Introduction aux modèles de Majorons Workshop sur les neutrinos GPP printemps-été 2003 Véronique Pagé

Introduction - Remarques Le sujet de cette présentation est l’inclusion d’une masse de neutrino dans le Modèle Standard et le rôle du Majoron dans ceci; on verra que le Majoron est un boson de Goldstone qui apparaît suite à la brisure spontanée (globale) du nombre leptonique, nombre qui ne peut plus être conservé dès lors qu’on introduit une masse de Majorana pour le neutrino. Tous les développements sont faits avec 1 seule génération de neutrino; évidemment ils se généralisent à 3 générations Le mot « introduction » dans le titre de la présentation a été choisi pour 2 raisons : cette présentation ne couvre pas la totalité du sujet et elle n’a pas été réalisée par un expert du domaine!

m  m(  L  R +  R  L ) Le terme de masse d’un fermion de Dirac s’écrit comme: Le terme de masse d’un fermion de Majorana s’écrit comme m  C  m((  L C )  L + (  R C )  R ) Rappel: neutrino de Dirac et neutrino de Majorana et donc il nécessite l’existence des parties gauche et droite du fermion et donc il peut être écrit pour un fermion qui n’est que gauche ou que droit. Par contre, seuls les fermions non-chargés peuvent répondre à la condition de Majorana (être sa propre anti-particule, c’est-à-dire être tel que  C = ,  C étant le conjugué de charge de  ). On peut voir équivalemment que  C et  créent tous les deux des fermions, et donc un fermion chargé donne un terme de masse de Majorana qui n’est pas un singulet de charge.

Le neutrino du MS est sans masse et gauche seulement. Si on veut ajouter une masse, on a 2 choix: masse de Dirac: nouvelle physique : ajout du neutrino droit (singulet de SU(2) L comme e R ) masse de Majorana: nouvelle physique : violation du nombre L / couplage Yukawa avec Higgs inconnu Inclusion du neutrino massif dans le MS M ( L R + h.c) et m R ( R C ) R ) + h.c.m L ( L C ) L ) + h.c.

Inclusion du neutrino massif dans le MS Pourquoi un terme de masse de Majorana viole-t-il le nombre leptonique? Comme  et  C créent tous les deux des fermions, si  porte un certain nombre quantique, le terme de masse de Majorana porte 2 fois ce nombre quantique: un porte un nombre leptonique de 1: sa masse de Majorana porte 2 => le terme de masse viole la conservation du nombre leptonique un L porte un isospin faible de 1/2 ; sa masse de Majorana porte 1 => ( L C) L ne peuvent pas se coupler au doublet de Higgs => le couplage Yukawa avec le Higgs connu ne permet pas d ’écrire une masse de Majorana

Dans le MS, les leptons se couplent au Higgs par un Lagrangien de Yukawa. Pour 1 génération, on a: où  est le Higgs, un doublet de SU(2) L. Lorsque le Higgs acquière un vev , on peut faire le remplacement: L Y = f (e ) ( l L  ) e R + h.c.   2 -1/2  Ceci, remplacé dans L Y, donne leur masse aux leptons: L Y = f (e)  ee 2 1/2 Les neutrinos, bien que faisant partie du Lagrangien Yukawa, n’acquièrent pas de masse parce que le couplage du Higgs aux leptons ne couple que les parties gauches avec les droites, et que les neutrinos n’ont pas de partie droite. Rappel: masse des leptons dans le MS

On a donc les possibilités suivantes: avec R sans R masse de Majorana masse de Dirac seulement masse de Dirac et masse de Majorana couplage Yukawa avec Higgs du MS couplage Yukawa avec Higgs du MS et nouveau couplage (nouveau(x) Higgs) violation du nombre leptonique nouveau couplage (nouveau(x) Higgs) violation du nombre leptonique Inclusion du neutrino massif dans le MS masse de 

Cas avec R, masse de Dirac seulement: Inclusion du neutrino massif dans le MS On ajoute au MS un R, singulet de SU(2) L ; on peut alors écrire son Lagrangien de Yukawa exactement comme pour e R : L Y = f (e) (l L  )e R + f ( ) (l L  ) R + h.c.  Pour avoir m < m e, on doit avoir f (e) < f ( ), mais on s’explique mal pourquoi il faudrait avoir des constantes de couplage aussi différentes pour 2 éléments d’un même doublet (ce qu’on a pas, par ex., dans le doublet (u,d)). On préfère donc inclure un (des) neutrino(s) de Majorana; il faut donc briser la conservation du nombre leptonique

Rappel: brisure de symétrie globale [1] On a un Lagrangien L décrivant un champ , dont le nombre d ’états du vide est infini. Par exemple avec le potentiel « mexican hat » (sombrero?) : L =    t    V(  t  ) où V(  t  ) = m 2 [  t       2    les états du vide se trouvent sur un cercle |  | =  0. Le Lagrangien possède une symétrie U(1) globale,  e -i  , L L, pour tout  réel. Si on fixe (  0,0) comme état du vide, on brise la symétrie U(1). On développe  en série autour de (  0,0),  ½ (  + i  ) et on remplace dans le Lagrangien, pour obtenir: L = ½    t    ½    t    m 2 [2½  0  +  2 +  2 ] 2 2    On obtient alors un boson sans masse (  ). On appelle boson de Goldstone le boson sans masse qui apparaît toujours suite à une brisure de symétrie globale.

Rappel: brisure de symétrie locale On considère cette fois un potentiel invariant sous une transformation locale de jauge  e -iq  x) . Il faut alors introduire un champ de jauge (sans masse ) A  : L = [(    iqA  )  t ][(    iqA   ] -1/4F  F  - V(  t  ) avec encore V un potentiel « mexican hat ». L est alors invariant sous la transformation de jauge locale Étant donné  (x), on peut choisir e -iq  x)  comme étant réel, et ceci brise la symétrie. On remplace  ’(x) =  ½ h(x), h(x) réel, dans le Lagrangien, et on obtient cette fois un champ vectoriel massif A  et un champ scalaire massif h(x). Ce champ est appelé boson de Higgs.  (x)  ’(x) = e -iq  x)  x , A  (x) A’  (x) = A  (x) +    x 

On a donc 3 choix pour briser la conservation du nombre leptonique [2] : Brisure explicite : on écrit directement un couplage au Higgs qui n’a pas 0 de nombre leptonique; Brisure spontanée globale : on obtient un boson de Goldstone sans masse pour le « courant leptonique ». Brisure spontanée locale : on obtient un boson massif pour le « courant leptonique »; C’est le boson de Goldstone de la 2 ème option qu’on appelle le Majoron. On considère 2 modèles de Majoron: le modèle de Gelmini&Roncadelli (81) et le modèle de Chikasige,Mohapatra&Pelleci (CMP) (81). Inclusion du neutrino massif dans le MS

Modèle de Gelmini & Roncadelli (81) [3] (Proposé quelques mois après le modèle de CMP. C’est une extension du secteur scalaire seulement : il inclut une masse de Majorana pour le neutrino (qui reste gauche seulement) et il prédit 4 bosons, dont 1 de Goldstone, le Majoron.) On définit le comme  = L +( L ) C donc son terme de masse de Majorana est L mass = m On a vu qu’un tel terme ne peut pas être introduit par couplage Yukawa avec le doublet de Higgs; on cherche un autre Higgs qui pourrait coupler. On ne peut pas choisir un singulet de SU(2) L, puisqu ’un terme de ce type porte 1 d ’isospin faible; on choisit donc un triplet de SU(2) L,  qui porte en plus un nombre leptonique de 2.

Modèle de Gelmini & Roncadelli (81) On a donc en main 2 multiplets de Higgs: , qui donne leur masse à tous les leptons (sauf les  et qui doit briser SU(2) L, et , qui donne sa masse au et qui doit briser globalement U(1) LEPT. On a comme Lagrangien: Le couplage Yukawa pour le s’écrit comme L fermion,  = -  M (l L ) C  l L + h.c. où V(  ) est le potentiel le plus général qui soit invariant sous SU(2) L  U(1) LEPT : V(  ) = a|  | 2 + b|  | 2 + c|  | 4 + d|  | 4 + e|  | 2 |  | 2 + f(  t  tT )(  T  ) + i  jkn h  t  j  k t  n et le Lagrangien pour  et  est L  = |D   | 2 + |D   | 2 - V(  ) L = L fermion + L jauge + L fermion,  + L fermion,  + L 

Modèle de Gelmini & Roncadelli (81) L fermion,  = -  M { -2 1/2 ( L ) C L  0 + [(e L ) C L + ( L ) C e L ]  /2 (e L ) C e L  ++ } et on brise les 2 symétries en choisissant une direction: +0+0 =  /2 (  D +  D + i  D ) =           2 -1/2 (  T +  T + i  T ) Ceci remplacé dans L Y,  donne une masse au seulement, Ceci remplacé dans L Y,  donne une masse à l’électron seulement. On réécrit le L fermion,   en terme des états propres de charge de  m =  M  T

Modèle de Gelmini & Roncadelli (81) On a obtenu une masse de ; il reste à voir quels sont les bosons physiques qu’on prédit. On effectue le « shift » sur  et  dans le Lagrangien L  : L  = |D   | 2 + |D   | 2 - V(  ) et on obtient, en lisant dans le Lagrangien, les bosons suivants: Bosonmasse W  ± = 2 -½ (W  1 iW  2 ) M W = ½g(  D  T 2 ) ½ Z  = g’B  - gW  3 M Z = ½ (g 2 + g’ 2 ) ½ (  D  T 2 ) ½ (g 2 + g’ 2 ) ½  = 2(  T /  D )  D -  T m   = 0  + = i[(  T /  D ) 2 ½  + -  + ]m  + 2 = ½h (  D  T 2 )  high =  D + [(e - h)/2c](  T /  D )  T m  h 2 = 2c  D 2 + [(e - h )2/ 2c]  T 2  light =  T + [(h - e)/2c](  T /  D )m  L 2 = [2d - (e - h) 2 /2c]  T 2

Modèle de Gelmini & Roncadelli (81) Les contraintes sur les masses connues ou bornées nous donnent que  T <<  D, et alors on sait que  light est (relativement) léger et les autres nouveaux bosons sont lourds (mis à part  qui est sans masse). Comme le Majoron est sans masse (ce qui est nécessairement le cas pour une brisure globale du nombre leptonique), on vient de prédire une force avec une portée infinie, ce qui peut sembler à priori déraisonnable. Mais en fait Gelmini& Roncadelli se sont « permis » de proposer un tel modèle parce que la question de la force de portée infinie avait été abordée par Chikasige, Mohapatra et Peccei quelques mois plus tôt et que ceux-ci avaient montré qu’une telle force n’était pas nécessairement exclue par l’expérience.

Modèle de Chikasige, Mohapatra & Peccei (81) [2] C’est le premier modèle de Majoron. Il fait une extension du secteur scalaire et du secteur fermionique, puisqu’il ajoute aussi un neutrino droit; il utilise le mécanisme see-saw et prédit 2 neutrinos de Majorana et 3(?) bosons, dont 1 de Goldstone, le Majoron. On ajoute R, un singulet de SU(2) L. On ajoute aussi un Higgs , qui porte encore un nombre leptonique de 2 mais cette fois est un singulet de SU(2) L : il ne permet donc d’écrire un terme de masse de Majorana que pour le R. On a donc encore comme Lagrangien: L = L fermion + L jauge + L fermion,  + L fermion,  + L  mais cette fois: L fermion,   h 1 l L  R  f (e ) ( l L  ) e R + h.c. L fermion,   h 2  R ) C R + h.c.

Modèle de Chikasige, Mohapatra & Peccei (81)  acquière un vev   et donne leur masse de Dirac à l’électron et au neutrino;  acquière un vev   et donne une masse de Majorana à la partie droite du neutrino. On obtient alors comme terme de masse : L mass = ( L,  R ) C ) 0 M D L C + h.c. M D m M R C’est le cas du mécanisme see-saw (...qui a déjà été présenté au workshop...). Il faut diagonaliser la matrice de masse pour obtenir les neutrinos physiques 1 et 2. On considère le cas m M >>M D, et on obtient alors 2 neutrinos de Majorana: neutrinomasse 1 (droit) m M = 2 -½ h 2    2 (gauche)M D 2 = 2 -½ h 1 2   2 m M h 2  

Modèle de Chikasige, Mohapatra & Peccei (81) Lorsque  brise sa symétrie, on obtient  = 2 -½ (    i  Et, de la même façon que précédemment, on obtient que le  acquière une masse et que le  est le boson de Goldstone attendu, le Majoron. Comme on l’a dit plus tôt, il faut expliquer pourquoi on se permet de prédire une force de range infini. CMP montrent qu’en fait le Majoron a un couplage avec la matière tellement faible qu’il peut à toutes fins pratiques (ou presque) être ignoré.

Modèle de Chikasige, Mohapatra & Peccei (81) Le couplage du Majoron aux leptons chargés est : L = g f (h 2 G f /16  2 ) m f m  f  5 f  où g f = 1, e, u f = -1, d Si on prend des valeurs typiques pour m f  10 MeV, m  1 eV, h2  10 -2, on obtient une force de couplage pour le Majoron avec la matière de l’ordre de En terme d’un potentiel effectif entre 2 fermions chargés non-relativistes, V f = ( f /r 3 ) [3(  1. r)(  2. r) -  1.  2 ] ceci signifie qu’on a une contrainte sur f, telle que f  /m f 2. La contrainte à l’époque était de f (m  ) 2 < et donc la force de portée infinie proposée n’était pas exclue.

Conclusion Pour pouvoir espérer tester ces 2 modèles, il faut étudier les couplages avec la matière de tous les bosons qu’ils prédisent (qui sont assez nombreux dans le cas de Gelmini&Roncadelli) et aussi déterminer si on peut les détecter de manière directe. La phénoménologie des modèles de Majoron pour la masse des neutrinos est décrite dans plusieurs articles que je n’ai pas eu le temps de lire et pourrait faire un intéressant sujet de présentation … Les premiers modèles de Majoron ont été introduits pour donner une masse aux neutrinos, mais ont en a développés depuis qui ne servent qu’à briser la conservation du nombre leptonique, sans donner de masse aux neutrinos.

[2] Chikasige, Y., Mohapatra, R.N., Peccei, R.D., Phys. Lett. 98B (1981) 265. [3] Gelmini, G.B., Roncadelli, M., Phys. Lett. 99B (1981) 411. [4] Mohapatra, Rabindra N., in Current Aspects of Neutrinos Physics, ed. by David O. Caldwell, Springer, Berlin, [1] Cottingham, W.N. and Greenwood, D.A., An Introduction to the Standard Model of Particle Physics, Cambridge University Press, Cambridge, [6] Fukugita, Masataka and Yanagida, Tsutomu, Physics of Neutrinos, Yukawa Institue Kyoto, YITP/K-1050, [7] Elliot, Steven R. and Vogel, Petr, Ann. Rev. Nucl. Part. Sci., 52: , [8] Zuber, K., On the physics of massive neutrinos, hep-ph/ [9] Dìaz, M.A., Garcìa-Jareno, M.A., Restrepo, D.A., Valle, J.W.F, Nucl. Phys. B527 (1998), Références [5] Ramond, Pierre, Journeys Beyond the Standard Model, Perseus Books, Cambridge, Mass., 1999.