Le cryptosystème RSA à clés publiques ORAL PROBATOIRE – CNAM de PARIS Le cryptosystème RSA à clés publiques 21 mai 2003 Jérémy LECLERT

Plan Principe de fonctionnement du RSA Applications du RSA tilisation des clés Applications du RSA La force du RSA Facilité de trouver deux nombres premiers Difficulté de factoriser un grand nombre Les faiblesses du RSA

Introduction Définition du cryptosystème à clé publique Histoire du RSA

Applications du RSA Signature et authentification au niveau de la messagerie électronique (ex: PGP) Sécurisation des échanges d’informations sur Internet (ex: SSL, SET) Certification de cartes bancaires Systèmes d’exploitation, etc…

Elaboration des clés La clé publique (n,e) La clé privée (n,d) Principe du fonctionnement du RSA Elaboration des clés La clé publique (n,e) Multiplier 2 nombres premiers p et q : n = pq Trouver e premier avec Φ(n)=(p-1)(q-1) La clé privée (n,d) Calculer d l’inverse de e modulo Φ(n)

Utilisation des clés Coder un message en un nombre M Principe du fonctionnement du RSA Utilisation des clés Coder un message en un nombre M Découper si besoin ce nombre en tronçons Mi(de tailles égales) inférieurs à n Crypter chaque tronçon en calculant Ci = Mie [n] Décrypter chaque Ci en calculant Mi=Cid [n]

Il est « facile » de trouver deux grands nombres premiers… Force du RSA Il est « facile » de trouver deux grands nombres premiers… Les algorithmes de composition : Miller-Rabin Solovay-Strassen Les algorithmes de preuve de primarité : « Les sommes de Jacobi » de C,L,A,P,R L’algorithme d’Agrawal, Kayal et Saxena ECPP de Goldwasser, Kilian et Atkin

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…mais très difficile de factoriser un grand nombre Force du RSA …mais très difficile de factoriser un grand nombre La méthode d’Erathosthène Diviser n par tous les nombres premiers < n : trop long si n est grand! L’algorithme GNFS Trouver v et w tels que n divise v2-w2 Complexité du GNFS : exp((c+o(1))(log n)1/3(log log n)2/3) où c ≈ 1.902

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Faiblesses du RSA Dues surtout à une mauvaise utilisation… Clés trop longues : attention à la concurrence!

Conclusion « Il est vraiment douteux que l'ingéniosité humaine puisse créer une énigme […] dont l'ingéniosité humaine ne vienne à bout […] » Edgar Allan Poe, Le scarabée d’or