avec le temps Mouvement pseudo périodique Pseudo pulsation Pseudo période

Animation

Oscillateur mécanique libre fortement amorti Discriminent positif Solutions réelles de l’équation caractéristique: Solution générale de l’équation différentielle : Régime Apériodique  Pas d’oscillations Le temps de relaxation le plus grand imposera la décroissance de l’exponentielle.

Régime critique Discriminent nul Solution générale de l’équation différentielle : . Temps de relaxation pour le régime critique : Le temps de relaxation pour le régime apériodique est toujours plus important que celui du régime critique. Si on désire un retour rapide à l’équilibre (pour les amortisseurs d’une voiture par exemple) on a un intérêt de se rapprocher le plus possible du régime critique.

Animation

Oscillateur mécanique forcé et amorti (1/2) Excitation sinusoïdale + Force de frottement Ressort horizontal. Projection sur l'axe des x : On peut poser : x(t) = xm cos(wt + j) et résoudre l’équation : Plus simple : passage au nombre complexe Déterminer x(t) = Déterminer les valeurs de : x0 et j 

Oscillateur mécanique forcé et amorti (2/2) Equation du mouvement : Rappel mathématique : Dans notre cas : Attention il manquait le terme1/2 dans le dénominateur (Ex4/L02/p3/6)

Commentaires sur les exercices

Remarques générales Pour toutes les équations différentielles, il faut toujours s’arranger pour regrouper les mêmes variables du même côté. Si le second membre est non nul, la solution de l’éq, diff est la somme d’une solution générale + solution particulière, Si les bornes de l’intégrale ne sont parfaitement définis, on intègre toujours à une constante près, L’oubli de cette constante est l’une des erreurs très fréquemment rencontrées en PHR101.