Introduction à l’Intégration Numérique Application aux éphémérides Josselin Desmars IMCCE / Obs Paris

Plan Equations différentielles Rappels de Mécanique Méthodes d’intégration numérique Août 2008

Équations différentielles Définition Exemple Résolution d'une équation simple Août 2008

Équations différentielles Elle lie une ou plusieurs fonctions et ses/leurs dérivées. De manière formelle, une équation différentielle s'écrit: Exemples: y'+2y=0 ordre 1 y''-5y’+y+1=0 ordre 2 y''+k².y=0 ordre 2 Août 2008

Équations différentielles Pourquoi des équations différentielles? Dès que l’on veut modéliser des phénomènes physiques, biologiques, économiques, etc…, les équations différentielles apparaissent. Exemple: Une population possède à un instant t : N(t) individus. Si elle a de la nourriture abondante. Sa population augmente proportionnellement à sa taille (par exemple, chaque année, la population augmente de 5%). N vérifie l’équation différentielle : Août 2008

Équations différentielles Solution de l’équation différentielle Où y0 est une constante qui dépend des conditions initiales La solution de cette équation différentielle est simple et de la forme: Donc l’effectif à l’instant t de la population est : Où N0 est l’effectif de la population à l’instant initial t=0 Août 2008

Équations différentielles Solution de l’équation différentielle N0=100,200,300,400 k=0.05 Août 2008

Équations différentielles Pour des équations différentielles simples, on peut trouver des solutions explicites de cette équation (comme dans l’exemple précédent) Il existe des méthodes qui permettent de calculer ces solutions. Malheureusement, les modélisations plus complexes entraînent des équations différentielles plus complexes également (dont on n’a pas de solutions explicites) Exemple : en mécanique (céleste)… Août 2008

Équations différentielles On peut également avoir un système d'équations différentielles. Population proies / prédateurs Lokta Volterra (1925) X : population des lapins Y : population des renards a : taux d’accroissement des lapins (sans prédateurs) b : taux de mortalité des lapins à cause de la prédation c : taux de mortalité des renards en l’absence de proies e : le facteur décrivant quelle quantité des lapins attrapés permet de créer des nouveaux renards Août 2008

Équations différentielles On peut également avoir un système d'équations différentielles.  En notant  Août 2008

Équations différentielles Avec cette transformation, une équation différentielle du second ordre peut se transformer en une équation différentielle du premier ordre Posons:  Posons:  où  Août 2008

Équations différentielles Ce qu'il faut retenir Une équation différentielle lie une fonction et ses dérivées. Elle apparaissent dans les modélisations Elles peuvent être résolues analytiquement (les solutions s'expriment sous la forme de fonctions) Une équation différentielle d'ordre 2 peut se transformer en une équation différentielle d'ordre 1 Août 2008

Rappels de Mécanique Notions de vitesse Notions d'accélération Principe fondamental de la dynamique Loi de gravitation Problème à 2 corps Problème plus général (N corps, autres forces,…) Août 2008

Rappels de Mécanique Notions de vitesse: Vitesse moyenne entre P1 et P2 : Août 2008

Rappels de Mécanique Notions de vitesse: Vitesse instantanée en P ? On calcule la vitesse pour un temps petit t. Le point parcourt une distance l pendant ce temps t Sa vitesse est donc Août 2008

Rappels de Mécanique Notions de vitesse: Vitesse instantanée en P C’est la vitesse du point quand t est aussi petit que l’on veut: en m/s Août 2008

Rappels de Mécanique Notions de vitesse: Vecteur vitesse en P Notons : Août 2008

Rappels de Mécanique Notions d’accélération: Vecteur accélération en P L’accélération, c’est la dérivée de la vitesse par rapport au temps L’accélération, c’est la dérivée seconde de la position par rapport au temps en m / s² Août 2008

Rappels de Mécanique Hypothèses et Définition Un solide de dimension négligeable devant les distances mises en jeu peut être assimilé à un point. Dans un premier temps, en mécanique céleste, on peut assimiler les planètes et autres corps à des points, leur centre de masse. Un référentiel est dit galiléen si un objet isolé est soit en mouvement rectiligne uniforme (sa vitesse est constante) soit immobile (vitesse nulle) Août 2008

Rappels de Mécanique Principe Fondamental de la Dynamique ‘PFD’ (Newton) Pour un point P de masse m dans un référentiel galiléen, on a la relation entre son accélération, sa masse et la somme des forces appliquées à P P Août 2008

Rappels de Mécanique Loi d’attraction universelle (Newton 1687) Deux corps ponctuels A et B de masses respectives mA et mB s’attirent mutuellement avec une force proportionnelle à chacune des masses et inversement proportionnelle au carré de leur distance La force exercée sur B par A s’écrit : Août 2008

Rappels de Mécanique Problème à 2 corps Application du PFD Trajectoire des points A et B: Après changement de variables, l’équation du mouvement de B devient: Solution analytique => mouvement képlérien Août 2008

Rappels de Mécanique Problème à 2 corps Mouvement képlérien: les 2 corps décrivent une ellipse autour du barycentre du système Août 2008

Rappels de Mécanique Problème à N corps N corps : P1,…,PN-1 ,T de masses m1,…,mN-1,mT système d’équations différentielles dont on a pas de solution explicite Août 2008

Rappels de Mécanique Problème à N corps Autres forces prises en compte Les planètes ne sont plus considérées comme des points mais des sphères (aplaties) Prise en compte de petits objets Relativité … Août 2008

Rappels de Mécanique Théories planétaires Théories analytiques: La position des astres est obtenue sous forme de combinaisons de fonctions algébriques et trigonométriques dépendantes du temps, des masses, des positions initiales par la méthode des perturbations (Lagrange) Intégration numérique: La position des astres est calculée numériquement pour des temps t, t+h, t+2h,… où h est le pas d’intégration. Août 2008

Méthodes d'Intégration Numérique Méthode d'Euler Ordre d'une méthode Méthode d'ordre 2 Méthode de Runge-Kutta Autres méthodes Août 2008

Méthodes d'Intégration Numérique Par la suite, on considère l'équation différentielle et But: approcher la solution de l'équation différentielle par des méthodes numériques sur un intervalle de temps [t0,tN] Août 2008

Méthodes d'Intégration Numérique Principe : construite une suite yi qui approxime la solution au temps t0+i.h Août 2008

Méthodes d'Intégration Numérique Méthode d'Euler: Août 2008

Méthodes d'Intégration Numérique Méthode d'Euler: Août 2008

Méthodes d'Intégration Numérique Méthode d'Euler: Août 2008

Méthodes d'Intégration Numérique Méthode d'Euler: Août 2008

Méthodes d'Intégration Numérique Méthode d'Euler: Août 2008

Méthodes d'Intégration Numérique Méthode d'Euler: L'idée, c'est qu'au temps initial t0 , on connaît la position y0 et la dérivée On peut, pour un temps un peu plus grand que t0 : t0+h avec h petit, approximer la position de y(t0+h) La fonction f est approximée par sa tangente en t0 entre t0 et t0+h Août 2008

Méthodes d'Intégration Numérique Méthode d'Euler: Août 2008

Méthodes d'Intégration Numérique Méthode d'Euler: Notons Nous pouvons procéder de la même manière pour calculer au temps t0+2h En se servant des valeurs de y1 et en approximant par Août 2008

Méthodes d'Intégration Numérique Méthode d'Euler: Août 2008

Méthodes d'Intégration Numérique Méthode d'Euler: Par récurrence, nous pouvons définir deux suites qui approximent la solution de l'équation différentielle. La première va définir les temps pour lesquels, on veut l'approximation: Avec t0 le temps initial Et h le pas (on peut prendre ) La deuxième fournit une approximation de la solution: Août 2008

Méthodes d'Intégration Numérique Méthode d'Euler: Août 2008

Méthodes d'Intégration Numérique Méthode d'Euler: La convergence de la méthode peut être démontrée mathématiquement. Plus on diminue le pas d'intégration h, meilleure est l'approximation. La différence entre la solution réelle et la solution calculée tend vers 0 quand h tend vers 0. En contrepartie, le temps de calcul devient plus long à mesure que l'on divise l'intervalle de temps. C'est une méthode d'ordre 1 Août 2008

Méthodes d'Intégration Numérique Ordre d'une méthode: Une méthode d'intégration numérique est d'ordre N si elle est exacte pour les polynômes de degré inférieur ou égal à N, et si elle fausse pour au moins un polynôme de degré N+1 Exemple: La méthode d'Euler est exacte si la fonction f est une fonction affine Août 2008

Méthodes d'Intégration Numérique Ordre d'une méthode: Pour une méthode d'ordre n, l'erreur peut être majorée par un polynôme (fonction du pas) d'ordre n+1 en h Par exemple, l'erreur réalisée par la méthode d'Euler, peut être majorée par un polynome du 2nd ordre: k=2 k=1 k=3 Plus l'ordre est grand, plus la méthode est précise (pour un pas h plus grand) Août 2008

Méthodes d'Intégration Numérique Méthode du 2ème ordre: Dans la méthode d'Euler, on approximait par la tangente. Ici, la fonction f est approximée par un arc de parabole. On s'appuie sur une propriété de la parabole Août 2008

Méthodes d'Intégration Numérique Méthode du 2ème ordre: Août 2008

Méthodes d'Intégration Numérique Méthode du 2ème ordre: Août 2008

Méthodes d'Intégration Numérique Méthode du 2ème ordre: Août 2008

Méthodes d'Intégration Numérique Méthode du 2ème ordre: Août 2008

Méthodes d'Intégration Numérique Méthode du 2ème ordre: Août 2008

Méthodes d'Intégration Numérique Méthode du 2ème ordre: Août 2008

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Méthodes d'Intégration Numérique Méthode du 2ème ordre: Août 2008

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Méthodes d'Intégration Numérique Méthode du 2ème ordre: Août 2008

Méthodes d'Intégration Numérique Méthode du 2ème ordre: Août 2008

Méthodes d'Intégration Numérique Méthode du 2ème ordre: Août 2008

Méthodes d'Intégration Numérique Méthode du 2ème ordre: Août 2008

Méthodes d'Intégration Numérique Méthode du 2ème ordre: Août 2008

Méthodes d'Intégration Numérique Méthode du 2ème ordre: On calcule les coordonnées du point P : La pente en P s'écrit : Les coordonnées du point M1 s'écrivent: Août 2008

Méthodes d'Intégration Numérique Méthode du 2ème ordre: Ainsi par récurrence, on peut à chaque étape i, définir 2 variables k1 et k2: La solution approchée en t0+i.h sera donnée par la suite récurrente : C'est une méthode d'ordre 2 Août 2008

Méthodes d'Intégration Numérique Méthode de Runge-Kutta (RK4): Le principe reste toujours le même. On va chercher à estimer au mieux la pente de la courbe sur l'intervalle [ti,ti+1] La solution approchée en t0+i.h sera donnée par la suite récurrente : C'est une méthode d'ordre 4. Août 2008

Méthodes d'Intégration Numérique Autres méthodes On trouve des méthodes numériques d'ordre supérieur L'un des intégrateurs utilisé pour l'élaboration des éphémérides est un intégrateur de RADAU d'ordre 15. Les qualités requises pour un intégrateur sont sa précision, sa rapidité, sa stabilité. Août 2008