Modélisation et résolution du problème de contact mécanique et son application dans un contexte multiphysique Soutenance de thèse de doctorat en ingénierie BUSSETTA Philippe Directeur: M. Daniel Marceau, UQAC Codirecteur: M. Jean-Philippe Ponthot, ULg Université du Québec à Chicoutimi Département des sciences appliquées 3 Février 2009

Plan Introduction Mécanique du contact frottant Méthodes de résolution Limites des méthodes habituelles Méthodes de résolution proposées Conclusion et recommandations

Introduction Introduction Mécanique du contact frottant Méthodes de résolution Limites des méthodes habituelles Méthodes de résolution proposées Conclusion et recommandations Problématique Objectifs État des connaissances Méthodologie

Introduction… Problématique Le contact, un phénomène de tous les jours… Mathématique Physique Informatique Numérique

Introduction… Problématique… Contrainte de Contact Contraintes dans les solides Résistance thermique Résistance électrique Méthode de résolution Type de problème Choix de paramètres

Introduction… Objectifs Méthode de résolution Polyvalente Fiable Rapide Algorithme de résolution Système d’équations Discrétisation du contact Discrétisation des frontières Lois de contact

Introduction… État des connaissances Modélisation mathématique Méthode de résolution Pénalisation (Sh. Keshavarz 08, etc.) Multiplicateurs de Lagrange (H. Walter 99, etc.) Lagrangien augmenté (J.C. Simo 92, etc.) Discrétisation du contact « Point-surface » (P. Goulet 04, etc.) « Surface-surface » (M. A. Puso 04, etc.) X-FEM (G. Legrain 05, etc.) Lissage des frontières (D. Chamoret 04, etc.)

Introduction… Méthodologie Technique de résolution Étude comparative Limites des méthodes usuelles Méthode proposée Discrétisation du contact

Mécanique du contact frottant Introduction Mécanique du contact frottant Méthodes de résolution Limites des méthodes habituelles Méthodes de résolution proposées Conclusion et recommandations Physique du problème Contact frottant Modélisation du contact Modélisation du frottement Principe des travaux virtuels

Mécanique du contact frottant... Physique du problème Représentation du contact entre deux solides Statut de contact? Configuration déformée?

Mécanique du contact frottant... Contact frottant Modélisation du contact Lois non différentiables Loi de contact unilatérale

Mécanique du contact frottant... Contact frottant… Modélisation du frottement Lois non différentiables Loi de frottement de Coulomb

Mécanique du contact frottant... Principe des travaux virtuels Travaux virtuels des forces internes Travaux virtuels des forces de contact Travaux virtuels des forces externes

Méthodes de résolution Introduction Mécanique du contact frottant Méthodes de résolution Limites des méthodes habituelles Méthodes de résolution proposées Conclusion et recommandations Système d’équations Pénalisation Lagrangien augmenté Discrétisation du contact « Point-surface » « Surface-surface » Algorithmes de résolution Pénalisation adaptative

Méthodes de résolution… Système d’équations Méthode de pénalisation Loi de contact Coefficients de pénalisation? Loi de frottement

Méthodes de résolution… Système d’équations… Méthode du lagrangien augmenté Loi de contact Coefficients de pénalisation? Loi de frottement Augmentation des lagrangiens

Méthodes de résolution… Discrétisation du contact Méthode « point-surface » Conditions d’admissibilité Problèmes : Frontières irrégulières Déplacements relatifs importants Représentation du calcul de l’interpénétration au point A

Méthodes de résolution… Discrétisation du contact… Méthode « surface-surface » Conditions d’admissibilité Représentation du calcul de l’interpénétration au noeud A Problème : Pour chaque nœud Vecteur normal Vecteur tangent

Méthodes de résolution… Algorithmes de résolution Méthode de pénalisation Méthode de Newton-Raphson :

Méthodes de résolution… Algorithmes de résolution… Méthode de pénalisation adaptative L’interpénétration doit respecter : Calcul du coefficient de pénalisation normale :

Méthodes de résolution… Algorithmes de résolution… Méthode du lagrangien augmenté Méthode de Newton-Raphson :

Limites des méthodes habituelles Introduction Mécanique du contact frottant Méthodes de résolution Limites des méthodes habituelles Méthodes de résolution proposées Conclusion et recommandations Problème de Hertz Pénalisation Pénalisation adaptative Lagrangien augmenté Tubes concentriques

Limites des méthodes habituelles… Problème de Hertz Deux cylindres en acier Rayon : 25 cm Module d’Young : 200 GPa Coefficient de Poisson : 0,3 Limite d’élasticité (se): 472 MPa Loi d’écrouissage : se + Ke K : 640 acier

Limites des méthodes habituelles… Problème de Hertz… Méthode de pénalisation Nombre d’itérations

Limites des méthodes habituelles… Problème de Hertz… Méthode de pénalisation Contrainte normale de contact tn (maillage 4 et comportement élastique) Contrainte normale de contact tn (maillage 4 et comportement élasto-plastique)

Limites des méthodes habituelles… Problème de Hertz… Méthode de pénalisation adaptative Nombre d’itérations

Limites des méthodes habituelles… Problème de Hertz… Méthode de pénalisation adaptative Contrainte normale de contact tn (maillage 4 et comportement élastique) Contrainte normale de contact tn (maillage 4 et comportement élasto-plastique)

Limites des méthodes habituelles… Problème de Hertz… Méthode du lagrangien augmenté Nombre d’itérations

Limites des méthodes habituelles… Problème de Hertz… Méthode du lagrangien augmenté Contrainte normale de contact tn (maillage 4 et comportement élastique) Contrainte normale de contact tn (maillage 4 et comportement élasto-plastique)

Limites des méthodes habituelles… Tubes concentriques Écrasement de deux tubes concentriques Rayon de contact : 25 cm Épaisseur (e) : 1 cm Coefficient de frottement : 0, 15 Module d’Young : 200 GPa Coefficient de Poisson : 0, 3 Limite d’élasticité (se): 472 MPa Loi d’écrouissage : se + Ke K : 640 Déplacement U imposé Frontière fixe

Limites des méthodes habituelles… Tubes concentriques… Maillage utilisés Frontières de contact Longueur : 10 cm

Limites des méthodes habituelles… Tubes concentriques… Nombre d’itérations en fonction du type de modélisation

Limites des méthodes habituelles… Tubes concentriques… Contrainte normale de contact avec la méthode de pénalisation Maillage 1 Maillage 2

Limites des méthodes habituelles… Tubes concentriques… Contrainte normale de contact avec la méthode du lagrangien augmenté Maillage 1 Maillage 2

Méthodes de résolution proposées Introduction Mécanique du contact frottant Méthodes de résolution Limites des méthodes habituelles Méthodes de résolution proposées Conclusion et recommandations Méthode « Surface-surface » Pénalisation adaptative modifiée Lagrangien augmenté adapté Validation Problème de Hertz Tubes concentriques Préchauffage de la cathode d’une cuve d’électrolyse

Méthodes de résolution proposées… Méthode « Surface-surface » Conditions d’admissibilité Représentation du calcul de l’interpénétration au noeud A Solution : Pour chaque nœud Vecteur normal et tangent (élément maître) Problème 3D

Méthodes de résolution proposées… Pénalisation adapté modifié Algorithme de calcul du coefficient de pénalisation normal gi >> gi-1 gi ≈ gi-1 gi > gi-1

Méthodes de résolution proposées… Lagrangien augmenté adapté Algorithme de calcul de la force normale de contact : Ai g2 Ai-1

Méthodes de résolution proposées… Lagrangien augmenté adapté… Algorithme de calcul du coefficient de pénalisation normal gi >> gi-1 gi ≈ gi-1 gi > gi-1

Méthodes de résolution proposées… Lagrangien augmenté adapté… Algorithme de calcul du coefficient de pénalisation tangentiel Initialisation Adaptation

Méthodes de résolution proposées… Validation Problème de Hertz acier

Méthodes de résolution proposées… Validation… Problème de Hertz… Méthode de pénalisation adaptative modifiée Nombre d’itérations

Méthodes de résolution proposées… Validation… Problème de Hertz… Méthode de pénalisation adaptative modifiée… Contrainte normale de contact tn (maillage 4 et comportement élastique) Contrainte normale de contact tn (maillage 4 et comportement élasto-plastique)

Méthodes de résolution proposées… Validation… Problème de Hertz… Méthode du lagrangien augmenté adapté Nombre d’itérations

Méthodes de résolution proposées… Validation… Problème de Hertz… Méthode du lagrangien augmenté adapté… Contrainte normale de contact tn (maillage 4 et comportement élastique) Contrainte normale de contact tn (maillage 4 et comportement élasto-plastique)

Méthodes de résolution proposées… Validation… Écrasement de deux tubes concentriques Maillage utilisés

Méthodes de résolution proposées… Validation… Écrasement de deux tubes concentriques… Méthode « surface-surface » Contrainte normale de contact avec la méthode de pénalisation (en = 105 et et = 104) Maillage 1 Maillage 2

Méthodes de résolution proposées… Validation… Préchauffage de la cathode d’une cuve d’électrolyse carbone fonte acier Courbe de montée en température du dessus du bloc cathodique Schéma d’un bloc cathodique 48

Méthodes de résolution proposées… Validation… Préchauffage de la cathode d’une cuve d’électrolyse… Maillage d’un bloc cathodique 49

Méthodes de résolution proposées… Validation… Préchauffage de la cathode d’une cuve d’électrolyse… Pénalisation – Lagrangien augmenté adapté Nombre d’itération en fonction du pas de temps Valeur maximale de l’interpénétration pour chaque pas de temps avec la méthode du lagrangien augmenté adapté 50

Méthodes de résolution proposées… Validation… Préchauffage de la cathode d’une cuve d’électrolyse Pénalisation – Lagrangien augmenté adapté… Contrainte normale de contact au 6ème pas de temps (interface fonte-carbone) Pénalisation Lagrangien augmenté adapté 51

Méthodes de résolution proposées… Validation… Préchauffage de la cathode d’une cuve d’électrolyse Pénalisation – Lagrangien augmenté adapté… Première contrainte principale au 16ème pas de temps Pénalisation Lagrangien augmenté adapté 52

Méthodes de résolution proposées… Validation… Préchauffage de la cathode d’une cuve d’électrolyse Pénalisation – Lagrangien augmenté adapté… Id2 Id1 Force normale de contact sur l’interface fonte-carbone 53

Conclusion et recommandations Méthodes usuelles de résolution Non adaptées Méthode de résolution proposée : lagrangien augmenté adapté Plus rapide (adaptation de la pénalité) Plus robuste (lagrangien augmentée) Contact avec frottement Contexte multiphysique

Conclusion et recommandations Méthode « point-surface » Solution irrégulière / non représentative Valeur de l’interpénétration Méthode « surface-surface » Solution plus régulière Contact non local

Conclusion et recommandations Lagrangien augmenté adapté Calcul du contact frottant Multiplicateurs de Lagrange à incrément avant Méthode « surface-surface » Amélioration de la programmation

Questions