DID-355 Raisonnements mathématiques Automne 2013 Hassane Squalli Baccalauréat en enseignement au secondaire Profil mathématique Université de Sherbrooke 26 août 2013

Plan 1) Présentation du plan de cours Pause 2) Atelier: l’analyse conceptuelle 3) la visualisation mathématique

-1- présentation du plan de cours

-2- Qu’est-ce qu’une enseignante ou un enseignant doit savoir pour bien enseigner un contenu mathématique, par exemple la notion d’aire, à une classe d’élèves de l’école secondaire ?

Vers une analyse conceptuelle de la notion d’aire Un exemple

Principale question qui oriente le cadre de cette analyse Quelles connaissances doit avoir l’enseignant pour «bien» enseigner la notion d’aire?

Des connaissances sur divers aspects de la notion d’aire de son enseignement et son apprentissage

Aspect mathématique

Aspect épistémologique

Aspect de l’élève

Aspect enseignement

Aspect curriculaire

Aspect mathématique concepts liés et définitions Concepts liée: surface, mesure, unité, … En géométrie l’aire est une mesure de surface. La surface peut être plane ou dans l’espace. Une surface est un objet qui a deux dimensions. C’est pourquoi l’aire d’une surface est une mesure bidimensionnelle; elle se présente souvent comme le produit de deux facteurs. L’aire est une mesure, elle doit s’exprimer par rapport à une unité de mesure. Cette unité est la mesure d’une surface étalon. La surface étalon peut être n’importe quoi. On choisi conventionnellement un carré unité. Si l’unité de longueur est le mètre, alors l’unité d’aire sera exprimée en mètre carré (m2). Le calcul d'aire est un large domaine des mathématiques allant de l’aire de surfaces usuelles jusqu'au calcul intégral.

Aspect mathématique concepts liés et définitions (suite) La valeur exacte de l’aire d’une surface du plan ne peut pas être toujours possible. Par exemple, dans le cas de l’aire d’une surface délimitée par une courbe de forme non triviale, on ne peut que faire une approximation de l’aire, en faisant une approximation de la courbe par un polygone. Le calcul de l’aire d’un polygone peut être obtenu en décomposant le polygones en formes polygonales plus simples (triangles, carrées, rectangles, etc..). Lorsque la courbe peut s’exprimer par une fonction, il suffit de calculer l’intégrale de cette fonction

Aspect mathématique Formules d’aires de figures géométriques Formules avec une variété de preuves

Aspect de l’élève Erreurs-difficultés Difficulté dans le passage des mesures unidimensionnelles aux mesures multidimensionnelles. Peut engendrer des erreurs dans la comparaison de mesures de surfaces (exemple: si le périmètre d’un carré double, l’aire double aussi); dans les unités de mesure à utiliser (non plus des unités de longueurs mais des unités de surface) ainsi que dans la conversion d’une unité de mesure d’aire à une autre. La mesure de longueurs peut être obtenue par mesurage (application d’un instrument de mesure); la mesure de surface nécessite des habiletés intellectuelles. (Contrairement à la mesure des longueurs, il n’existe aucun instrument de mesure directe des aires. Même dans le cas où l’on utilise un instrument pour mesurer la masse, d’une surface matérielle uniforme, un raisonnement proportionnel est nécessaire pour passer au calcul d’aires.)

Aspect de l’élève Erreurs-difficultés (suite) Confusion entre la surface et l’aire, entraîne: Difficulté à accepter que des surfaces différentes peuvent avoir la même aire. Cette dualité existe et on doit en tenir compte dans notre enseignement. Difficulté de distinguer la surface d’une figure et son aire. L’aire d’une figure représente la mesure de la surface, donc l’aire n’est pas un objet concret, c’est une mesure, un nombre et donc, des figures de formes différentes peuvent avoir la même aire, l’aire ne dépend aucunement de l’apparence de la figure. L’objet est ici une forme géométrique quelconque qui occupe un certain espace dans le plan (elles sont habituellement limitées par des droites ou des courbes; des figures fermées).

Aspect de l’élève Idées intuitives Idée d’étendue: Deux surfaces ont la même aire si un découpage de l’une permet de recouvrir exactement l’autre (avec retournement éventuel de certaines pièces, on parlera de découpage-recollement.) Si un découpage-recollement permet à partir d’une surface d’en obtenir une autre (ou de la recouvrir exactement), les deux surfaces ont « même étendue ». L’aire d’une surface est l’ensemble des surfaces qui totalisent la même étendue …

Aspect enseignement Passages importants à prévoir (Rupture) Passage d’une mesure unidimensionnelle à une mesure bidimensionnelle; L’aire est une mesure et non un objet géométrique L’aire ne dépend pas de la forme de la surface. …

Aspect enseignement Recommandations Il faut utiliser une verbalisation en terme de plus grand, plus petit ou pareil pour démarrer l’apprentissage de cette mesure, tout comme toute autre notion de mesure. Il faut donc favoriser des activités concrètes de comparaison de surfaces, afin de pouvoir mieux isoler l’attribut qui sera bientôt mesuré. Ceci aidera à surmonter certaines conceptions par rapport à l’apparence de la figure et la distinction périmètre/aire (pour les distinguer, il faut créer la confrontation entre ces deux concepts) et donnera plusieurs images «mentales» qui seront très utiles lors de l’estimation. Ici, on pourrait penser aussi à effectuer des comparaisons en réalisant des transformations sur les figures et en démontrant que celles-ci conservent la mesure invariante.

Aspect enseignement Recommandations (suite) L’introduction de la formule vient très souvent court-circuiter le raisonnement en transformant un problème de mesure en un problème arithmétique en ayant recours à des automatismes de calcul qui n’ont aucune signification réelle. Il faut donc organiser des activités qui aideront les élèves à mémoriser ces formules en les associant à des objets et à leurs caractéristiques. Les formules doivent être considérées comme étant une description générale permettant de mesurer des objets plus complexes et le symbolisme n’est pas nécessaire pour aboutir à une formule, celle-ci peut être présentée dans un langage intermédiaire.

Aspect enseignement Recommandations (suite) Une approche de construction des formules d’aires des polygones usuelles: Rectangleparallélogrammetriangletrapèze, losange  quadrilatères ou n-gones plus complexes  Passage intéressants: invariance de l’aire d’un triangle par déplacement du sommet opposé à la base parallèlement à la base. Approximation de l’aire d’une surface par une ligne courbe …. Approximation de l’aire du disque par l’aire d’un n-gones régulier inscrit dans le cercle (l’arc est approché par un segment). Aires de solides

Aspect enseignement Recommandations (suite) Schèmes de comparaison d’aires Superposition de figures : Pliage :. Découpage et recomposition : (Activités de P. Clapponi avec le Tangram sont des exemples de ce procédé (voir Petit X, no.14-15, p.84, 1987). Dessin Quadrillage Pavage

La visualisation mathématique

Généraliser à l’aide d’une visualisation . . . 52 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 La sommes des 5 premiers nombres impairs consécutifs vaut 52 1+3+5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + … + 99 = ?

Généraliser à l’aide de la visualisation 1 + 3 x 4  1 + 3n 2 x 4 + 4 + 1  2n + n + 1 4 x 4 – (4 – 1)  4n –(n – 1)

(El-Habib, A. , et Squalli, H (El-Habib, A., et Squalli, H. (2013) Le développement de la visualisation mathématique au secondaire. Communication à la 40e session de perfectionnement du GRMS. 29, 30 mai ,Longueuil

  (Dahan-Dalmedico et Peifer, 1986)          

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