DU TRAITEMENT DU SIGNAL BASES THEORIQUES DU TRAITEMENT DU SIGNAL ETUDE DES SIGNAUX DETERMINISTES ESINSA3 Thierry PITARQUE Université de Nice - Sophia Antipolis ESINSA I3S pitarque@unice.fr Je vais vous présenter les travaux effectués dans le cadre de ma thèse intitulé … Ces travaux ont été effectués au laboratoire I3S en collaboration avec la DCN ST-Tropez.

Plan du cours I Etude des signaux déterministes continus 1)Notion de signaux et systèmes 2)Energie et puissance 3)Représentation fréquentielle 4)Filtrage II Etude des signaux déterministes discrets 1)L’échantillonnage 2)Signaux déterministes discrets III Le TNS

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.1 Filtrage de signaux continus 4.2 Transmission de signaux

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.2 Transmission de signaux 1) Signaux à bande limitée. - La transmission d’un signal s’effectue sur un canal de transmission nécessairement imparfait car il atténue certaines fréquences et pas d’autres. - La bande de fréquences non atténuées définit la bande passante du canal. - le canal de transmission peut être, par exemple, un câble métallique (en cuivre pour la téléphonie ou coaxial), une fibre optique ou le milieu aérien pour les ondes électromagnétiques. - Un accord international attribue à chaque service( télévision, armée, police, médecine, amateurs, téléphonie, industries, …) une gamme de fréquences jusqu’aux GHz.

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.2 Transmission de signaux 1) Signaux à bande limitée. - Voici le plan d’attribution des fréquences jusqu’aux GHz : (LF, MF,VHF, UHF, SHF,EHF : low, medium,very high, ultra high, super high, extra high frequency) 30- 535 kHz (LF et MF) : communications maritimes, radionavigation maritime et aérienne 535- 1705 kHz (MF) : radios MA (modulation d’amplitude) 1.705- 30 MHz (HF) : radiocommunications gouvernementales, radiodiffusion ondes courtes, radionavigation, 27 MHz la CB (Citizen Band) 30- 50 MHz (VHF) : communications gouvernementales fixes et mobiles (police, armée) 50- 54 MHz (VHF) : radioamateurs 54- 88 MHz (VHF) : canaux 2 à 6 de la radiodiffusion télévisuelle 88- 108 MHz (VHF) : radios FM 108- 137 MHz (VHF) : radionavigation aérienne 137- 174 MHz (VHF) : communications gouvernementales fixes et mobiles (police, armée) 174- 216 MHz (VHF) : canaux 7 à 13 de la radiodiffusion télévisuelle 216- 890 MHz (VHF, UHF) : radiodiffusion amateur, communications gouvernementales, radionavigation aérienne 0.89- 3 GHz (UHF) : téléphonie mobile numérique (GSM), communications gouvernementales, radars 3- 30 GHz (SHF) : diffusion par satellites 30- 300 GHz (EHF) : domaine expérimental

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.2 Transmission de signaux 1) Signaux à bande limitée. - On a jusqu’à présent considéré des signaux d’étendue spectrale infinie et utilisé des modèles mathématiques , mais ces signaux ne sont pas physiques. - Considérons un signal s(t) à transmettre et dont le spectre, calculé par la transformée de Fourier est S(f). Pour un signal physique réel, on définit une fréquence minimale Fmin et une fréquence maximale Fmax telles qu’on considère que le spectre S(f) est négligeable au delà. - L’intervalle [-Fmax, -Fmin]U [Fmin, Fmax] est appelé support spectral du signal s(t). Il permet de mesurer la largeur fréquentielle de s(t) D(f)= 2(Fmax-Fmin). - Par exemple en téléphonie le support spectral est [-3400, -300]U [300, 3400] Hz ou bien en haute fidélité, le support spectral musical est [-20000, -20]U [20, 20000] Hz - Le support spectral du signal s(t) doit être compris dans la bande passante du canal de communication. - Il y a 2 types de transmission : - la transmission en bande de base - la transmission par modulation

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.2 Transmission de signaux 1) Signaux à bande limitée. - la transmission en bande de base : On ne fait rien. Les signaux sont transmis dans leur support spectral d’origine qui est adapté à la bande passante du canal. Ex. Les réseaux locaux informatiques. - la transmission par modulation On transpose le support spectral des signaux par modulation. Si on appelle l’onde porteuse , il y a 3 types de modulation : - si l’amplitude A varie en fonction de s(t), c’est une modulation d’amplitude - si la fréquence porteuse Fp varie en fonction de s(t), c’est une modulation de fréquence - si la phase Fp varie en fonction de s(t), c’est une modulation de phase. Par exemple le signal s(t) est un message à 2 niveaux, de type binaire 0 ou 1 :

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.2 Transmission de signaux 1) Signaux à bande limitée. - La modulation d’amplitude donnerait : Niveau 0 : amplitude A1 Niveau 1 : amplitude A2 - La modulation de fréquence : Niveau 0 : fréquence F1 Niveau 1 : fréquence F2 - La modulation de phase : suite 00: pas de changement de phase suite 01ou 10 : changement de phase de p

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.2 Transmission de signaux 1) Signaux à bande limitée. La transmission par modulation permet d’augmenter la distance de propagation. La réception du signal nécessite des antennes dont les dimensions sont la moitié de la longueur d’onde l. Pour un signal VHF, F0 > 100 MHz, l =c/F0< 3 m (ondes métriques), pour un signal LF < 10 kHz, l> 30 kms En ondes métriques (radio FM) , un émetteur radio de 10 kWatts peut atteindre 100 kms s’il est situé à 500 mètres au dessus du sol. A l’inverse, plus la fréquence est basse , plus l’onde contourne facilement les obstacles ( montagnes). De nuit intervient la propagation indirecte due à une réflexion des ondes sur l’ionosphère. Sans brouillage, la portée pour un émetteur de 100 kWatts peut être de 1000 à 2000 kms. En mer la propagation est peu dépendante de la fréquence. Si la bande passante du canal est beaucoup plus grande que le support spectral du signal, on réalise un multiplexage fréquentiel c.a.d. qu’il y a plusieurs spectres contigus, seulement séparés par un intervalle de garde, dans la bande du canal. Par exemple en Grandes Ondes, entre 150kHz et 450 KHz, le spectre de parole est tronqué à B=4.5 kHz soit une largeur fréquentielle de 9kHz et donc 30 émetteurs possibles, ramenés à 10 émetteurs.

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.2 Transmission de signaux 1) Signaux à bande limitée. Modulation d’amplitude avec porteuse : le signal modulant ou message est tel que la porteuse le signal transmis m le taux de modulation est compris entre 0 et 1 d’où

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.2 Transmission de signaux 1) Signaux à bande limitée. Modulation d’amplitude avec porteuse : Si Fp=0, Pour un signal s(t) réel passe-bas de spectre [-B,B] une partie de la puissance sert à la modulation. on remarque les 2 bandes latérales identiques du spectre f -Fp Fp

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.2 Transmission de signaux 1) Signaux à bande limitée. Modulation d’amplitude SANS porteuse : Si Fp=0, Pour un signal s(t) réel passe-bas de spectre [-B,B] avantage : modulation plus économique en terme de puissance. Inconvénient : on n’a plus de référence à la réception pour démoduler la porteuse. f -Fp Fp

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.2 Transmission de signaux 1) Signaux à bande limitée. Démodulation synchrone dans le cas de la modulation d’amplitude SANS porteuse d’un signal passe –bas de spectre [-B, B] : le signal reçu est on souhaite démoduler le signal y(t) pour retrouver le signal de départ s(t) on peut multiplier y(t) par un signal m(t) synchrone avec la porteuse : on passe alors le signal s1(t) dans un filtre passe-bas idéal de gain K=2/A : f -2Fp 2Fp

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.2 Transmission de signaux 1) Signaux à bande limitée. Démodulation synchrone dans le cas de la modulation d’amplitude d’un signal passe –bas : le signal s2(t) obtenu après passage par le filtre passe-bas idéal : Mais si on a un problème de synchronisation de m(t) avec p(t) : si F0 =p/2, cos(F0) = 0, si on filtre s1(t) par le passe-bas idéal ci-dessus, on obtient s2(t)=0 d’où l’importance du déphasage F0 entre le signal m(t) et la porteuse. Solution : la démodualtion d’enveloppe.

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.2 Transmission de signaux 2) La Transformée de Hilbert. On appelle filtre de Hilbert ou filtre en quadrature, le filtre de réponse en fréquences : sgn(f) est la fonction signe de f le gain en fréquences du filtre de Hilbert =1 les fréquences positives du signal d’entrée sont déphasées de - p/2 les fréquences négatives du signal d’entrée sont déphasées de + p/2 Si on met à l’entrée de ce filtre un cosinus : Le filtre de Hilbert transforme un cosinus en sinus. C’est un déphaseur pur qui déphase de - p/2. Il est appelé pour cette raison filtre en quadrature

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.2 Transmission de signaux 2) La Transformée de Hilbert. Calcul de la réponse impulsionnelle q(t) du filtre de Hilbert : Rappel la fonction sgn(t) a pour TF : A l’aide du théorème de la dualité : d’où q(t) n’étant pas causale, le filtre de Hilbert n’est pas réalisable physiquement On définit la Transformée de Hilbert du signal x(t) comme le signal en sortie du filtre de Hilbert.

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.2 Transmission de signaux 2) La Transformée de Hilbert. la réponse impulsionnelle q(t-t’) pose des problèmes pour t=t’ : On prend la valeur principale au sens de Cauchy : Calcul de la transformée de Hilbert inverse La transformée de hilbert inverse a pour réponse impulsionnelle et pour réponse en fréquences

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.2 Transmission de signaux 3) Signal analytique associé à un signal réel. idée : un signal x(t) réel a un spectre X(f) à symétrie hermitienne : la connaissance du spectre pour les fréquences positives est suffisante pour caractériser le signal réel x(t) On définit le signal analytique associé au signal réel x(t) comme le signal complexe de spectre : est forcément complexe car son spectre n’est pas à symétrie hermitienne. On peut exprimer à l’aide de la fonction échelon u(f) : On peut aussi utiliser le filtre de Hilbert : Le signal analytique est le signal complexe de partie réelle x(t) et de partie imaginaire

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.2 Transmission de signaux 3) Signal analytique associé à un signal réel. Exemple : quel est le signal analytique associé au signal x(t)=cos(2pFOt) ? en utilisant on obtient le spectre du signal analytique cherché : par TF inverse, le signal analytique obtenu est l’exponentielle complexe f 1/2 F0 -F0 f 1 F0

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.2 Transmission de signaux 3) Signal analytique associé à un signal réel. Passage de à par TF inverse : Passage du signal analytique au signal réel x(t) : filtrage de signaux analytiques : que se passe-t-il si on met à l’entrée du filtre H(f) le signal analytique ? Réponse : le signal obtenu en sortie est le signal analytique associé au signal de sortie y(t) H(f)

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.2 Transmission de signaux 4) Enveloppe complexe de signaux à bande limitée. Rappel : un signal à bande limitée appelé aussi signal passe-bande a un support spectral [-Fmax, -Fmin]U [Fmin, Fmax] = [-Fp-B, -Fp+B]U [Fp-B, Fp+B] . Pour ces signaux , on définit l’enveloppe complexe du signal x(t), associé à une fréquence F0 comme le signal complexe passe-bas obtenu par démodulation du signal analytique :

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.2 Transmission de signaux 4) Amplitude et phase instantanée de signaux à bande limitée. Passage de l’enveloppe complexe au signal réel passe-bande de départ x(t) : Passage de l’enveloppe complexe à la transformée de Hilbert du signal réel passe-bande de départ x(t) : l’enveloppe complexe possède un module et une phase est appelée amplitude instantanée du signal passe-bande x(t) : est appelée phase instantanée du signal passe-bande x(t) :

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.2 Transmission de signaux 4) Amplitude et phase instantanée de signaux à bande limitée. La dérivée de la phase instantanée est la fréquence instantanée du signal passe-bande x(t) : Attention il ne faut pas confondre avec la fréquence associée F0 On interprète un signal passe-bande autour d’une fréquence F0 come une sinusoide de fréquence F0 dont l’amplitude et la phase instantanées varient lentement par rapport à F0. Pour un signal monochromatique :

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.2 Transmission de signaux 4) Amplitude et phase instantanée de signaux à bande limitée. Pour un exemple simple de signal modulé en amplitude : Donner son enveloppe complexe associée à la fréquence Fp L’enveloppe complexe est le signal passe –bas s(t)