FLEXION EN ELS janvier 2008 Henry THONIER (T7)

Généralités Hypothèses rappelées par l’EC2 : une section plane reste plane après déformation avec conservation des sections planes et non-gauchissement (principe de Navier-Bernoulli), non-glissement entre l’acier et le béton non prise en compte de la résistance du béton tendu les matériaux ont des comportements élastiques Coefficient d’équivalence - dépend de chaque projet en fonction du module d’Young Ec = Ecm / (1 + je) - coefficient de fluage à long terme : je = j(∞;to) . MEqp/MEd (pour combinaison quasi-permanente) janvier 2008 Henry THONIER (T7)

Généralités (suite) « 7.2 (1)P La contrainte de compression dans le béton doit être limitée afin d'éviter les fissures longitudinales, les micro-fissures ou encore des niveaux élevés de fluage, lorsque ceux-ci pourraient avoir des effets inacceptables pour le fonctionnement de la structure. (2) Des fissures longitudinales peuvent apparaître si le niveau de contrainte sous la combinaison caractéristique de charges excède une valeur critique. Une telle fissuration peut conduire à une réduction de la durabilité. En l'absence d'autres dispositions telles que augmentation de l'enrobage des armatures dans la zone comprimée ou confinement au moyen d'armatures transversales, il peut être pertinent de limiter les contraintes de compression à une valeur k1fck ( 0,6 fck) dans les parties exposées à des environnements correspondant aux classes d'exposition XD, XF et XS. (3) Si, sous charges quasi-permanentes, la contrainte dans le béton est inférieure à k2fck, (0,45 fck) on peut admettre que le fluage est linéaire. Si la contrainte dans le béton excède k2fck, il convient de considérer un fluage non-linéaire. (4)P Les contraintes de traction dans les armatures doivent être limitées afin d'éviter les déformations inélastiques ainsi qu'un niveau de fissuration ou de déformation inacceptable. (5) On peut considérer qu'un niveau de fissuration ou de déformation inacceptable est évité si, sous la combinaison caractéristique de charges, la contrainte de traction dans les armatures n'excède pas k3fyk. (0,8 fyk). Lorsque la contrainte est provoquée par une déformation imposée, il convient de limiter la contrainte de traction à k4fyk (fyk). Enfin, il convient de limiter la valeur probable de la contrainte des armatures de précontrainte à k5fpk (0,75 fpk). » janvier 2008 Henry THONIER (T7)

Coefficient d’équivalence Exemple de calcul du coefficient d’équivalence a (ou n) (suivant l’Annexe B de l’EC2-1-1) Poutre de 0,20 m x 0,40 m charge permanentes NG = 0,36 MN charges variables : NQ = 0,16 MN ; coefficient Y = 0,3 chargement à to = 28 jours ; taux d’humidité : RH = 70 % béton fck = 25 MPa ; ciment classe N (normale) rayon moyen : ho = b.h / (b + h) = 133,3 mm  Ecm = 22 [(fck + 8)/10]0,3 = 31,85 GPa ou Tableau 3.1 de l’EC2 = (1 + [1 -0,7] ] / [0,1 .(133,3)1/3]) . [16,8 / (33)0,5] . [1 / (0,1 + 280,2)] = 2,267 = 1 + 2,267  (0,36 + 0,3  0,16) / (0,36 + 0,16 ) = 2,779 Ec = Ecm / (1 + je) = 31,85 / 2,779 = 11,46 GPa a = Es / Ec = 200 / 11,46 = 17,45 janvier 2008 Henry THONIER (T7)

Calcul des contraintes janvier 2008 Henry THONIER (T7)

Détermination des aciers janvier 2008 Henry THONIER (T7)

FLEXION COMPOSÉE - SECTION RECTANGULAIRE OU EN TÉ - CALCUL DES CONTRAINTES janvier 2008 Henry THONIER (T7)

FLEXION COMPOSÉE - SECTION RECTANGULAIRE - DÉTERMINATION DES ACIERS TENDUS Méthode du moment par rapport aux aciers tendus → flexion simple janvier 2008 Henry THONIER (T7)

Déformations - Flèches Dispense de calcul des flèches L = Leff = portée utile = portée de calcul d = hauteur utile r0 = pourcentage de référence = fck0,5 / 1000 r = pourcentage d’aciers longitudinaux tendus à mi-travée = As / (b.d) r’ = pourcentage d’aciers longitudinaux comprimés à mi-travée = A’s / (b.d) K = coefficient dépendant du type de structure (tableau page suivante) janvier 2008 Henry THONIER (T7)

Déformations – Flèches (suite) janvier 2008 Henry THONIER (T7)

Déformations – Flèches (suite) Correctifs - multiplier L/d par 310/ss si la contrainte en ELS diffère notablement de 310 MPa - multiplier par 0,8 pour les poutres en Té si beff > 3 bw - multiplier par 7/Leff pour les poutres ou dalles (autres que planchers-dalles) si L > 7 m et supportant des cloisons fragiles - multiplier par 8,5/Leff pour des planchers-dalles si L > 8,5 m et cloisons fragiles Exemple. Travée de rive d’une dalle continue L = Leff = 5,20 m de longueur portant dans une direction  fck = 25  MPa  ; avec 0,5 % d’acier, on lit : L / d = 35 , soit d = 5,2 / 35 = 0,149 m qui correspond à h = 0,15 m. janvier 2008 Henry THONIER (T7)

Déformations – Flèches (suite) Vérification des flèches par le calcul Par intégration de la courbure 1/r = Mqp . (1 + jo . kor) / (Ecm . Inertie) en tenant compte des sections fissurées et des sections non fissurées, du coefficient de fluage kor = correctif de jours si sc > 0,45 fck (fluage non linéaire) janvier 2008 Henry THONIER (T7)