Dérivation et intégration Décomposition Chebyshev L’intégration et le dérivation sont des opérations linéaires. Elles pourront s’exprimer, pour les coefficients de décomposition spectrale, ou pour les valeurs de la fonction aux points de collocation, comme des opérations de multiplication matricielle.

Primitivation dans l’espace spectral Décomposition spectrale : Le calcul de la primitive s’obtient directement par : Il faut donc exprimer les coefficients an de l’écriture de la primitive en fonction des coefficients de la décomposition spectrale de f.

Exprimons les primitives de chaque polynôme de Chebyshev dans la base Chebyshev :

Pour n>1 : On injecte des relations dans le calcul de la primitive de f :

On en déduit les ak par identification terme à terme des pondérations des différents polynômes de Chebyshev. Les contributions en TN+1 sont ignorées (tronquées). Matrice creuse : termes non nuls sur la diagonale inférieure et la diagonale supérieure.

Matrice de primitivation calculée sous Matlab. Attention : les tableaux sous Matlab commencent avec le premier indice à 1 au lieu de 0. La programmation de l’opérateur de primitivation spectrale est donné dans la procédure Primspect.m.

Primitivation dans l’espace Physique Pour obtenir la valeur de la primitive f(-1) de f aux points de collocation, il suffit d’écrire :

Matrice de primitivation en collocation Chebyshev Gauss-Lobatto.

Calcul d’une intégrale Si les bornes d’intégration sont des points de collocation, il suffit de faire la différences entre les valeurs de la primitive définies en deux points. Sinon, on calcule le spectre de la primitive, on l’interpole aux deux bornes de l’intégration et on calcule la différence. Interpolation Chebyshev à partir du spectre : utilisation de la formule de la décomposition Chebyshev avec cosinus et arccosinus. utilisation de la formule récursive de Chebyshev pour l’évaluation de la valeur des polynômes en un point : L’utilisation de cette formule récursive permet une meilleure précision du calcul, et son utilisation est illustrée dans la procédure Interpspect.m.

Exercice : - définissez-vous, sur [-1,1] une fonction f(x) analytique dont vous savez calculer la primitive. calculer numériquement son intégrale sur un intervalle [a,b] inclus dans [-1,1]. Définir les points de Gauss-Lobatto associés à une décomposition de degré N. Dénifir f(x) sur ces points de Gauss-Lobatto. Calculer le spectre de f(x). Calculer le spectre de la primitive de f. En déduire la valeur de votre intégrale comme différence des primitives aux points a et b. Comparer à la solution analytique.

Dérivation dans l’espace spectral Décomposition spectrale : Le calcul de la dérivée s’obtient directement par : Il faut donc exprimer les coefficients de l’écriture de la dérivée en fonction des coefficients de la décomposition spectrale de f.

Avant de faire les calculs, voyons ce qui peut être prévu sur la matrice de dérivation associée. On cherche la matrice de dérivation : termes non nuls, et …

Dérivée seconde dans l’espace spectral : Ds(2) =Ds.Ds Ces opérateurs sont nilpotents. Ds possède une valeur propre nulle. DS(2) possède deux valeurs propres nulles.

Dérivation dans l’espace physique : On cherche à écrire l’opérateur de dérivation applicable au champ représenté par ses valeurs nodales en collocation. La matrice de dérivation dans l’espace spectral est donnée par la procédure En Gauss-Lobatto, la matrice de dérivation première est connue analytiquement.

Exercice : - définissez-vous, sur [-1,1] une fonction f(x) analytique que vous savez dériver. calculer numériquement sa dérivée sur les points de collocation Gauss-Lobatto. Définir les points de Gauss-Lobatto associés à une décomposition de degré N. Dénifir f(x) sur ces points de Gauss-Lobatto. Calculer l’opérateur de dérivation première dans l’espace physique. Calculer l’opérateur de dérivation seconde dans l’espace physique. Comparer les dérivées premières et secondes numériques aux dérivées analytiques. A disposition : GaussLobatto, PhysSpectGL, SpectPhysGL, derspect (pas de programme de corrigé)

Résolution d’un problème de Helmholtz ou de Laplace 1D en collocation Gauss-Lobatto - Définir l’équivalent matriciel de ce problème en collocation Gauss-Lobatto. - Programmer l’opérateur agissant sur u. - Définissez-vous une solution analytique dérivable analytiquement. - Définir la source s(x) et les valeurs des conditions aux limites compatibles avec cette solution analytique : le système étant linéaire, la solution est unique. Résoudre numériquement le problème linéaire résultant et comparer la solution avec la solution analytique.

Corrigé :