Chapitre 3: Translation et Vecteurs A. LATRAYE Seconde

Introduction

I-Translation et Vecteurs associés 1)Définitions Observation : Une translation est un glissement : - Définition : On considère deux points A et B du plan. On appelle …………….. qui transforme A en B la transformation qui, à tout point M du plan, associe l’unique point M’ tel que …………………………………

I-Translation et Vecteurs associés Propriété : On considère quatre points A,B,C et D Dire que la translation qui transforme A en B transforme C en D équivaut à dire que…………………. Définition : Vecteurs associés A chaque translation est associé un vecteur. Pour A et B deux points, le vecteur ………… est associé à la translation qui transforme A en B La notation « vecteur AB » regroupe les trois informations la définissant : - -  Remarque : La longueur d’un vecteur est aussi appelée ……………………..

I-Translation et Vecteurs associés 2.Egalité de vecteurs Définition : Les vecteurs ……… et……… sont égaux lorsqu’ils ont …………………..   On note…………… Propriété : du parallélogramme Soit A, B, C et D quatre points deux à deux distincts. Dire que les vecteurs …… et ……… sont égaux revient à dire que le quadrilatère ABDC est ……………………………………. Exemple : Placer trois points A,B et C non alignés. Construire le point D tel que CD=AB

I-Translation et Vecteurs associés Remarque : Il existe une infinité de vecteurs associés à une translation. Ils sont tous égaux Le vecteur choisi pour définir la translation est un ……………… de tous ces vecteurs La translation ne dépend pas du représentant choisi pour la définir. On le note souvent ………

I-Translation et Vecteurs associés 3. Vecteur nul Définition : Un vecteur…………. est nul lorsque les points A et B ……………... On note : …………. Remarque : Pour tout point M, on a …………………

II-Opérations sur les vecteurs. Activité 2 : Construire la somme de deux vecteurs

II-Opérations sur les vecteurs. 2. Somme de vecteur Exemple : Soit t1 la translation de vecteur u et t2 est la translation de vecteur v Appliquer la translation t1 puis la translation t2 : Revient à appliquer la translation t de vecteur w

II-Opérations sur les vecteurs. Définition : 𝑢 et 𝑣 sont deux vecteurs quelconques. On appelle sommedes vecteurs … et…….. , notée……..;, le vecteurassocié à la translation ……………………………………………………………

II-Opérations sur les vecteurs. Exemple:

II-Opérations sur les vecteurs.  3. Relation fondamentale   Propriété :La relation de Chasles : Pour tous points A, B et C du plan, on a : Michel Chasles: Mathématicien français 1783-1880

II-Opérations sur les vecteurs. Exemples: Simplifier les écritures :

II-Opérations sur les vecteurs. 4. Conséquence   Propriété : caractéristique du parallélogramme  Dire que ABCD est un parallélogramme revient à dire que…………………………………………………….

II-Opérations sur les vecteurs. 5. Vecteurs Opposés Définition : On appelle vecteurs opposés tout vecteurs 𝑢 et 𝑣 tels que ……………………………… On peut noter …………ou ……… D’après la relation de Chasles, 𝐴𝐵 + 𝐵𝐴 =……………… On a alors la propriété suivante : Propriété : Les vecteurs 𝐴𝐵 𝑒𝑡 𝐵𝐴 sont des vecteurs opposés. On a donc………………………………………

II-Opérations sur les vecteurs. 6. Multiplication d’un vecteur par un nombre réel Définition : Soit 𝑢 = 𝐴𝐵 un vecteur non nul et k un réel non nul, on définit le vecteur 𝑣 =𝑘 𝑢 = 𝐴𝐶 par : - A, B et C sont alignés - si k>0, AC=kAB et B et C sont du même côté par rapport à A - si k<0, AC=-kAB et B et C sont de part et d’autre de A

II-Opérations sur les vecteurs. Exemple: Propriété :Quels que soient les vecteurs 𝑢 , 𝑣 et les réels 𝑘 et 𝑙, on a:𝑘 𝑢 + 𝑣 =𝑘 𝑢 +𝑘 𝑣 𝑘+𝑙 𝑢 =𝑘 𝑢 +𝑙 𝑢 𝑘 𝑢 =0 k=0 ou 𝑢 = 0

III- Coordonnées d’un vecteur Définition : Soit (O,I,J) un repère. On notera 𝑖 = 𝑂𝐼 et 𝑗 = 𝑂𝐽 et on pourra parler du repère (O, 𝑖 , 𝑗 ) Schéma:

III- Coordonnées d’un vecteur Définition : Soit M un point quelconque d’un repère ……… et un vecteur ……………..tel que : …………………………… Les coordonnées du vecteur……. sont les ………………………………..   Si M(x, y), on note ……………………

III- Coordonnées d’un vecteur Propriétés : Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ces vecteurs ont les même coordonnées. Exemple: Déterminer les coordonnées d’un vecteur par lecture graphique

III- Coordonnées d’un vecteur Propriété : Soit A et B deux points de coordonnées………….. et ………………;dans un repère …………. Le vecteur ……………. a pour coordonnées …………….

III- Coordonnées d’un vecteur Exemple: Déterminer les coordonnées d’un vecteur par calcul Retrouver les coordonnées des vecteurs par le calcul.

III- Coordonnées d’un vecteur