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Le vendredi 2 avril Cours de statistiques à 9h45 Contrôle continu d’algèbre 11h30 - 12h15 Pas de TD

Le plan des cours d’algèbre ‘Etude des phénomènes structurés en classes’ Introduction aux matrices : exemples en dynamique de population Les espaces vectoriels, les bases et les matrices : définitions et opérations Les matrices pour résoudre des systèmes linéaires Diagonalisation d’une matrice : applications en dynamique de population et en génétique Normes et distances

Vecteurs de IRn Un point (a , b) peut s’interpréter comme un point de IR2 ou un vecteur qui va de l’origine à ce point y x a b (0,0)

Vecteurs et matrices Un vecteur est une colonne de réels Une matrice est un tableau de réels

Représentation graphique d’un système linéaire On lit sur le graphe : la solution du système est le point (x , y) = (4 , 2)

Représentation graphique d’un système linéaire Question : Combien de solutions un système linéaire a-t-il ? Une solution unique

Représentation graphique d’un système linéaire Question : Combien de solutions un système linéaire a-t-il ? y x 1 Une infinité de solutions … on n’a pas assez d’informations

Représentation graphique d’un système linéaire Question : Combien de solutions un système linéaire a-t-il ? y x 1 Pas de solution

Représentation graphique d’un système linéaire Question : Combien de solutions un système linéaire a-t-il ? Une solution unique …on n’a plus d’information que nécessaire

Représentation graphique d’un système linéaire Question : Combien de solutions un système linéaire a-t-il ? Pas de solution …on a des informations incohérentes

Un système linéaire peut s’écrire sous forme matricielle Les lignes de la matrice correspondent aux lignes du système linéaire

Résoudre les systèmes linéaires Un éleveur de bovins dispose en hiver de deux aliments (foin, farine) qui contiennent chacun deux éléments nutritifs indispensables (A, B) selon le tableau suivant (unités arbitraires) : 5 2 B 1 3 A   Farine   Foin   Chaque animal doit quotidiennement disposer de 7 unités de A, 9 unités de B. Quelles sont les doses de foin et de farine que doit fournir l'éleveur à chaque bovin ?

On pose x = nombre de doses de foin y = nombre de doses de farine 5 2 B 1 3 A   Farine   Foin   On pose x = nombre de doses de foin y = nombre de doses de farine l’éleveur veut donner x + y doses de foin et de farine. Donc il va donner 3 x + y unités du nutriment A et 2 x + 5 y de B Or, chaque animal doit quotidiennement disposer de 7 unités de A, 9 unités de B Donc

Ecrire sous forme matricielle... y x 2 3x + y = 7 2x + 5y = 9 Il y a une seule solution : (x , y) = (2 , 1)

Résolution pratique a. Par combinaison de lignes et de colonnes. b. Par inversion de matrice. c. Par la méthode de Cramer (MathSV).

a. Par combinaison de lignes et de colonnes. - Multiplier la première ligne par 5 15x + 5y = 35 - Soustraire les deux lignes 13x + 0 = 26 donc x = 2 -Remplacer dans la première ligne donne y = 1

b. Par inversion de matrice. Si son déterminant est non nul, alors la matrice A est inversible et il existe une solution unique

b. Par inversion de matrice.

Recherche des solutions d’un système (S) (S) admet une solution unique si et seulement si A est inversible (c’est-à-dire det(A) non nul) : Sinon (S) admet soit 0 solution, soit une infinité de solutions.

Le lien entre les systèmes linéaires et les applications Et si l’éleveur veut changer les doses des différents aliments (on avait x = 2 doses de foin et y = 1 dose de farine) ? alors il va obtenir des quantités différentes des aliments nutritifs A et B : alors 11 unités du nutriment A et 16 du B 2 si

L’éleveur décide des doses de foin et farine et veut connaître les quantités de nutriments A et B : (7 , 9) ou (11 , 16) Les doses de foin et farine : (2 , 1) ou (3 , 2) y x

L’éleveur décide des doses de foin et farine et veut connaître les quantités de nutriments A et B : y x La matrice du système linéaire associe à tout point de gauche un point IMAGE à droite

Les lignes restent des lignes, l’origine (0,0) reste (0,0) : La matrice du système linéaire associe à tout point de gauche un point IMAGE à droite y x Les lignes restent des lignes, l’origine (0,0) reste (0,0) : c’est une application LINEAIRE !

Matrice d’une application linéaire Les colonnes de la matrice sont les images des vecteurs de la base canonique f(1 , 0) = ? et f(0 , 1) = ?

Matrice d’une application linéaire Les colonnes de la matrice sont les images des vecteurs de la base canonique f(1 , 0) = (3 , 2) et f(0 , 1) = (1 , 5).

Opérations

Théorème Une application linéaire f est bijective si et seulement si sa matrice associée relativement à deux bases quelconques Mf est inversible. On rappelle qu’une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est NON nul.

Les matrices et les changements de base

Chagement de base dans IR2 y x (0,0) (2,2) dans B (2,0) dans B’

Chagement de base dans IR2 Comment passer des coordonnées (x , y) aux coordonnées (x’, y’) ?

Chagement de base dans IR2 On écrit les coordonnées des vecteurs de la nouvelle base dans l’ancienne base : donc

Chagement de base dans IR2 On écrit les coordonnées des vecteurs de l’ancienne base dans la nouvelle base : Les colonnes de la matrice P = les coordonnées de la nouvelle base dans l’ancienne base Les lignes de la matrice P = les lignes du système

Changement de base pour un vecteur “Les anciennes coordonnées” = P x “les nouvelles coordonnées” P la matrice de passage de B à B’est aussi la matrice de l’application identité de B’dans B : P : B’ B x’ x Donc x = Px’ P est la matrice de passage

Changement de base pour une application linéaire Exemple : P la matrice de passage de B à B’est aussi la matrice de l’application identité de B’dans B : P : B’ B x’ x Donc x = Px’

Changement de base pour une application linéaire Si f est un endomorphisme de E, f : E  E, alors P = Q : Exemple : P la matrice de passage de B à B’est aussi la matrice de l’application identité de B’dans B : P : B’ B x’ x Donc x = Px’ On dit que les matrices et sont semblables.

Application à la dynamique de population

Hirondelle de cheminée (MathSV série 3 pb 2) Deux classes d’individus : 1 an (fécondité moyenne = 3 juvéniles par femelle) 2 ans ou plus (fécondité moyenne = 6 juvéniles par femelle) 20 % des juvéniles atteignent l’âge d’1 an La survie des oiseaux de 1 an est de 0,49, celle des oiseaux de 2 ans ou plus est de 0,66 La sex ratio est de 0,5. 0,49 : 49 % survivent Sex ratio une femelle pour un male

On compte les individus juste avant les naissances * Juvénile = 0 à 1 an 1 an = 1 à 2 ans 2 ans et plus = 2, 3, 4 … ans 1 an 2 ans ou plus Printemps été-automne-hiver Printemps Reproduction Survie Reproduction *

Système récurrent linéaire Juvénile = 0 à 1 an 1 an = 1 à 2 ans n1t 2 ans et plus = 2, 3, 4 … ans n2t Ecriture matricielle ... lignes du système = lignes de la matrice

Système récurrent linéaire Que devient cette population à long terme (elle augmente, diminue, reste stable) ?

La puissance d’une matrice Il est plus facile de calculer la puissance d’une matrice diagonale : Calculer D3

La puissance d’une matrice DIAGONALE

Diagonalisation d’une matrice On cherche un changement de base tel que P-1MP=D M = ? Mt = ?

Diagonalisation d’une matrice On cherche un changement de base tel que P-1MP=D Alors P P-1 M P P-1 = P D P-1 donc M = P D P-1 Mt = (P D P-1)t = (P D P-1)( P D P-1 )( P D P-1 ) … ( P D P-1) = P D D D … D P-1 car P-1 P D = I D = D Mt = P Dt P-1

Diagonalisation d’une matrice On cherche un changement de base tel que P-1MP=D - Chercher les vecteurs {N} et les valeurs {l} tels que M N = l N La matrice de passage P se construit à partir de ces vecteurs Les éléments diagonaux de D sont les valeurs {l}

Diagonalisation d’une matrice On cherche un changement de base tel que P-1MP=D - Chercher les vecteurs {N} et les valeurs {l} tels que M N = l N La matrice de passage P se construit à partir de ces vecteurs Les éléments diagonaux de D sont les valeurs {l} Pourquoi ? Comment calculer {N} et {l} Quelle interprétation biologique ?

Exemple en dynamique de populaiton Q1 Quel est le taux d’accroissement de cette population ? Est-il constant comme dans toute croissance exponentielle ? Q2 “La structure en âge” est-elle stable ? Au bout d’un certain temps, le rapport des deux classes d’âge se stabilise :