D♥(Rouge)V♦(Rouge)7♦(Rouge)8♥(Rouge)R♦(Rouge) 7♣(Noir)1♠(Noir)R♠(Noir)1♣(Noir)8♠(Noir) 9 ♥ (Rouge)V♠(Noir)D♠(Noir)10♣(Noir)D ♦ (Rouge) 7 ♥ (Rouge)10♠(Noir)V♣(Noir) 10 ♥ (Rouge) 9♠(Noir) 9 ♦ (Rouge)R♣(Noir)D♣(Noir)8 ♦ (Rouge)V ♥ (Rouge) 1 ♥ (Rouge)8♣(Noir) 10 ♦ (Rouge) 9♣(Noir)R ♥ (Rouge) 1 ♦ (Rouge)7♠(Noir)
D♥(Rouge)V♦(Rouge)7♦(Rouge)8♥(Rouge)R♦(Rouge) 7♣(Noir)1♠(Noir)R♠(Noir)1♣(Noir)8♠(Noir) 9 ♥ (Rouge)V♠(Noir)D♠(Noir)10♣(Noir)D ♦ (Rouge) 7 ♥ (Rouge)10♠(Noir)V♣(Noir) 10 ♥ (Rouge) 9♠(Noir) 9 ♦ (Rouge)R♣(Noir)D♣(Noir)8 ♦ (Rouge)V ♥ (Rouge) 1 ♥ (Rouge)8♣(Noir) 10 ♦ (Rouge) 9♣(Noir)R ♥ (Rouge) 1 ♦ (Rouge)7♠(Noir)
Constitué de p symboles (p= alphabet) Une suite de ces symboles se refermant sur elle-même Un enchaînement de n symboles (n= longueur du facteur) On appellera facteur de longueur n une suite de n symboles consécutifs apparaissant dans le mot.
A A A B B B ABBA, BBAB, BABA, ABAA, BAAB, AABB (facteurs de longueur 4)
20 e siècle: Etude d’une famille de mots => Mots de « De Bruijn » Propriétés: › Circulaire › n ≥ 2 › Alphabet de p symboles › Notation: B(p,n)
Mais il y a une particularité: Chaque suite de p symboles et de longueur n ne se retrouve qu’une seule fois dans le mot circulaire Le mot le plus court possible: p n
Mot de « De Bruijn » de type B(2;3) › Alphabet = {A;B} › Facteur n=3 › AAA; AAB; ABB; BBB; BBA; BAB; ABA; BAA 8 facteurs de longueur 3 (8 = 2³ = p n ) A A AA B B B B
Deux ensembles: › V = {v 1, v 2, v 3,…), les sommets › E = {e 1, e 2, e 3,…), les arcs Exemple v3v3 v1v1 v2v2 e2e2 e1e1
MultigrapheGraphe biparti
v3v3 v1v1 v2v2 e2e2 e1e1
But? Trouver le mot de « de Bruijn » B(p,n) Comment? A partir du mot B(p,n-1), en faisant un graphe Ce mot sera de longueur p n Ici, on cherche B(2,5)
R1R
RR
RRR
RRRN
RRRNR
RRRNRN
RRRNRNN
RRRNRNNN
RRRNRNNNN
RRRNRNNNNR
RRRNRNNNNRN
RRRNRNNNNRNR
RRRNRNNNNRNRR
RRRNRNNNNRNRRN
RRRNRNNNNRNRRNN
RRRNRNNNNRNRRNNR
D♥(Rouge)V♦(Rouge)7♦(Rouge)8♥(Rouge)R♦(Rouge) 7♣(Noir)1♠(Noir)R♠(Noir)1♣(Noir)8♠(Noir) 9 ♥ (Rouge)V♠(Noir)D♠(Noir)10♣(Noir)D ♦ (Rouge) 7 ♥ (Rouge)10♠(Noir)V♣(Noir) 10 ♥ (Rouge) 9♠(Noir) 9 ♦ (Rouge)R♣(Noir)D♣(Noir)8 ♦ (Rouge)V ♥ (Rouge) 1 ♥ (Rouge)8♣(Noir) 10 ♦ (Rouge) 9♣(Noir)R ♥ (Rouge) 1 ♦ (Rouge)7♠(Noir)