Introduction à la relativité restreinte I Introduction à la relativité restreinte I. Cormeau 3ème partie, décembre 2010

Objectifs Retour au chemin principal vers le boson de Higgs Le photon est relativiste, par définition L'équation de Schrödinger ne l'est pas Il faudra passer à l'équation de Dirac, en mécanique quantique relativiste → étude du "minimum minimorum" de la théorie de la relativité restreinte

Objectifs focalisation sur : Transformations de Lorentz et leur représentation matricielle Invariance de c Abandon de la simultanéité Conservation de l'intervalle Conservation de la flèche du temps L'espace-temps de Minkowski La métrique et la notation covariante Quadrivecteurs événement et énergie-impulsion Les deux principaux invariants relativistes

Ce que l'on ne verra pas Deux chapitres importants de la R.R. ne seront pas abordés ici La dynamique du point matériel relativiste non quantique (indispensable dans l'étude des grands accélérateurs de particules) → focalisation sur l'équation quantique de Dirac La formulation relativiste de l'électromagnétisme non quantique → focalisation sur l'électrodynamique quantique La R.R. fait partie de la physique "classique"

Electromagnétisme classique Les équations de la propagation des ondes E.M. Potentiel vecteur, jauge de Lorentz Potentiel scalaire, jauge de Lorentz Potentiel vecteur, jauge de Coulomb

Electromagnétisme classique Champ électrique, dans le vide, loin des sources Champ d'induction magnétique, dans le vide, loin des sources Toutes ces équations mettent en jeu l'opérateur d'alembertien

Transformations de Galilée Référentiel inertiel, première version Les équations de Newton s'y écrivent Dans quels référentiels la forme de ces équations est-elle conservée? Soient 2 laboratoires L et L' , mouvement relatif = translation pure à vitesse constante

Transformations de Galilée Simplification d'écriture : aligner l'axe x sur la direction de la vitesse relative Comment se transforment les dérivées ? devient S'agissant de la même grandeur physique exprimée dans les 2 référentiels, sa différentielle totale doit être égale à elle-même

Transformations de Galilée Identifier les coefficients de dx',dy',dz',dt' ou

Transformations de Galilée Les dérivées se transforment donc comme ceci 1er ordre 2nd ordre

Electromagnétisme et Transformations de Galilée Comment se transforme le d'alembertien ? Contrairement à l'accélération, il change de forme sous transformation de Galilée → la formulation des lois de l'électromagnétisme dépend du mouvement relatif du repère par rapport à un autre → inacceptable depuis Galilée, contraire au Principe d'Universalité des Lois de la Physique

Vitesse de la lumière ? a la dimension d'une vitesse a le bon ordre de grandeur de la vitesse de la lumière mesurée depuis la Terre a priori, devrait avoir la même valeur sur Vénus, Sirius, Bételgeuse, Andromède, … Si c'est la vitesse de la lumière, OK, mais vitesse par rapport à quoi : la source qui l'émet ? le récepteur qui la reçoit ? le milieu dans lequel elle se propage ? Penser au pêcheur désabusé (ça ne mord pas!) qui lance une pierre plate et observe les ricochets sur la Semois entre le pont de Poupehan et les Faloises.

Merleux Han

Michelson et Morley 1ère tentative : 1881, pas concluante mais doute car précision discutable 2ème tentative : 1887, pas concluante, mais précision difficile à mettre en cause Prix Nobel 1907 Autres tentatives, dans les années 30 et plus tard : incapacité totale à détecter toute vitesse relative de la Terre par rapport à l'éther luminifère…

Fondements de la relativité restreinte Ether ? Rien d'autre qu'un postulat qui se révèle inaccessible à l'expérience Autant changer de postulats ! C = constante universelle, indépendante du mouvement de la source Les lois de l'électromagnétisme sont les mêmes dans tous les laboratoires inertiels, les transformations de ces référentiels l'un dans l'autre conservent la forme du d'alembertien.

Transformation spéciale de Lorentz Spéciale ? Car uniquement le long d'un axe x, y ou z, avec synchronisation des horloges lors de la coïncidence des origines Cherchons une transformation linéaire générale 4 coefficients a sans dimension, à régler de telle façon que la forme du d'alembertien ne change pas pour toute fonction

Transformation spéciale de Lorentz Repartons de la différentielle totale Identifions les coefficients de dx',dy',dz',dt' dans L'

Transformation spéciale de Lorentz Passons aux dérivées secondes Le d'alembertien se transforme comme ceci :

Transformation spéciale de Lorentz Mais je ne veux pas qu'il change de forme ! J'impose donc 3 conditions aux a

Transformation spéciale de Lorentz 3 équations, 4 inconnues → la solution générale dépend d'un paramètre libre q

Transformation spéciale de Lorentz Cas particulier L et L', synchronisation des horloges lors de la coïncidence des origines Effectuons les substitutions dans les formules précédentes Rapport de ces 2 équations →

Transformation spéciale de Lorentz Calcul des 2 autres fonctions hyperboliques Remplaçons dans les formules qui précèdent

"Boost" de Lorentz

"Boost" de Lorentz Mais aucune raison de donner un privilège à L par rapport à L' ! Donc : On passe d'une transformation à l'autre (qui est la transformation inverse) en changeant le signe de la vitesse v, rien d'autre.

Limite galiléenne Cherchons la limite pour c → ∞ On trouve les transformations de Galilée avec synchro des horloges lors de la coïncidence des origines… Mécanique classique = Relativité restreinte, à la limite lorsque c tend vers l'infini.

Limitation de la vitesse relative des laboratoires L et L' Contrainte absolue : les coordonnées et la date sont des nombres réels ! (Quel sens donner à une date de naissance imaginaire pure ?) réel → Aucun observateur (i.e. système de mesure physique) ne peut s'éloigner ou se rapprocher de nous à une vitesse ≥ c

Invariance de la vitesse de la lumière Dans le labo L, on suit le front d'une onde lumineuse "classique" (par exemple sphérique) émise à l'origine du référentiel au temps t = 0 Que mesure-t-on dans L' ?

Invariance de la vitesse de la lumière Idem dans la direction opposée L'invariance du d'alembertien implique l'invariance de la vitesse de la lumière (dans le vide). Par rapport à quoi? Par rapport à n'importe quel observateur attaché à un laboratoire d'inertie. Plus de différence au Merleux Han entre : le pêcheur sur la berge le pêcheur qui dérive à bord de la barque au fil de l'eau la pierre qui a effleuré la surface de l'eau (tant qu'elle ne ralentit pas…)

Merleux Han

Simultanéité ? Tout le monde est d'accord : le fait que x2 = x1 n'est pas une propriété intrinsèque du couple de points (P1,P2), mais une simple coïncidence dans un repère particulier.

Simultanéité ? Soit 2 événements repérés dans le labo L : Dans le labo L', le "boost" de Lorentz donne :

Simultanéité ? Distance spatiale dans L' : Décalage temporel dans L' : Simultanéité dans L : Dans L' : Simultanéité perdue dans L', simple coïncidence dans L !

Allongement des temps 2 événements successifs au même endroit dans L : Dans L', on fait les observations : Non seulement les 2 endroits y sont séparés Mais l'intervalle de temps mesuré par l'horloge en mouvement a augmenté

Contraction des longueurs Dans le labo L', on veut mesurer l'écart des coordonnées spatiales de 2 événements Les transformations de Lorentz indiquent : Mais la mesure d'une distance doit être instantanée, en ce sens que le relevé des coordonnées des 2 points dans L' doit être simultané ; par différence il vient : L'écart de coordonnées mesuré par la règle en mouvement a diminué

Conservation de l'intervalle Ds2 Calculons, dans L' et dans L, la quantité L'expression mathématique de l'intervalle relativiste est inchangée, comme celle du d'alembertien.

Conservation de la flèche du temps 2 événements successifs au même endroit dans L : une relation de cause à effet entre E1 et E2 ne peut exister que si (condition nécessaire, pas suffisante) Dans le labo L' , puisque → le sens de l'écoulement du temps est conservé → impossible, en R.R., de construire le chronoscaphe du Pr. Miloch pour remonter dans le temps

Chronoscaphe

Relation causale Relation causale, dans L, entre 2 événements distants ? Postulat supplémentaire : vitesse de propagation d'un signal vs ≤ c Durée de transit du message En élevant au carré : Du fait de l' invariance du Ds2 : La relation de causalité est conservée dans L'

Passé et futur d'un événement À 1 dimension d'espace : "futur" "ailleurs" E "passé"

Passé et futur d'un événement À 2 dimensions d'espace : "cône de lumière" Les 2 nappes du cône s'écrasent sur le plan t=0 lorsque c → ∞ Dans ce cas, futur ≡ t > 0 passé ≡ t < 0

Passé et futur d'un événement À 3 dimensions d'espace : "horizon des événements" En 3D : sphère de rayon croissant à la vitesse de la lumière Relations causales possibles à l'intérieur de la sphère "Ailleurs" = tous les événements situés au-delà de l'horizon au temps t Attention : tous les lieux x,y,z deviennent causalement liés à condition d'attendre suffisamment longtemps (futur) ou de remonter suffisamment loin dans le passé

Représentation matricielle "boost" de Lorentz selon x : "boost" de Lorentz selon y :

Représentation matricielle "boost" de Lorentz selon z : Les 3 matrices ne commutent pas ! Boost selon x suivi de boost selon y ≠ Boost selon y suivi de boost selon x Les transfos spéciales de Lorentz ne forment pas un groupe (à elles seules)

Représentation matricielle "boost" de Lorentz dans une direction quelconque

Représentation matricielle Elle jouit de la propriété de réciprocité Inverse → changer simplement le signe du vecteur vitesse relative 2 "boosts" de directions différentes ne commutent pas Les "boosts" de Lorentz ne forment donc pas un groupe : gênant par comparaison au groupe de Galilée en mécanique newtonienne ! A-t-on perdu quelque chose ?

Groupes de Lorentz et de Poincaré Pour former un groupe, il faut y associer les rotations 3D et les translations dans l'espace et dans le temps Matière trop spécialisée, et non indispensable pour la suite, mais autant le savoir…

Espace-temps de Minkowski Met de l'ordre dans le formalisme mathématique de la R.R. Événement = quadrivecteur dans un espace vectoriel à 4D Il faut définir le produit scalaire ; la distance euclidienne n'est pas conservée oui non

Espace-temps de Minkowski La métrique n'est plus la matrice identité comme le prescrit Pythagore en 3D ordinaire Dans l'espace-temps de Minkowski à 4D

Espace-temps de Minkowski Introduction de la notation covariante Événement : quadrivecteur contravariant ou quadrivecteur covariant Tenseur métrique :

Notation covariante Passage contravariant ↔ covariant Convention : sommation sur les indices répétés, qui apparaissent en haut et en bas

Règle mnémotechnique : coNtravariant = indice ↑ coVariant = indice ↓ Notation covariante Règle mnémotechnique : coNtravariant = indice ↑ coVariant = indice ↓ Parce que N au dessus de V dans l'alphabet…

Quadrivecteur énergie-impulsion Il faut trouver la 4ème composante à associer à la quantité de mouvement de la mécanique newtonienne ! Énergie de masse (s'ajoute à l'énergie cinétique) Pour obtenir une grandeur qui a la dimension d'une quantité de mouvement, en s'inspirant de

Quadrivecteur énergie-impulsion Composantes contravariantes : Composantes covariantes :

Deux invariants relativistes En géométrie euclidienne, la distance est un invariant. C'est aussi le produit scalaire du vecteur joignant les deux points, par lui-même. Dans l'espace-temps de Minkowski, on fait de même : Définition du produit scalaire

Deux invariants relativistes Cherchons la 4-distance (intervalle) entre l'événement (0,0,0,0) et l'événement (ct,x,y,z) : c'est la norme relativiste de ce dernier événement Nouveau : il y a 3 possibilités, 3 genres d'événements Événement de genre "temps" Événement de genre "lumière" Événement de genre "espace"

Deux invariants relativistes Faisons de même avec la norme de l'énergie-impulsion L'énergie totale avec n'est pas un invariant relativiste, mais en est bien un

Et pour conclure…