TNS et Analyse Spectrale I. Le DSP : Introduction II. La Transformée de Fourier Discrète III. La Transformée de Fourier Rapide IV. Analyse Spectrale de Signaux Aléatoires V. Méthodes Classiques d ’estimation de la DSP VI. Estimation spectrale paramétrique Le plan de l’exposé se compose de cinq parties principales : 1. Tout d’abord le problème qui nous a été proposé par la DCN Saint-Tropez sera présenté. Le principe ainsi que les caractéristiques du brouilleurs intelligent seront développés. On mettra en évidence la nécessité d ’un traitement non linéaire des donnés. Ce qui nous amène à la seconde partie de l ’exposé, c ’est à dire l ’identification non linéaire.

VI. Estimation spectrale paramétrique 1) Identification paramétrique - Les méthodes classiques d ’estimation spectrale basées sur la Transformée de Fourier, consistent à bâtir des estimateurs simples et point à point de la fonction d ’autocorrélation ou de la DSP. - Les performances « médiocres » sont améliorées ensuite par moyennage et lissage des estimateurs. - L ’inconvénient de ces méthodes est qu ’elles ne font pas d ’hypothèse sur le signal et qu ’elles ne réduisent pas l ’information disponible. - Les méthodes classiques peuvent être appliquées en premier lieu puis complétées par des méthodes paramétriques basées sur un modèle paramétrique des données. - Les méthodes paramétriques ajustent un modèle a priori aux données observées puis réalisent l ’analyse spectrale. Les paramètres du modèle, peu nombreux, caractérisent le signal. La procédure d ’ajustement du modèle s ’appelle l ’identification paramétrique. L ’analyse spectrale est obtenue à partir des paramètres du modèle. - Les modèles paramétriques les plus classiques s ’appellent AR, MA et ARMA. La torpille émet un signal, ce signal est réfléchi par le bâtiment de surface. A partir du signal retour, la torpille est capable de déterminer la position du bâtiment. Dans le cadre d’un brouilleur on cherchera donc à perturbe ce signal retour. Dans le cas ou la torpille possède un système permettant de détecter un signal de brouillage elle modifie alors les caractéristiques de son signal. Notre but est d ’estimer ces caractéristiques afin d’émettre un signal de brouillage différents. La transmission du signal brouilleur entre l ’émetteur et le récepteur n ’est pas linéaire, il faudra donc utiliser des méthodes de traitement du signal non linéaire. Par la suite le signal sk sera le signal utile ou signal torpille xk la séquence d ’entrée yk la séquence d ’observation F la fonction non linéaire

VI. Estimation spectrale paramétrique Modèle paramétrique xe(k) Analyse Spectrale - Critère de ressemblance + b(k) x(k) Système Identification paramétrique Estimation spectrale - Les avantages de l ’identification paramétrique sont : - vérification possible du modèle a posteriori - prédiction des données futures - représentation avec quelques paramètres seulement - transmission possible de ces paramètres et non des données - les inconvénients de l ’identification paramétrique sont : - pas d ’entrée du système d ’où un choix de bruit blanc en entrée - pertinence du modèle choisi - choix du critère de ressemblance La torpille émet un signal, ce signal est réfléchi par le bâtiment de surface. A partir du signal retour, la torpille est capable de déterminer la position du bâtiment. Dans le cadre d’un brouilleur on cherchera donc à perturbe ce signal retour. Dans le cas ou la torpille possède un système permettant de détecter un signal de brouillage elle modifie alors les caractéristiques de son signal. Notre but est d ’estimer ces caractéristiques afin d’émettre un signal de brouillage différents. La transmission du signal brouilleur entre l ’émetteur et le récepteur n ’est pas linéaire, il faudra donc utiliser des méthodes de traitement du signal non linéaire. Par la suite le signal sk sera le signal utile ou signal torpille xk la séquence d ’entrée yk la séquence d ’observation F la fonction non linéaire

VI. Estimation spectrale paramétrique 2) Modèles paramétriques ARMA - Un modèle ARMA (autoregressive moving average) est un filtre discret linéaire invariant et causal de fonction de transfert H(z) entre l ’entrée x(k) et la sortie y(k) : - d ’où l ’équation récurrente générale (a0=1) du modèle ARMA : - dans le cas où q=0, on a un modèle tout pôle, appelé modèle AR (autorégressif) ou filtre RII (réponse impulsionnelle infinie) en filtrage numérique : - dans le cas où p=0, on a un modèle tout zéro, appelé modèle MA (moyenne glissante sur les échantillons d ’entrée) ou filtre RIF (réponse impulsionnelle finie) en filtrage numérique : La torpille émet un signal, ce signal est réfléchi par le bâtiment de surface. A partir du signal retour, la torpille est capable de déterminer la position du bâtiment. Dans le cadre d’un brouilleur on cherchera donc à perturbe ce signal retour. Dans le cas ou la torpille possède un système permettant de détecter un signal de brouillage elle modifie alors les caractéristiques de son signal. Notre but est d ’estimer ces caractéristiques afin d’émettre un signal de brouillage différents. La transmission du signal brouilleur entre l ’émetteur et le récepteur n ’est pas linéaire, il faudra donc utiliser des méthodes de traitement du signal non linéaire. Par la suite le signal sk sera le signal utile ou signal torpille xk la séquence d ’entrée yk la séquence d ’observation F la fonction non linéaire - On appelle processus ARMA(p,q) un signal aléatoire obtenu par filtrage d ’un bruit blanc par un modèle ARMA.

VI. Estimation spectrale paramétrique - DSP du processus ARMA(p,q) : - La DSP d ’un processus ARMA(p,q) est entièrement déterminée par la variance du bruit blanc d ’entrée, les p paramètres ai et les q paramètres bi. - On discrétise la fréquence f et on utilise la FFT pour calculer H(f). - DSP du processus AR(p) : - Dans la suite on considèrera b0=1 et on modélisera les données par un processus AR(p). La torpille émet un signal, ce signal est réfléchi par le bâtiment de surface. A partir du signal retour, la torpille est capable de déterminer la position du bâtiment. Dans le cadre d’un brouilleur on cherchera donc à perturbe ce signal retour. Dans le cas ou la torpille possède un système permettant de détecter un signal de brouillage elle modifie alors les caractéristiques de son signal. Notre but est d ’estimer ces caractéristiques afin d’émettre un signal de brouillage différents. La transmission du signal brouilleur entre l ’émetteur et le récepteur n ’est pas linéaire, il faudra donc utiliser des méthodes de traitement du signal non linéaire. Par la suite le signal sk sera le signal utile ou signal torpille xk la séquence d ’entrée yk la séquence d ’observation F la fonction non linéaire - dans le cas où b0=1, la réponse impulsionnelle h(k) est donnée par :

VI. Estimation spectrale paramétrique 3) Analyse spectrale AR - La modélisation AR est la plus utilisée en analyse spectrale paramétrique à cause de sa simplicité. - Les paramètres ai sont estimés par résolution d ’un système linéaire d ’équations dites de Yule-Walker concernant les fonctions de corrélation entre l ’entrée b(k) et la sortie y(k). - en partant de l ’équation générale du modèle AR et b0=1 : - d ’où l ’équation récurrente avec a0=1 : - dans le cas où k>0, la sortie à l ’instant n ne dépend pas de l ’entrée à l ’instant n+k et Ryb(k)=0. - pour k=0, Ryb(0)=sb2. - On peut écrire un système d ’équations pour k=1 à p, pour estimer les p paramètres ai et une équation supplémentaire pour k=0 afin d ’obtenir une estimation de la variance sb2. La torpille émet un signal, ce signal est réfléchi par le bâtiment de surface. A partir du signal retour, la torpille est capable de déterminer la position du bâtiment. Dans le cadre d’un brouilleur on cherchera donc à perturbe ce signal retour. Dans le cas ou la torpille possède un système permettant de détecter un signal de brouillage elle modifie alors les caractéristiques de son signal. Notre but est d ’estimer ces caractéristiques afin d’émettre un signal de brouillage différents. La transmission du signal brouilleur entre l ’émetteur et le récepteur n ’est pas linéaire, il faudra donc utiliser des méthodes de traitement du signal non linéaire. Par la suite le signal sk sera le signal utile ou signal torpille xk la séquence d ’entrée yk la séquence d ’observation F la fonction non linéaire

VI. Estimation spectrale paramétrique - si y(k) est réel, la fonction d ’autocorrélation est paire et - la matrice d ’autocorrélation R est symétrique, de Toeplitz (les éléments diagonaux sont égaux) et définie positive. - On peut résoudre ce système d ’équations grâce à l ’algorithme de Gauss, mais on utilisera l ’algorithme de Levinson qui utilise la structure de Toeplitz de la matrice R. - On en déduit la DSP grâce à : La torpille émet un signal, ce signal est réfléchi par le bâtiment de surface. A partir du signal retour, la torpille est capable de déterminer la position du bâtiment. Dans le cadre d’un brouilleur on cherchera donc à perturbe ce signal retour. Dans le cas ou la torpille possède un système permettant de détecter un signal de brouillage elle modifie alors les caractéristiques de son signal. Notre but est d ’estimer ces caractéristiques afin d’émettre un signal de brouillage différents. La transmission du signal brouilleur entre l ’émetteur et le récepteur n ’est pas linéaire, il faudra donc utiliser des méthodes de traitement du signal non linéaire. Par la suite le signal sk sera le signal utile ou signal torpille xk la séquence d ’entrée yk la séquence d ’observation F la fonction non linéaire

VI. Estimation spectrale paramétrique » N=2048;A1=1;A2=1;A3=0.01;f1=0.1;f2=0.11;f3=0.3;k=[0:N-1]; » x=A1*cos(2*pi*f1*k)+A2*cos(2*pi*f2*k)+A3*cos(2*pi*f3*k); » x=x+1.*randn(1,N); Tracer la DSP du signal x(k) » r=xcorr(x, ’biased ’);p=6;r=r(N:N+p);A = levinson(r,p) ou lpc(x,p) A = 1.0000 -0.1613 -0.0279 0.1511 0.2387 0.2309 0.1544 sig2=A*r; [H,W] = freqz(sig2,A,128);P=abs(H).^2;plot(W/2/pi,P/max(P)) Signal DSP classique DSP paramétrique 500 1000 1500 2000 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 ech. amp tracé des 3 sinusoides bruitées 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 50 100 150 200 250 300 350 400 freq. red. amp DSP des 3 sinusoides bruitées 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 freq red. amp. DSP estimee par le modèle AR La torpille émet un signal, ce signal est réfléchi par le bâtiment de surface. A partir du signal retour, la torpille est capable de déterminer la position du bâtiment. Dans le cadre d’un brouilleur on cherchera donc à perturbe ce signal retour. Dans le cas ou la torpille possède un système permettant de détecter un signal de brouillage elle modifie alors les caractéristiques de son signal. Notre but est d ’estimer ces caractéristiques afin d’émettre un signal de brouillage différents. La transmission du signal brouilleur entre l ’émetteur et le récepteur n ’est pas linéaire, il faudra donc utiliser des méthodes de traitement du signal non linéaire. Par la suite le signal sk sera le signal utile ou signal torpille xk la séquence d ’entrée yk la séquence d ’observation F la fonction non linéaire

VI. Estimation spectrale paramétrique Tracer la DSP du signal x(k) en faisant varier le nombre de paramètres » r=xcorr(x, ’biased ’);p=40 ou 80 ou 160;r=r(N:N+p);A = levinson(r,p); sig2=A*r; [H,W] = freqz(sig2,A,128);P=abs(H).^2;plot(W/2/pi,P/max(P)) amp. 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 freq red. DSP paramétrique, p=40 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 freq red. amp. DSP paramétrique, p=80 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 freq red. amp. DSP paramétrique, p=160 La torpille émet un signal, ce signal est réfléchi par le bâtiment de surface. A partir du signal retour, la torpille est capable de déterminer la position du bâtiment. Dans le cadre d’un brouilleur on cherchera donc à perturbe ce signal retour. Dans le cas ou la torpille possède un système permettant de détecter un signal de brouillage elle modifie alors les caractéristiques de son signal. Notre but est d ’estimer ces caractéristiques afin d’émettre un signal de brouillage différents. La transmission du signal brouilleur entre l ’émetteur et le récepteur n ’est pas linéaire, il faudra donc utiliser des méthodes de traitement du signal non linéaire. Par la suite le signal sk sera le signal utile ou signal torpille xk la séquence d ’entrée yk la séquence d ’observation F la fonction non linéaire