STRUCTURES TOURBILLONNAIRES ET DISSIPATION D'ENERGIE

Structures en turbulence / Expérience (t>1990) Visualisation des régions de basse pression Re = 500 000 Pression locale  Pics de basse pression

Structures en turbulence / Simulations (t>1990)

Structures en turbulence Quelles grandeurs pour décrire les structures ? Comment se forment elles ?

Tenseur des Gradients de Vitesse Rappel gradients de vitesse taux de déformation taux de rotation Puissance dissipée en chaleur par unité de masse Vorticité ou tourbillon

La somme des valeurs propres est nulle Champ de déformation Local Soit eij donné. Quel est l'écoulement correspondant ? C'est un tenseur symétrique et réel: il admet une base orthonormée de vecteurs propres : correspondant au valeurs propres :  Incompressibilité  La somme des valeurs propres est nulle

Soit eij donné. Quel est l'écoulement correspondant ? Champ de déformation Local Soit eij donné. Quel est l'écoulement correspondant ? à une constante près s'intègre localement en : (constante =0)

Soit w donné. Quel est l'écoulement correspondant ? Champ de rotation Local Soit w donné. Quel est l'écoulement correspondant ? Prenons :

Soit w donné. Quel est l'écoulement correspondant ? Champ de rotation Local Soit w donné. Quel est l'écoulement correspondant ? (constante =0) s'intègre localement en : à une constante près

Les deux contributions (direction propres et v.p.) Local Ecoulement de déformation pure (direction propres et v.p.) + Rotation pure (Rotationnel)

Si autant de déformation pure que de rotation pure Un cas 2D simple Local Si autant de déformation pure que de rotation pure

Allée de Karman (autre cas 2D)

Equation de la pression En prenant la divergence de Navier Stokes: Terme source pour la pression Est utilisée comme critère de détection de structures dans la turbulence

Structures de vorticité modèles Relations Vorticité - Champ de vitesse Théorème d'Ampère Biot & Savart à une constante près

Structures de vorticité modèles Tube de vorticité - vortex de Rankine

Application du théorème d'ampère Structures de vorticité modèles Tube de vorticité - vortex de Rankine Application du théorème d'ampère

Structures de vorticité modèles Tube de vorticité - vortex de Rankine Coeur en rotation solide Manchon de dissipation

Structures de vorticité modèles Filament vortex (tube fin) Tube de vorticité avec r00 ...c'est le point vortex.

Structures de vorticité modèles Nappe de vorticité - nappe de Rankine

Application du théorème d'ampère Structures de vorticité modèles Nappe de vorticité - nappe de Rankine Application du théorème d'ampère

Structures de vorticité modèles Nappe de vorticité - nappe de Rankine Nappe = cisaillement simple, 2=S2 pression constante

Discontinuité des vitesses Structures de vorticité modèles Nappe de vorticité infiniment fine Discontinuité des vitesses

Structures de vorticité - récapitulatif nappe tube Nappes et tubes ne sont pas des solutions stationnaires : dynamique de ces structures ?

Dynamique de la vorticité En prenant le rotationnel de Navier Stokes: Equation du transport de la vorticité : terme convectif terme d'amplification, n'existe qu'à 3D terme diffusif résulte de l'interaction avec le champ de déformation

Dynamique de la vorticité valable pour le tube mais pas pour la nappe Dynamique inviscide 2D (dans le plan x,y) (cartésien) (polaire) Pour toute distribution axisymétrique [w(r)], la dynamique est stationnaire : valable pour le tube mais pas pour la nappe

Dynamique de la vorticité Dynamique inviscide 2D (dans le plan x,y) Méthode particulaire  paire de tourbillons contra-rotatifs Méthode particulaire

Dynamique de la vorticité Dynamique inviscide 2D (dans le plan x,y) Allée de Karman

Dynamique de la vorticité Dynamique inviscide 2D (dans le plan x,y) à t=0 : et après ? Dynamique inviscide 2D

Dynamique de la vorticité Dynamique 2D avec viscosité (dans le plan x,y) Etalement en racine carré du temps

Dynamique de la vorticité Dynamique 2D en tubulence Appariement de tourbillons produisant de gros vortex + cisaillements fins

Dynamique de la vorticité Dynamique inviscide 3D ou encore : 

Dynamique de la vorticité Dynamique inviscide 3D Augmentation exponentielle dans les directions d'étirement (>0) La circulation est conservée et (t)2(t)= constante, la taille  de la structure décroît exponentiellement.

Dynamique de la vorticité direction propre positive Dynamique inviscide 3D surface libre direction propre positive Tourbillon de vidange avec faible rotation solide initiale avec rotation solide initiale

Dynamique de la vorticité Dynamique 3D visqueuse : échelle de Burgers La circulation est conservée et (t)2(t)= constante, (t) 0 ? Non : coupure visqueuse, soit  =i>0 : temps caractéristiques équilibre : 

Production des petites échelles en turbulence 3D Etirement  amplification  formation de petites échelles par conservation de la circulation Orientation moyenne de en turbulence homogène par rapport à la base propre de ?

< < La vorticité est alignée avec la direction propre intermédiaire

A quels types de structures cette configuration moyenne locale peut elle correspondre ? Nappe étirée Vortex étiré

Visualisation des structures de vorticité en turbulence numérique tubes nappes

Formation des petites échelles en turbulence 3D Visualisation des régions de basse pression Re = 500 000 Les structures les plus intenses sont des vortex (ou tubes) étirés.

Conclusion Les petites échelles se forment à partir d'instabilités 2D et 3D des grandes échelles. Dans les champs de déformation elles s'amincissent et atteignent une échelle limitée par la viscosité. Ces petites échelles auront de grands gradients de vitesse et dissiperont efficacement sous forme de chaleur. Le temps caractéristique de formation des petites échelles est de l'ordre de grandeur de celui donné par le forçage. En turbulence les structures les plus probables sont les nappes étirées, les plus intenses et plus rares sont les tubes étirés.

Production des petites échelles en turbulence 3D