Matériaux et formes: matériaux pour des structures efficaces Unit 9 Matériaux et formes: matériaux pour des structures efficaces There are notes here for all of the slides The 23 Lecture Units For 2011 Topic Number Name Finding and Displaying Information Unit 1 The materials and processes universe: families, classes, members, attributes Unit 2 Materials charts: mapping the materials universe Material Properties Unit 3 The Elements: Property origins, trends and relationships Unit 4 Manipulating Properties: Chemistry, Microstructure, Architecture Unit 5 Designing New Materials: Filling the boundaries of materials property space Selection Unit 6 Translation, Screening, Documentation: the first step in optimized selection Unit 7 Ranking: refining the choice Unit 8 Objectives in conflict: trade-off methods and penalty functions Unit 9 Material and shape Unit 10 Selecting processes: shaping, joining and surface treatment Unit 11 The economics: cost modelling for selection Sustainability Unit 12 Eco Selection: the eco audit tool Unit 13 Advanced Eco design: systematic material selection Unit 14 Low Carbon Power: Resource Intensities and Materials Use Special Topics Unit 15 Architecture and the Built Environment: materials for construction Unit 16 Structural sections: shape in action Unit 17 CES EduPack Bio Edition: Natural and man-made implantable materials Unit 18 Materials in Industrial design: Why do consumers buy products? Advanced Teaching and Research Unit 19 Advanced Databases: Level 3 Standard, Aerospace and Polymer Unit 20 Hybrid Synthesizer: Modelling Composites, Cellular structures and Sandwich panels Unit 21 Database creation: Using CES Constructor in Research Unit 22 Research: CES Selector and Constructor Unit 23 Campus: Overview of this commercial polymers database

Plan de la présentation Les tubes, profilés en I et sections carrées sont plus “efficaces” que des sections pleines : Comment traduire cela en méthodologie de choix ? Efficacité des formes, facteur de forme et limites de forme Indices de performance qui incluent la forme Méthodes graphiques traitant la forme Bases de données incluant la forme Resources “Materials Selection in Mechanical Design”, 4rd edition, Chapters 9 and 10. This unit introduces methods for co-selecting material and section shape.

Efficacité d’une forme Lorsque des poutres sont chargées en flexion, torsion ou en compression, la forme de la section devient un critère important ! “Forme” = section de la poutre fabriquée en : tubes Sections en I Sections parallélébipèdes creuses panneaux sandwich panneaux nervurés... “Efficace” = utilise moins de matériau pour une rigidité ou une résistance donnée. Les formes réalisables dépendent du matériau lui-même. Buts: comprendre les limites du facteur “forme” et développer des méthodes de cosélection des matériaux et de la forme associée. In many applications section shape is not a variable. But when components carry bending, torsion or compressive loads, both the area and shape of the cross-section are important. By shape we mean that the cross-section is formed to a tube, I-section or the like. Efficient shapes use the least material to achieve a given stiffness or strength. It might seem that the way forward is to first choose the shape, then form the material into that shape. But some materials are routinely made into efficient shapes while are some or not, either because of manufacturing difficulties or because they buckle too easily (more on that later). So material and shape are coupled, requiring a method of choosing them together.

Forme et mode de chargement Formes standards Barre en traction Poutre Barre de torsion Colonne L’aire de la section est importante mais pas la forme. Section A et la forme IXX, IYY sont importants Section A et la forme J sont importants Section A et la forme Imin sont importants The choice of section shape is linked to the mode of loading. I-sections resist bending but are poor in torsion. Tubes resist torsion well. Tubes and box sections are good as columns, though I-sections are often used because their entire surface can be reached for painting and inspection, whereas the inner surface of tubes and boxes cannot. Certains matériaux peuvent être fabriqués avec des formes de profilés bien définies. Quelle est la meilleure combinaison matériau-forme ?

Efficacité de forme: rigidité en flexion Prendre le rapport de rigidité en flexion S d’une forme donnée à la rigidité d’une forme standard définie (So) ayant la même aire de section Définissons une section de référence: une section carrée pleine d’aire A = b2 Le moment quadratique de cette scetion est I; EI est une mesure de la rigidité en flexion b Aire A constante Aire A = b2 Aire A et module E constants The obvious way to measure shape efficiency is to compare the behavior of a shaped section with that of a standard section with the same area – and thus the same mass of material per unit length. We take the standard section to be a solid square. If the square section is reshaped into a tube or I-section, the cross section area stays the same but the bending stiffness increases. Bending stiffness is proportional to EI where E is Young’s modulus and I is the second moment of area of the cross section. The standard and the shaped beam are the same material, so E does not change. The second moment I increases from I0 = A2/12 to I, so the bending stiffness increases by the factor e = I/I0 = 12 I/A2 The quantity e measures the efficiency of the shape when stiffness is the goal. It is called the elastic shape factor. Definissons un facteur de forme pour la flexion élastique mesurant l’efficacité comme :

Propriétés du facteur de forme Le facteur de forme est sans dimension– un nombre pur ! . Il caractérise la forme de la section. Tubes circulaires, Sections en I, Augmentation de la taille à forme constante Area A has dimensions (m2) but shape e , does not – it is a pure number. The frame shows I-sections and tubes with e = 10, meaning that they are 10 times stiffer in bending than a solid square section of the same area. The three I-sections differ in size, but all have the same shape factor – each is a magnified version of the one on its left. The same is true of the tubes. Chacune de ces formes est environ 10 fois plus rigide en flexion qu’une section carrée pleine de même surface.

Efficacité de la forme: résistance en flexion Rapport de la force d’endommagement en flexion Ff d’une section donné par rapport à la force d’endommagement Ff,0 d’une section de référence carréee de même aire Le module de section de la surface est définie par Z; la résistance en flexion varie comme: b Aire A constante Aire A = b2 Aire A et limite élastique constantes A parallel argument leads to the definition of the shape factor for the onset of yield or failure in bending. Here the act of shaping increases the section modulus Z. The efficiency is the ratio of this to the value Z0 = A2/3/6 for the solid square section, giving the shape factor f = Z/Z0 = 6Z/A3/2 The quantity f , the plastic shape factor, measures the efficiency of the shape when strength is the goal. Shapes with high e have high f as well. Similar shape factors characterize stiffness and strength in torsion. On définit le facteur de forme de début de plasticité (endommagement), mesurant l’efficacité

Tabulation des facteurs de forme The quantities I, Z and A can all be calculated from the dimensions of the section, allowing e φ to be calculated when these are known. This frame shows a small part of a larger table listing these (See “Materials Selection in Mechanical Design”, 3rd edition, Table 11.2 and 11.3). Note that the square section has a shape factor of 1; that for a solid circular section is very close to 1 (3/π = 0.95). That for thin wall tubes, box and I-sections is much larger.

Quelles valeurs de e sont disponibles ? Données pour l’acier de construction, l’aluminium 6061, composite GFRP et bois Moment quadratique, I (m4) Aire de la section, A (m2) Steel, aluminum, GFRP and timber are marketed as standard sections. There are a very large number of these. The figure on this frame shows I and A for about 1900 of them. Remember that the elastic shape factor is e = I/I0 = 12 I/A2 from which I = e A2/12 The scales are logarithmic, allowing e to be shown as lines of slope 2. Two of these are shown, one for e =1 and one for e =100. Timber is available as square section beams (e =1 ), but almost all other sections are more efficient than this. Few have an efficiency greater than about 65 – and none exceed 100 – it represents an upper limit for shape efficiency. A similar plot for Z and A allow the upper limiting values of f to be explored. The picture is more complex than this. The only sections with e > 45 are structural steel. The other materials have lower maximum shape factors. Each material has a different limit.

Limites des facteurs de forme e and f Il exite une limite supérieure du facteur de forme pour chaque matériau Matériau Max e Max f Aciers 65 13 Alliages d’Al 44 10 GFRP et CFRP 39 9 Polymères non renforcés 12 5 Bois 8 3 Elastomères < 6 - Autres matériaux ..calculable Limite définie par : (a) contraintes de fabrication (b) résistance en flambage de la section The table lists empirical upper limits for shape factors for a number of materials. The limit is sometimes set by manufacturing constraints. But if these are overcome there is a practical upper limit related to the tendency of the section to buckle. Buckling is an unpredictable mode of failure, influenced by small geometric imperfections, and it can be catastrophic. Yielding is benign – it gives warning. The more slender the structure the more easily it buckles. So the upper limit on slenderness and thus on e , is set by the requirement that the structure yields before it buckles catastrophically, giving the equation shown on this frame. limite théorique: Module de Young Limite élastique

Ex: indices de performance incluant la forme Poutre en flexion (forme de la section donnée) L F Fonction Aire A Objectif Minimiser la masse, m Contrainte Rigidité en flexion S  S*: m = masse A = aire L = longueur  = masse volumique b = largeur S = rigidité I = moment quadratique de la section E = Module de Young En combinant les équations, on trouve : The derivation here parallels that for a light stiff being given in Unit 4. The only difference is that, for the square beam of Unit 4 Io = A2/12 whereas for the shape beam I = e A2/12. The resulting equation for the metric m shows how the mass of the beam depends on the mechanical constraint it must meet (S) on the section shape (e ) and on the material of which its made (ρ/E1/2). The quantity ρ /(e E)1/2 can be thought as a “shaped-material index”. Choisir le matériau avec le plus petit indice

Combinaisons de sélection matériau-forme Matériaux pour poutres rigides à section définie à poids minimal Forme définie (e fixé): choisir des matériaux à indice élevé Forme e variable: choisir des matériaux à indice élevé Matériau , Kg/m3 E, GPa e,max Acier 1020 7850 205 65 6 0.47 6061 T4 Al 2700 70 44 10 0.65 GFRP 1750 28 39 9.5 0.6 Bois (chêne) 900 13 8 12.7 0.36 The table shows an example of the comparison of materials for light stiff beams. When materials are compared with the same shape, it is sufficient to rank them by their value of ρ/E1/2. But when their shapes differ, they must be ranked by ρ/(e E)1/2. The table shows that when these four materials are compared at constant shape (which must be less than e =8 because timber is not available in more efficient shapes than this) then timber is the lightest. But if each material is shaped to its maximum value of e , the lightest beam is that made of aluminum alloy; GFRP is close behind; and the steel beam is slightly lighter than the wooden one. Commentaires: Forme fixée (jusqu’à e = 8): le bois est le meilleur Facteur de forme élevé (e = e,max) : l’alliage d’Al est le meilleur L’acier reprend du poil de la bête grâce à e,max élevé

Forme et diagrammes de sélection Notez que Nouveaux matériaux avec Al: e = 44 Al: e = 1 Le facteur de forme est disponible dans le niveau 3 de CES (shape factor dans “mechanical properties”) The same comparison can be performed graphically – and this gives an interesting insight into the structural efficiency of wood. The shaped-material index can be re-expressed in terms of ρ* = ρ/e and E* = E/ e The shape of the material can be thought of as a new material with “properties” ρ* and E* allowing it to be plotted on the E-ρ chart as shown here. The construction is shown here for aluminum, first as a solid square section when it lies at the values of ρ and E of aluminum, and second at the point (E/ e, ρ/e ). A selection line for the index E1/2/ ρ is shown. Shaping has carried the aluminum across the line, into a region not occupied by an unshaped materials.

Récapitulation : Lorsqu’un matériau est sollicité en flexion, torsion ou compression axiale, le facteur de forme devient un critère important. L’efficacité de la forme représente la quantité de matériau nécessaire pour supporter la charge, elle est représentée par le facteur de forme . Si deux matériaux ont la même forme, les indices standard pour la flexion (p.ex ) guident le choix. Si des matériaux peuvent être fabriqués (ou sont disponibles) en plusieurs sections de formes différentes, alors les indices incluant la forme (p.ex. ) guident le choix. The central idea here is that of shape efficiency and the ability to quantify it in a single set of dimensionless shape factors e and f . They measure the factor by which the shaped section is stiffer or stronger than one of a standard shape, which we take to be a solid square section of the same area. They allow the selection methods of the earlier Units to be adapted in a natural way to accommodate the selection of shaped materials.

Fin de la leçon 9

Sommaire des leçons disponibles Le diaporama de cette leçon est disponible sur le site web des Ressources d’enseignement C’est dans ce cadre que se trouvent les notes explicatives. Chaque diapo d’une leçon comporte des notes explicatives. Vous pouvez les consulter en ouvrant le diaporama en mode [“Normal”], ou en cliquant sur l’icône correspondante dans la barre d’outils inférieure. 16

Il y a plus de 200 ressources disponibles Incluant : Auteur Il y a plus de 200 ressources disponibles Incluant : 77 diaporamas des Exercices avec leur solution des séquences enregistrées sur le web. des Posters des Rapports d’analyse des Manuels de Solutions des études de cas interactifs Mike Ashby University of Cambridge, Granta Design Ltd. www.grantadesign.com www.eng.cam.ac.uk Reproduction Ces ressources sont soumises aux droits d'auteur de Mike Ashby. Vous pouvez reproduire ces ressources pour les utiliser avec des étudiants, pourvu que vous ayez acheté les droits d'accès aux ressources d'Enseignement de Granta Design. Assurez-vous, s'il vous plaît, que Mike Ashby et Granta Design sont cités sur toutes vos reproductions. Vous ne pouvez utiliser ces ressources pour des buts commerciaux. Précision / Pertinence Traduction Nous remercions encore Raymond Constantin de la Haute École Arc pour avoir traduit cette ressource. Les personnes souhaitant entrer en contact avec R. Constantin au sujet de cette traduction peuvent le contacter à l’adresse suivante : raymond.constantin@he-arc.ch Nous faisons tout pour que ces ressources soient d'une grande qualité. Si vous avez des suggestions pour des améliorations, contactez-nous s'il vous plaît par courrier électronique à : teachingresources@grantadesign.com Granta Design est toujours interessé par les retours d’information sur les bons résultats obtenus avec diverses ressources. Si vous employez avec succès des cours que vous pensez utiles à proposer sur notre site web, s’il vous plait, prenez contact par mail à l’adresse : teachingresources@grantadesign.com Nous continuons de coordonner un symposium annuel sur les matériaux. Vous pouvez consulter les documents correspondants à l’adresse : http://www.grantadesign.com/symposium/index.htm © M. F. Ashby, 2012 Le site Web "Ressources d'Enseignement" vise à aider l'enseignement des matériaux, et les cours correspondants en Conception, Ingénierie et Science. Les ressources sont fournies dans des formats divers et sont destinées principalement à la formation des étudiants. Ce cours fait partie d'un ensemble créé par Mike Ashby pour aider à présenter aux étudiants, les matériaux, les procédés et une sélection rationnelle. Le site Web contient aussi d'autres ressources apportées par plus de 800 universités et lycées du monde entier, employant CES EduPack de Granta Design. Ce site Web contient deux catégories de ressources, qui, soit exigent l'emploi de CES EduPack, soit ne l'exigent pas. www.grantadesign.com/education/resources