Diagonalisation des endomorphismes réels dans un espace vectoriel E de dimension finie n.

L’endomorphisme le plus simple est l’ homothétie L’endomorphisme le plus simple est l’ homothétie. Une homothétie de E est une application qui à tout vecteur u de E associe λu Sa matrice est une matrice scalaire ( dans n’importe quelle base de E).

Problématique: f étant un endomorphisme de E Existe-t-il des sous espaces vectoriels F de E tels que la restriction de f à ces sous espaces vectoriels soit une homothétie?

λ est appelée valeur propre de f. Recherche des sous espaces vectoriels de dimension supérieure ou égale à 1 sur lesquels f se réduit à une homothétie. Si F est un tel sous espace alors il existe un réel λ pour tout vecteur u de F, f(u)= λu λ est appelée valeur propre de f. Si u est non nul, u est appelé vecteur propre de f associé à la valeur propre λ . F est inclus dans le noyau de (f- λId). Ker (f- λId) est appelé espace propre de f associé à la valeur propre λ.

Recherche des valeurs propres La proposition suivante : λ valeur propre de f est équivalente aux quatre propositions qui suivent: Ker (f- λId) est au moins de dimension 1. (f- λId) n’est pas inversible. rg(f- λId) < dim E. Det (f- λId) =0.

Le polynôme caractéristique Det (f- λId) est appelé polynôme caractéristique de f Ce polynôme de variable λ est de degré n ( dim E). - Ses racines sont les valeurs propres de f.

Valeurs propres et Espaces propres Une fois déterminées les valeurs propres, on connait leur multiplicité dans le polynôme caractéristique, on détermine une base de chaque espace propre.

Propriété importante des Espaces propres Les espaces propres sont en somme directe. Cela signifie en particulier que la dimension de la somme des espaces propres est égale à la somme des dimensions des espaces propres. Cela signifie aussi que la réunion des bases des différents espaces propres est toujours une famille libre de E.

Comment savoir si un endomorphisme f de E est diagonalisable? Définition: f est diagonalisable si et seulement si il existe une base dans laquelle la matrice de f est diagonale .Cette base est en fait une base de vecteurs propres. Autres façons d’exprimer ce qui précède: La somme des dimensions des espaces propres est égale à la dimension de E. - La somme des espaces propres est égale à E.

Théorème fondamental: Dimension d’un espace propre et multiplicité de la valeur propre dans le polynôme caractéristique. Si λ est valeur propre de f avec une multiplicité de mλ dans le polynôme caractéristique alors la dimension de l’espace propre est inférieur ou égal à mλ . Conséquence: Théorème fondamental: f endomorphisme de E (de dimension finie) est diagonalisable SSI: - Son polynôme caractéristique est scindé et -si pour chaque valeur propre, la multiplicité est égale à la dimension de l’espace propre associé.

Diagonalisation de l’endomorphisme f E,B E,B f f(x,y)= (x+y,3x-y)

Recherche du polynôme caractéristique. Les valeurs propres sont donc 2 et -2 Le polynôme caractéristique est scindé.

Recherche des espaces propres E-2 espace propre associé à la valeur propre -2 est le noyau de f+2Id ou de la matrice A+2I:

Recherche des espaces propres E2 espace propre associé à la valeur propre 2 est le noyau de f-2Id ou de la matrice A-2I:

f est diagonalisable : On vérifie bien les conditions du théorème fondamental. Autre façon de justifier le fait que f soit diagonalisable.

Matrice de passage Notons la base canonique et la base de vecteurs propres définie précédemment .Dans cette base, la matrice de f s’écrit: B B1 E,B E,B1