Vecteurs et translations I. Notion de vecteur : Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par : une direction un sens B une longueur A

II. Vecteur et translation : Exercice : Construis l’image du bateau après un glissement qui amène A en A’. Quelle est la nature du quadrilatère DAA’D’ ? Une translation est définie par la donnée d’un sens (ici de A vers A’), d’une direction (ici la droite (AA’)) et d’une longueur (ici AA’). L’image B’ de B par cette translation est telle que BAA’B’ est un parallélogramme. Menu

La translation transforme une figure en une figure superposable. Propriétés : La translation conserve les distances, l’alignement des points, le parallélisme ou l’orthogonalité de droites, les angles, les milieux de segments. La translation transforme une figure en une figure superposable. Menu

Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme (éventuellement aplati) ; Propriété : C Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme (éventuellement aplati) ; D B A Cas où ABCD est un parallélogramme aplati. A D O B C

Conséquences : C D O B A B M A

III. Composée de deux translations et somme de deux vecteurs : F2 F3 F1 C B D A

Construction de la somme deux vecteurs : B C D A C A B (On utilise la relation de Chasles) (On utilise la règle du parallélogramme puis la relation de Chasles)

IV. Composée de deux symétries centrales : Propriété : I et J étant deux points du plan, la composée de la symétrie de centre I suivie de la symétrie de centre J est la translation de vecteur I J

Coordonnées d’un vecteur : V. Dans un repère : Coordonnées d’un vecteur : Propriété : Dans le plan muni d’un repère (O, I, J), si deux points A et B ont pour coordonnées respectives (xA ; yA) et (xB ; yB), alors le vecteur Exemple : Dans un repère (O, I, J) du plan, on donne A(3 ; -2) et B(-5 ; 1). Ces coordonnées correspondent au déplacement à effectuer pour aller de A à B : -8 pour passer de 3 à –5 en abscisse, 3 pour passer de –2 à 1 en ordonnée.

Coordonnées du milieu d’un segment : Propriété : Dans le plan muni d’un repère (O, I, J), si deux points A et B ont pour coordonnées respectives (xA ; yA) et (xB ; yB), alors le milieu M du segment [AB] a pour coordonnées Exemple : Dans un repère (O, I, J) du plan, on donne A(3 ; 5) et B(-1 ; -1) . Les coordonnées du milieu M du segment [AB] sont : d’où M(1 ; 2)

Distance entre deux points : Propriété : Dans le plan muni d’un repère (O, I, J), si deux points A et B ont pour coordonnées respectives (xA ; yA) et (xB ; yB), alors la distance entre les deux points A et B se calcule en utilisant la formule : (attention, aucune simplification n’est possible dans cette formule entre la racine et les carrés ...) Exemple : Dans un repère (O, I, J) du plan, on donne A(3 ; -2) et B(-5 ; 1).