Application du filtre particulaire à un modèle de culture dynamique (AZODYN) Cédric Naud UMR d’Agronomie INRA / INA P-G à Thiverval-Grignon Marie-Hélène Jeuffroy (Directrice de thèse) David Makowski (Encadrant principal)

Plan de l’exposé 1. Introduction 2. Modèle Agronomique (AZODYN) et base de données 3. Définition du modèle stochastique 4. Filtre Particulaire 5. Présentation de diverses simulations 6. Perspective

Plan de l’exposé 1. Introduction 2. Modèle Agronomique (AZODYN) et base de données 3. Définition du modèle stochastique 4. Filtre Particulaire 5. Présentation de diverses simulations 6. Perspective

Modèle utilisé : AZODYN R Matière sèche sortie-hiver Reliquat d’N minéral sortie-hiver Caractéristiques du sol (%Argile, %CaCO3, %N) Pratique agricole Nature du précédent Climat (température, rayonnement, pluviométrie) Fertilisation Azotée (Date et Dose) AZODYN S O R T I E Rendement Teneur Prot NGrains/m² Poids 1000Gr MS QN INN LAI… MS QN MSG QNG… Maturité physiologique Sortie hiver Épi 1cm Gonflement Floraison

Modèle utilisé : AZODYN Matière sèche : MS (calculée en Kg/Ha) Quantité d’AZOTE : QN (calculée en Kg/Ha) Azote Cumulé dans le sol : Ncumu (calculée en Kg/Ha)

Modèle utilisé : AZODYN Indice de nutrition azotée : INN  : 69 paramètres du modèle. 35 paramètres pour le calcul des variables du modèle durant la période « sortie hiver » à la date de floraison.

Données collectées à partir d’expérimentation issues de : Base de données Données collectées à partir d’expérimentation issues de : La thèse de Aude Barbottin 2004 (Essais 2001 et 2002) De travaux effectués par Marie-Hélène Jeuffroy et Christine Bouchard (AI). Essais 1995, 1996, 1998, 1999 Site géographique : Grignon 6 Années d’essais : 1995-96-98-99-2001-2002 2 stratégies de fertilisation Excepté pour l’année 2002. 2 variétés : Arches (années 98, 01, 02) et Soissons (toutes les années) 16 combinaisons Année*Variété*Fertilisation 5 à 15 dates de prélèvements effectués de « sortie hiver » à Floraison.

Base de données m . g Matière sèche : m . g Azote absorbé : 20 40 60 80 100 120 400 800 1200 - Soissons 1995 Apport réduit Soissons 1996 Apport intensif Arche 1998 Apport intensif Soissons 1999 Apport intensif Arche 2001 Apport réduit Matière sèche : g . m 2 20 40 60 80 100 120 5 15 25 35 Azote absorbé : g . m - 2 1.5 Indice de nutrition azotée 1.0 0.5 0.0 20 40 60 80 100 120 Date de sortie hiver à floraison

Plan de l’exposé 1. Introduction 2. Modèle Agronomique (AZODYN) et base de données 3. Définition du modèle stochastique 4. Filtre Particulaire 5. Présentation de diverses simulations 6. Perspective

Définition du modèle stochastique (1)        f fonction non linéaire de Xt-1     processus indépendant L’initialisation du modèle ( t=0 ) correspond à la date de « sortie hiver » L’implémentation du modèle s’arrête à floraison

Définition d’une mesure (2) H une matrice p*3 qui décrit le niveau d’information dont on dispose sur les mesures. Exemple: , signifie que nous avons à disposition deux types de mesures MS et QN quelconque de

Distribution du modèle : Variables estimées à partir les observations de chaque situation Propriété du modèle: Processus de Markov distribution de l’état initial loi de transition loi des observations. fonction de vraisemblance Idée : Assimiler les observations dans le modèle stochastique pour corriger les variables d’état, i.e la loi à posteriori (appelé aussi Filtre optimal)

Calcul de la loi à priori (équation de Chapman-Kolmogorov) Filtre Optimal Calcul de la loi à priori (équation de Chapman-Kolmogorov)   P(Xt | m1:t-1)=  P(Xt | Xt-1) P(Xt-1 | m1:t-1) d Xt-1 (3) Calcul de la loi à posteriori de Xt par le théorème de Bayes P(Xt | m1:t)= P(mt | Xt) P(Xt | m1:t-1) /  P(mt | Xt) P(Xt | m1:t-1) d Xt (4) Problème : - Xt est diffusé via un processus non linéaire f. Pas de solution analytique à ce calcul - Evaluation d’intégrale complexe sur dXt où Xt  R3. Idée: Obtenir une approximation de ces intégrales par des méthodes de Monte Carlo. Handschin, J.E and Mayne, D. Q (1969). Monte Carlo techniques to estimate the conditional expectation in multi-stage non-linear filtering.

Plan de l’exposé 1. Introduction 2. Modèle Agronomique (AZODYN) et base de données 3. Définition du modèle stochastique 4. Filtre Particulaire 5. Présentation de diverses simulations 6. Perspective

Filtre Particulaire Procédure « Sequential Importance Sampling » (SIS) A. Doucet - On sequential simulation-based method for bayesian filtering 1998 Principe des procédures Monte Carlo pour l’estimation d’espérance. processus markovien de distribution et de probabilité de transition observations indépendantes conditionnellement aux Soit f une fonction intégrable par rapport à , son espérance Soit N trajectoires tirées dans loi forte des grands nombres Problème: Impossible de générer

Filtre Particulaire Tirage aléatoire selon une fonction d’importance Avec Soit N trajectoires tirées dans Remarque : - Estimation biaisée mais consistante par la loi des grands nombres. J. Geweke. Bayesian Inference in econometrics models using Monte Carlo Integration (1989).

Filtre Particulaire Procédure « Sampling Importance Resampling » (SIS-R) Procédure identique à SIS avec une étape de « bootstrap », i.e échantillonnage des particules équipondérées dans la loi empirique Prise en compte des observations pour l’étape d’évolution des particules Perte de l’indépendance des particules N. Gordon, D. Salmond, A. Smith. – Novel approach to nonlinear/non-Gaussian Bayesian state estimation. 1993 Avantage: Réduction des problèmes de dégénérescence rencontrés par SIS.

Filtre Particulaire Filtre particulaire avec Interaction P. Del Moral, G. Rigal, G. Salut. – Estimation et commande optimale non-linéaire. 1992 Cas particulier de la procédure SIS-R Les particules sont générées selon dynamisme du système. Calcul des poids simplifié. Schéma récursif

Mise en œuvre du Filtre Particulaire Etape 1 : Initialisation et évolution stochastique Tirage aléatoire i.i.d d’un N-échantillon dans la distribution P(X0) Tirage aléatoire i.i.d d’un N-échantillon dans la distribution de    Tirage d’un N-échantillon dans la distribution de  jusqu’à ce que t = t1(temps de la première observation)

Mise en œuvre du Filtre Particulaire Etape 2 : Correction (pondération) On dispose de et plus exactement de On réajuste les poids précédemment définis à l’aide la fonction de vraisemblance (poids d’importance) Etape 3 : Redistribution. Tirage aléatoire d’un N-échantillon dans la distribution empirique

Mise en œuvre du Filtre Particulaire Etape 4 : Estimation On dispose à tout moment t d’un échantillon iid de poids identiques. Estimateur d’une fonction intégrable En particulier, on peut estimer , , , ainsi que les variances et leurs intervalles de confiance ou encore les modes.

Plan de l’exposé 1. Introduction 2. Modèle Agronomique (AZODYN) utilisé et base de données 3. Définition du modèle stochastique 4. Filtre Particulaire 5. Présentation de diverses simulations 6. Perspective

Objectif On dispose de deux modèles: - Azodyn (type mécaniste) - modèle stochastique Mêmes sorties pour les deux modèles. On dispose, sur chacune des 16 situations, plusieurs mesures (MS et QN) à plusieurs dates de prélèvement (Sortie hiver à Floraison). Objectif : Comparer la qualité prédictive du modèle agronomique AZODYN au modèle Stochastique avec utilisation de données en cours de saison (Filtre Particulaire avec interaction). Seules les mesures de sortie hiver à Gonflement (exclus) sont utilisés par le filtre. Les mesures de Gonflement (inclus) à floraison sont utilisées pour comparer la prédiction des deux modèles

Plan d’expérience 12 scénarios sont envisagés : On dispose de toutes les mesures avant la période de gonflement On ne dispose que de celle précédant la période de gonflement On dispose des mesures de matière sèche uniquement On dispose des mesures d’azote absorbé uniquement On dispose des 2 types de mesure Toutes les variables d’entrée sont connues Quelques unes sont inconnues 16 situations (Année*Variété*Fertilisation) Chacun des paramètres (C1, C2, C3) est choisi à 3 niveaux (0, 0.5, 1) (27 combinaisons de paramètres) Filtre Particulaire avec interaction à 5000, 10000 puis 20000 particules 2 jours et 4 heures pour la simulation de l’ensemble des scénarios envisagés

- 2 m g . 1200 - Azodyn Matière sèche : - Filtre Particulaire 800 Observations en cours de saison * Observations à Prédire 400 20 40 60 80 100 120 - 2 m g . 30 Azote absorbé : 20 10 5 20 40 60 80 100 120 Indice de nutrition azotée 1.3 1.1 0.9 20 40 60 80 100 120 Date de sortie hiver à floraison Figure 1: Comparaison des prédictions de MS, QN et INN pour l’année 1998 de la variété Soissons dans une stratégie de fertilisation réduite d’une simulation Azodyn à un filtre particulaire à 20000 particules où toutes les variables d’entrée sont connues, toutes les mesures (MS et QN) avant gonflement sont utilisées et avec (C1, C2, C3)=(1/2,1/2,1/2)

Figure 2: Comparaison variables prédites/observées Azodyn et Filtre particulaire avant Gonflement toutes situations confondues

Figure 3: Comparaison variables prédites/observées Azodyn et Filtre particulaire après Gonflement toutes situations confondues

Présentation de diverses simulations Root Mean Square Error : RMSE

Présentation de diverses simulations Comparaison de la prédiction des variables d’état MS, QN et INN à Gonflement. (N=20000) Mesure(s) Utilisée(s) Combinaisons RMSE MS (g/m²) QN (g/m²) INN AZODYN 141.97 4.925 0.144 C1 C2 C3 MS 0.5 90.56 5.02 0.195 QN 124.42 2.80 0.114 MS et QN 97.9 3.06 0.094 1 85.9 4.72 0.187 119.57 2.59 0.106 81.96 2.54 0.083 93.23 5.58 0.225 122.63 2.77 0.112 80.53 2.69 0.087

Présentation de diverses simulations Comparaison de la prédiction des variables d’état MS, QN et INN à Gonflement. (N=20000) Mesure(s) Utilisée(s) Combinaisons RMSE MS (g/m²) QN (g/m²) INN AZODYN 141.97 4.925 0.144 C1 C2 C3 QN toutes 0.5 124.42 2.80 0.114 QN dernière mesure 129.51 2.99 0.117 1 119.57 2.59 0.106 131.33 2.71 MS et QN toutes 97.9 3.06 0.094 MS et QN dernière mesure 105.17 3.22 0.092 81.96 2.54 0.083 95.57 2.96 0.087

Présentation de diverses simulations Comparaison de la prédiction des variables d’état MS, QN et INN à Gonflement et à Floraison. N Combinaisons RMSE Gonflement RMSE Floraison QN (g/m²) INN AZODYN 4.925 0.144 4.889 0.104 C1 C2 C3 5000 0.5 3.32 0098 3.22 0.067 10000 3.24 0.095 0.077 20000 3.06 0.094 3.21 0.080 1 2.79 0.089 2.96 0.086 2.80 0.091 3.12 0.112 2.54 0.083 3.00 0.107 2.61 3.27 0.096 2.82 2.99 2.69 0.087 0.092

Plan de l’exposé 1. Introduction 2. Modèle Agronomique (AZODYN) utilisé et base de données 3. Définition du modèle stochastique 4. Filtre Particulaire 5. Présentation de diverses simulations 6. Perspective

Conclusion et Perspective Nette amélioration de la prédiction du filtre particulaire avec interaction comparativement à Azodyn dans beaucoup de scénarios Le nombre de date de mesure n’est pas un facteur important. La dernière peut Suffire. Le type de mesure influe sur la qualité prédictive du filtre Le nombre de particule choisi n’a pas mis en évidence une amélioration significative du filtre. Peu des combinaisons de paramètre (C1, C2, C3) Augmenter le nombre de niveaux des paramètres (C1, C2, C3) Quelle est la sensibilité du filtre aux paramètres (C1, C2, C3), au nombre de particules N? Estimation conjointes variables d’état X et paramètres (C1, C2, C3) Assimilation de données avec des mesures non directement liées aux variables d’état