D♥(Rouge)V♦(Rouge)7♦(Rouge)8♥(Rouge)R♦(Rouge) 7♣(Noir)1♠(Noir)R♠(Noir)1♣(Noir)8♠(Noir) 9 ♥ (Rouge)V♠(Noir)D♠(Noir)10♣(Noir)D ♦ (Rouge) 7 ♥ (Rouge)10♠(Noir)V♣(Noir)

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D♥(Rouge)V♦(Rouge)7♦(Rouge)8♥(Rouge)R♦(Rouge) 7♣(Noir)1♠(Noir)R♠(Noir)1♣(Noir)8♠(Noir) 9 ♥ (Rouge)V♠(Noir)D♠(Noir)10♣(Noir)D ♦ (Rouge) 7 ♥ (Rouge)10♠(Noir)V♣(Noir) 10 ♥ (Rouge) 9♠(Noir) 9 ♦ (Rouge)R♣(Noir)D♣(Noir)8 ♦ (Rouge)V ♥ (Rouge) 1 ♥ (Rouge)8♣(Noir) 10 ♦ (Rouge) 9♣(Noir)R ♥ (Rouge) 1 ♦ (Rouge)7♠(Noir)

D♥(Rouge)V♦(Rouge)7♦(Rouge)8♥(Rouge)R♦(Rouge) 7♣(Noir)1♠(Noir)R♠(Noir)1♣(Noir)8♠(Noir) 9 ♥ (Rouge)V♠(Noir)D♠(Noir)10♣(Noir)D ♦ (Rouge) 7 ♥ (Rouge)10♠(Noir)V♣(Noir) 10 ♥ (Rouge) 9♠(Noir) 9 ♦ (Rouge)R♣(Noir)D♣(Noir)8 ♦ (Rouge)V ♥ (Rouge) 1 ♥ (Rouge)8♣(Noir) 10 ♦ (Rouge) 9♣(Noir)R ♥ (Rouge) 1 ♦ (Rouge)7♠(Noir)

 Constitué de p symboles (p= alphabet)  Une suite de ces symboles se refermant sur elle-même  Un enchaînement de n symboles (n= longueur du facteur)  On appellera facteur de longueur n une suite de n symboles consécutifs apparaissant dans le mot.

A A A B B B ABBA, BBAB, BABA, ABAA, BAAB, AABB (facteurs de longueur 4)

 20 e siècle: Etude d’une famille de mots => Mots de « De Bruijn »  Propriétés: › Circulaire › n ≥ 2 › Alphabet de p symboles › Notation: B(p,n)

Mais il y a une particularité:  Chaque suite de p symboles et de longueur n ne se retrouve qu’une seule fois dans le mot circulaire  Le mot le plus court possible: p n

 Mot de « De Bruijn » de type B(2;3) › Alphabet = {A;B} › Facteur n=3 › AAA; AAB; ABB; BBB; BBA; BAB; ABA; BAA 8 facteurs de longueur 3 (8 = 2³ = p n ) A A AA B B B B

 Deux ensembles: › V = {v 1, v 2, v 3,…), les sommets › E = {e 1, e 2, e 3,…), les arcs  Exemple v3v3 v1v1 v2v2 e2e2 e1e1

MultigrapheGraphe biparti

v3v3 v1v1 v2v2 e2e2 e1e1

 But? Trouver le mot de « de Bruijn » B(p,n)  Comment? A partir du mot B(p,n-1), en faisant un graphe  Ce mot sera de longueur p n  Ici, on cherche B(2,5)

R1R

RR

RRR

RRRN

RRRNR

RRRNRN

RRRNRNN

RRRNRNNN

RRRNRNNNN

RRRNRNNNNR

RRRNRNNNNRN

RRRNRNNNNRNR

RRRNRNNNNRNRR

RRRNRNNNNRNRRN

RRRNRNNNNRNRRNN

RRRNRNNNNRNRRNNR

D♥(Rouge)V♦(Rouge)7♦(Rouge)8♥(Rouge)R♦(Rouge) 7♣(Noir)1♠(Noir)R♠(Noir)1♣(Noir)8♠(Noir) 9 ♥ (Rouge)V♠(Noir)D♠(Noir)10♣(Noir)D ♦ (Rouge) 7 ♥ (Rouge)10♠(Noir)V♣(Noir) 10 ♥ (Rouge) 9♠(Noir) 9 ♦ (Rouge)R♣(Noir)D♣(Noir)8 ♦ (Rouge)V ♥ (Rouge) 1 ♥ (Rouge)8♣(Noir) 10 ♦ (Rouge) 9♣(Noir)R ♥ (Rouge) 1 ♦ (Rouge)7♠(Noir)