Devenez carreleur !!!

Le sommaire Le sujet Les premiers coloriages ! Les premiers résultats Bilan et conjecture Démonstration Quelques remarques Notre réponse

Le sujet On dispose de carreaux carrés bicolores tous identiques : On souhaite paver une pièce carrée de 6 carreaux sur 6 carreaux en respectant le principe suivant : Deux carreaux ne peuvent s’accoler que par deux côtés d’une même couleur. Combien de façons différentes peut-on paver cette pièce ?

Les premiers coloriages ! Très vite nous nous sommes mis à nos crayons …

… et très vite nous avons compris que nous allions devoir nous organiser … Par où commencer ???

Question : lorsque nous commençons le pavage par des endroits différents, trouve-t-on le même résultat ? Nous avons placé un motif de 2 par 2 dans un endroit quelconque, par exemple en haut à gauche, puis regardé combien de nos motifs pouvaient s’accorder avec le premier motif. Nous avons continué le pavage, puis recommencé en modifiant la place du premier motif. Nous avons remarqué qu’il y avait trop de solutions possibles !!! Et qui reviennent fréquemment ! C’était impossible à compter ! Et ça prendrait trop de temps !

Décision : commencer par paver des pièces plus petites … Pièce de 1 par 2 Dans ce cas, on a pu représenter toutes les possibilités et les dénombrer : il y a 8 façons différentes de paver une pièce de 1 par 2

Les premiers résultats Pièce 1 par 1 Pièce 2 par 2 4 possibilités 16 possibilités

Pièce 3 par 3 On compte 64 possibilités … Mais les avons- nous toutes ????

Bilan et conjecture Pièce de 1 par 1 : 4 possibilités Pièce de 2 par 2 : 16 possibilités Pièce de 3 par 3 : 64 possibilités Conjecture : on multiplie par 4 à chaque fois. –Pièce de 4 par 4 : 256 possibilités –Pièce de 5 par 5 : 1024 possibilités –Pièce de 6 par 6 : 4096 possibilités

Démonstration On a essayé de comprendre pourquoi pour passer d’une pièce à l’autre, on multiplie à chaque fois par 4 :

Pour poser un carreau … Lorsqu’un carreau est posé, il y a deux façons de lui accoler un carreau. posé

Pour poser un carreau… Lorsqu’un place un carreau contre deux carreaux à la fois, il n’y a qu’une possibilité posé

Pièce 1 par 1 Pièce 2 par 2 Construite « autour » de la pièce 1 par 1 2 positions posé 2 positions 1 position Conclusion : en, posant un premier carreau (par exemple en haut à gauche), on peut fabriquer 4 pavages différents. Application :

Quelques réponses On trouve des réponses aux questions que nous nous sommes posées lors de nos recherches : > Pièce de 1 par 6 ? 4 x 2 X 2 x 2 x 2 x 2 = possibilités > On peut commencer le pavage par n’importe quel endroit x 2 X 4 x 2 x 2 x 2 = 1282 x 2 X 2 x 2 x 4 x 2 = er posé

Retour au problème : Pièce 1 par 1 4 possibilités Pièce 3 par 3 4 x 2 x 2 x 2 x 2 x 1 x 1 x 1 x 1 = possibilités Pièce 2 par 2 4 x 2 x 2 = possibilités Pièce 4 par 4 4 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = possibilités Pièce 5 par 5 4 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = possibilités

Notre réponse Il y a 4096 façons différentes de paver cette pièce x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 4096

collègeS Paul Cézanne de Montrabe et Pierre Labitrie de Tournefeuille - ………………………………… - Paul, Etienne, Antoine, Nathan Chercheur : Xavier BUFF, université Paul Sabatier à Toulouse