Enveloppe convexe et triangulation de Delaunay Pauleau Jean Denis Roudaut Prigent Vidal Clément Tuteur: Jean Sequeira Master SIS Université de la méditerranée 2007 - 2008

SOMMAIRE I – Introduction II – Les différentes parties III – Conclusion

Sujet : Mettre en œuvre quelques algorithmes importants d’enveloppe convexe et de triangulation de Delaunay à la fois en 2D et en 3D.

Présentation générale Enveloppe convexe: L'enveloppe convexe d'un ensemble de points est l‘ensemble convexe le plus petit parmi ceux qui le contiennent. Exemple en 2D:

Les méthode existantes Enveloppe convexe Algorithme : Jarvis Le point le plus bas Basculement de demi droite Algorithme : Graham Un point intérieur (barycentre) Tri autour de ce point Parcours depuis le point le plus bas

Les méthode existantes Enveloppe convexe Algorithmes division fusion Mise en place d’un algorithme de ce type Autres types d’algorithme…

Présentation générale Triangulation de Delaunay: C’est l'unique triangulation telle qu'un cercle passant par les trois points d'un triangle ne contienne aucun autre point. Exemple 2D :

Les méthode existantes Triangulation de Delaunay Principe de la boule vide: Simplex Algorithmes a basculement d’arête : Triangulation de base Basculement des arrêtes qui ne fonctionnent pas

Les méthode existantes Triangulation de Delaunay Algorithmes incrémentaux : Hermeline / Watson  mise en place Ajout des points et basculement des arêtes au fur et a mesure

Les différentes parties

Différentes parties du projet Quatre grandes parties : Enveloppe convexe 2D Triangulation de Delaunay 2D Triangulation de Delaunay Surface Application sur un nuage de point 3D Triangulation de Delaunay 3D

Enveloppe convexe 2D Algorithme mis en place: Les étapes: Trie les points par x croissant Division en 2 parties Recherche de l'enveloppe convexe de chacune des parties Appel de cette fonction sur chaque parties On fusionne les deux partie pour avoir une enveloppe convexe

Enveloppe convexe 2D Algorithme mis en place: Division: On trie les points selon les x On divise chaque parties en 2 jusqu’à obtention de groupe de 2 ou 3 points

Enveloppe convexe 2D Algorithme mis en place: Fusion:

Enveloppe convexe 2D Résultat:

Triangulation de Delaunay 2D Algorithme mis en place: Algorithme incrémental ( Hermeline ) : Principe: Ajout de 4 points englobant  2 triangle

Triangulation de Delaunay 2D Algorithme mis en place: Algorithme incrémental ( Hermeline ) : Principe: Ajout de 4 points englobant  2 triangle Prise en compte d’un point: Remplacement du triangle contenant par trois triangle

Triangulation de Delaunay 2D Algorithme mis en place: Algorithme incrémental ( Hermeline ) : Principe: Ajout de 4 points englobant  2 triangle Prise en compte d’un point Test de la boule vide pour chaque triangle nouvellement créer

Triangulation de Delaunay 2D Algorithme mis en place: Calcul du cercle circonscrit: Centre : Intersection des médiatrices

Triangulation de Delaunay 2D Algorithme mis en place: Algorithme incrémental ( Hermeline ) : Principe: Ajout de 4 points englobant  2 triangle Prise en compte d’un point Test de la boule vide pour chaque triangle nouvellement créer Basculement d’arête si le critère n’est pas respecté

Triangulation de Delaunay 2D Résultat:

Triangulation de Delaunay 2D Difficultés rencontrés Suppression des quatre point englobant Solution: mise des points a l’infini

Triangulation de Delaunay Surface Applications a un nuage de points 3D Algorithme mis en place: Identique au précédent Sur un nuage de points 3D  projection sur le plan OXY Application de l’algorithme Visualisation en 3D Utilisation: Modélisation de terrain

Triangulation de Delaunay Surface Applications a un nuage de points 3D Résultat:

Triangulation de Delaunay 3D Algorithme mis en place: Algorithme incrémental (Watson): Le principe est le même que la triangulation en 2D avec une dimension de supérieur: Ajout de 4 points englobant  1 Tétraèdre englobant

Triangulation de Delaunay 3D Algorithme mis en place: Algorithme incrémental: Le principe est le même que la triangulation en 2D avec une dimension de supérieur: Ajout de 4 points englobant  1 tétraèdre englobant Prise en compte d’un point: Remplacement du Tétraèdre contenant par quatre Tétraèdre

Triangulation de Delaunay 3D Algorithme mis en place: Algorithme incrémental: Le principe est le même que la triangulation en 2D avec une dimension de supérieur: Ajout de 4 points englobant  1 tétraèdre englobant Prise en compte d’un point: Test de la boule vide pour chaque tétraèdre nouvellement créer

Triangulation de Delaunay 3D Algorithme mis en place: Calcul de la sphère circonscrite Cherche le centre du cercle circonscrit a une face du tétraèdre

Triangulation de Delaunay 3D Algorithme mis en place: Calcul de la sphère circonscrite Cherche le centre du cercle circonscrit a une face du tétraèdre Déplacement de ce point sur la normal à la face jusqu’à obtention du centre de la sphère

Triangulation de Delaunay 3D Algorithme mis en place: Algorithme incrémental: Le principe est le même que la triangulation en 2D avec une dimension de supérieur: Ajout de 4 points englobant  1 tétraèdre englobant Prise en compte d’un point: Test de la boule vide pour chaque tétraèdre nouvellement créer Basculement de face si le critère n’est pas respecté

Triangulation de Delaunay 3D Résultat:

Triangulation de Delaunay 3D Difficultés rencontrés Intériorité d’un point a un tétraèdre Orientation des faces Calcul de la boule vide Basculement de faces En cours Suppression des quatre points englobant

Conclusion Tâches réalisées : Points en suspens : Enveloppe convexe 2D Triangulation Delaunay 2D Triangulation Delaunay surface Triangulation Delaunay 3D En cours Points en suspens : Basculement de face Suppression des quatre points englobant

Merci de votre attention