Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Mélanges de cartEs

Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) 1.Le problème 2.Les premières manipulations et Les premières propriétés 3.L’outil informatique 4.Les observations 5.Les propriétés 6.conclusion SOMMAIRE

Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Le problème Un paquet de 16 cartes dans les mains … On mélange …

Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Le problème Un paquet de 16 cartes dans les mains … On mélange …

Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Le problème Un paquet de 16 cartes dans les mains … On mélange …

Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Le problème Un paquet de 16 cartes dans les mains … On mélange …

Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Le problème Un paquet de 16 cartes dans les mains … On mélange …

Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Le problème Un paquet de 16 cartes dans les mains … On mélange …

Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Le problème Un paquet de 16 cartes dans les mains … On mélange …

Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Le problème Un paquet de 16 cartes dans les mains … On mélange …

Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Le problème On regarde les cartes … Avant le mélange :Après le mélange : L’ordre a changé…

Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Le problème On recommence …

Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Le problème Les questions : 1)Au bout de 4 coups, il semble qu’on revienne à réordonner les cartes, est-ce que ça marche avec n’importe quel paquet de cartes ? 2) Peut-on prévoir le nombre de coups pour revenir à l’ordre initial avec un paquet de 4, 6, 10, 72, n cartes ? 3) Et si on change de mélange, est-on sûr de revenir à l’ordre initial ?

Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Premières manipulations… … premières propriétés Après DE NOMBREUX ESSAIS et un premier échange entre les deux collèges, On met en évidence : - nous ne faisons pas tous le même mélange ! ( certains posaient le paquet du haut sur celui du bas et d’autres le contraire … ) - et nos résultats ne concordaient pas ! On tombe d’accord sur : - Pour 4, 6, 12, … 20 cartes, que ce soit avec leur mélange ou le nôtre, on revient à l’ordre initial ( mais pas forcément avec le même nombre de coups) - Pour 16 cartes, avec le « bon » mélange,au bout de 4 coups, on revient à l’ordre inverse. Il en faut 8 pour revenir à l’ordre initial.

Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Premières manipulations… … premières propriétés Bilan de la rencontre : Propriété 1 : Lorsqu’on trouve l’ordre inverse, en multipliant par 2 le nombre de coups réalisés pour arriver à cet ordre, cela donnera le nombre de coups nécessaires pour revenir à l’ordre initial. Décisions : - on repart tous sur le même mélange - on essaye d’utiliser un tableur pour pallier les erreurs de manipulations et comptage

Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) L’outil informatique Premières simulations : Ordre inverse Avec 4 cartes : Avec 16 cartes : 1 er coup 2 ème coup 3 ème coup 1 er coup 3 ème coup 4ème coup 4éme coup 2 ème coup

Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) L’outil informatique Programmation du tableur :

Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) L’outil informatique Programmation du tableur : On note : en 3 coups, retour à l’ordre initial

Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) L’outil informatique Enfin des résultats ! Nombre de cartes Nombre de coups Nombre de cartes Nombre de coups

Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) L’outil informatique Encore des résultats ! cartes coups

Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Les observations cartes coups Il faut seulement 3 coups pour 8 cartes, 4 pour 14, et 8 pour 50 ! Alors qu’il en faut 20 pour 40 !

Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Les observations - pas de règle sur les pairs-impairs successifs … - pas de règle sur 8 cartes, 3 coups, et 16 cartes, 8 coups ( on aurait pu s’attendre à avoir 6 coups..) Conclusion : Il est difficile de prévoir le nombre de coups suivant le nombre de cartes du paquet cartes coups

Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Les observations Différentes simulations nous permettent de retrouver certaines observations faites lors de nos premières manipulations : Au bout de 4 coups, on arrive à l’ordre inverse…… 4 coups plus tard on retrouve l’ordre initial.

Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Les observations On rencontre l’ordre inverse seulement sur les paquets de : 4, 6, 8, 12, 16, 30 et 40 cartes pas de règle établie…

Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Les propriétés Retour à la question : Est-ce qu’on est sûr de revenir à l’ordre initial - avec le type de mélange choisi - avec n’importe quel autre mélange ?

Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Les propriétés Avec 4 cartes, combien de mélanges différents ? seules les cartes 2 et 3 bougenttoutes les cartes ont bougé

Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Les propriétés Quelques mélanges INTÉRESSANTS : Ne mélange rien !À l’envers ! Presque le nôtre !Le nôtre ! Des décalages … pas vraiment des mélanges

Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Les propriétés On trouve qu’il y a 24 façons de mélanger 4 cartes : - il y a 4 places possibles pour poser la première carte - une fois la première carte placée, il reste 3 places pour la seconde - une fois la seconde placée il reste 2 places pour la troisième - une fois la troisième placée il reste 1 seule place pour la quatrième : 4 x 3 x 2 x 1 = 24 Nos Essais :

Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Les propriétés Un raisonnement identique nous permet d’écrire : - Pour 5 cartes, il y a 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 mélanges possibles - Pour 6, il y a 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 mélanges possibles -… - Pour 16 cartes, il y a 16 x 15 x 14 x 13 x … x 3 x 2 x 1 = mélanges possibles - etc.

Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Les propriétés Propriété 2 : Pour n cartes il y a n x ( n – 1 ) x ( n – 2 ) x ………x 1 mélanges possibles Propriété 3 : Quel que soit le mélange choisi, et le nombre de cartes du paquet, on reviendra toujours à l’ordre initial, on sera au pire passé par toutes les positions possibles des cartes.

Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) CONCLUSION On peut prévoir le nombre de mélanges différents pour un nombre de cartes donné. On sait qu’on reviendra toujours à l’ordre initial, par contre, on n’a pas trouvé comment prévoir le nombre de coups pour revenir à la situation initiale pour un nombre de cartes donné… La recherche continue…

Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Alaya Yannis, Arbogast Clémence, Jouanna Manon, Faure Anne-Sophie, LeclercqMarta, Morice Léa. Avec l’aide du chercheur Xavier Buff