Chapitre 1 - Formulation générale. optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen 1.1 Problème d'optimisation: formulation.   formulation traditionnelle min{f(x)} [xH] sous hj(x)0 [j=1, .., m] et hj(x)=0 [j=m+1, .., m+p] * format conventionnel (scientifique) : minimisation avec des contraintes d’inégalité ≤ optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen 1.2 Classification.   Classe A problèmes sans contraintes (m=p=0) A.1 problèmes quadratiques A.2 problèmes non linéaires optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen Classe B problèmes à contraintes linéaires B.1 problèmes à contraintes égalité (m=0) B.1.a linéaires - quadratiques B.2.b non linéaires   B.2 problèmes à contraintes inégalité B.2.a programmation linéaire (mn-p) B.2.b linéaires quadratiques B.2.c non linéaires à contraintes linéaires optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen Classe C problèmes non linéaires C.1 problèmes à contraintes égalité (m=0)  C.2 programmation non linéaire générale optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen   1.3 Optimisation sans contraintes. Max ou min {J=f (x)} Max ou min {J=f (x1, . xn)} x x (x1,xn) (x1,xn) 1. Extremums locaux. * Problème unidimensionnel. approche directe ou indirecte optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen * Problème bidimensionnel.   Max {J = f(x1, x2)} (f dans C2 et non linéaire). * CN: f’x1(x1, x2)=0 et f’x2(x1, x2)=0 * conditions suffisantes : f”x1x1 f”x2x2 - (f”x1x2)2 > 0 et a) minimum local f”x1x1 > 0 b) maximum local f”x1x1 < 0 optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen * Problème multidimensionnel.   Max{J = f(x1, .., xn)} (f dans C2 et non linéaire). extremum local : f’i (x1, .., xn) = 0 i = 1, .., n minimum local : Di>0 (i=n) maximum local : Di<0 (i=2n+1) et Di>0 (i=2n) optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

2. Méthodes des moindres carrés (MC)   optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen * MC ordinaires. yi=xij+bi ou yi=xita+bi au sens du critère d’écart J=(yk-Xka)t(yk-Xka) optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen formulation récursive : Pk-1=Pk-1-1+xkxkt et Qk=Qk-1+xkyk lemme d'inversion : Pk=Pk-1-Pk-1xk(1+xktPk-1xk)-1xktPk-1 optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen formules de récurrence Kk=[Pk-1xk] [1+xktPk-1xk]-1 (1+xktPk-1xk) scalaire  pas d’inversion matricielle optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen * Interprétation stochastique des MC E[b]=0 E[b bt]=s2I E[b xt]=0 caractérisation statistique : optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen variance : = s2Pk MC => estimé non biaisé et consistant optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen * MC pondérés yi => yi/si et xi => xi/si : optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen Pk=Pk-1-KkxktPk-1 où Kk=Pk-1xk(sk2+xktPk-1xk)-1 covariance S=E[b bt] minimum => J=(yk-Xka')-1(yk-Xka')t   optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen 1.4 Conditions d’optimalité.   x optimum local de min{f(x)} [xH] sous hj(x)0 [j=1, .., m] et hj(x)=0 [j=m+1, .., m+p] ?  multiplicateurs de Lagrange * cas sans contraintes (m=p=0) x minimum local de f : f'(x)=0 f"0 * avec une contrainte linéaire (m=0 et p=1) optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen optimalité : f'(x) colinéaire à h' f'(x)+mh'=0 : m (multiplicateur de Lagrange)  lagrangien L(x, m)=f(x)+mh(x) L/m=0 : h(x)=0 que si et seulement si x est réalisable x minimum local: il existe un scalaire m avec (x,m) point critique de L optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen * contrainte linéaire d’inégalité (m=p=1) h(x)=0  m=0 h(x) 0 : f’(x) vers l’intérieur => m >0  : m+p variables additionnelles optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen  théorème de Karush, Kuhn et Tücker: x optimum local du système (+ hypothèse de qualification)  il existe m dans Rm+p tel que: - mj0, j=[1, m] - hj(x)0, j=[1, m] hm+j(x)=0, j=[1, p] - mjhj(x)0, j=[1, m] - f’(x)+ mjh’j(x) =0 j=[1, m+p] optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen Remarques: * m=0 : (x,m) ~ système d’équations * f quadratique et h affine  système linéaire * m>0 : m j =0 ?  problème combinatoire optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen 1.5 Problèmes avec contraintes.    1. Pénalités et barrières. P(x)=f(x)+cMax{0, hj(x)}2] (c>0) pénalisation extérieure : min{f(x)} [xH] sous hj(x)0 [j=1, .., m] et hj(x)=0 [j=m+1, .., m+p] remplacé par min{P} sans contrainte optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen x admissibles : minimum de B dans le domaine admissible et proche de la solution du système technique de pénalisation intérieure (barrière) : remplacer la minimalisation de f par celle de B optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen 2. Méthodes de directions admissibles.   chaque itération : ensemble des j tels que hj(x)=0 (ensemble des contraintes actives en x) gradient ou Newton : direction devant suivre ces contraintes optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen 1.6 Conseils. minimiser f(x)  résoudre f’(x)=0 résoudre F(x)=0  minimiser F(x)2 plus avantageux ? éléments d’orientation du choix: * gradient : programmation très longue  choix d'une méthode intuitive souvent incapable de résoudre le problème posé optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen stratégie : petit nombre de résolutions: méthode intuitive plusieurs résolution: méthodes de descente * type Newton :si mémoire suffisante car convergence quadratique * gradient conjugué et de plus grande pente : très lentes optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen * conseillé : code de bibliothèque (algorithme préprogrammé) * code performant :analyse des résultats, détection et correction des imperfections du modèle  structure de blocs souple car modification rapide optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen importance des facteurs d’échelle uj : unité de xj  1/uj : unité de f’j(x)  x+=x-mf’(x) non correct  chaque fj’(x) multiplié par facteur d’échelle approprié problème défini à partir des x  changement de variables sans dimension du type yj=xj/uj puis résolution par rapport aux yj optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen règle: Tj incrément d’une fonction du problème (par exemple, l'IP) j=[1, n] m ajouté à la jème coordonnée du vecteur des commandes  tous les Tj du même ordre de grandeur  j optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

Chapitre 2 - Programmation linéaire. Méthode du simplexe. optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen programmation linéaire: solution numérique de problèmes d’optimisation à critères et contraintes linéaires méthode du simplexe : trouver un point de départ admissible puis un autre plus proche du critère et ainsi de suite optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen solutions : * aucune, * finie, * infinie (non bornée), * nombre infini de solutions solution (si elle existe) d’un problème de programmation linéaire : toujours en un point extrémal d'une région admissible (base de la méthode du simplexe) optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen   2.1. Forme standard de programmes linéaires. 1. Position du problème. problème linéaire : Max{J}=cjxj sous aijxj=bi xj et xj0 (i=1, .., n) forme matricielle : Max{J}=CTx sous A x=b et x  0 x optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen forme standard: x  0 et A x=b autres contraintes : variables d’écart ou de surplus  aijxjbi devient aijxj+xn+i=bi, xn+i  0 : variable d’écart aijxjbi devient aijxj-xn+i=bi, xn+i0 : variable de surplus variables non contraintes (non négatives)  forme standard non négative avec des variables additionnelles : xk<0  xk>0 avec xk=x'k-x"k, x'k  0 et x"k  0 optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen   2. Théorèmes de base de programmation linéaire.   * solution admissible : satisfait aux équations standard * matrice de base : matrice inversible m colonnes de A * solution de base : vecteur obtenu à partir de (n-m) variables de A =0 d'une matrice de base puis résolution du système de m variables * solution admissible : solution de base à variables 0 solution admissible non dégénérée : solution admissible ayant m variables xi>0 * solution optimale : solution admissible minimisant J optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen théorèmes (sans démonstration) * minimum de J en un point extrémal dans la région admissible minimum si plus d’un point extrémal : J=Jmin en tous points d'un segment sur les deux point extrêmes * x point extrémal dans la région admissible si et seulement si x solution admissible optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen   3. Systèmes d’équations linéaires et équivalents.   matrice de base B : m premières colonnes du système précédent A x=b => [B : M]x=b optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen [B-1][B : M]x=[B-1]b => [I : B-1M]x=[B-1 b] optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen tous les termes du second membre  0 : solution admissible départ : méthode de pivot avec pivot aijxj où aij0 B non singulière   aij0 → élément (1,1) opération de pivot réalisée à partir de ce terme redémarrage avec a22x2 jusqu’à ammxm  forme canonique de la méthode du simplexe optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen   2.2 Algorithme du simplexe. méthode du simplexe : procédure en deux phases 1ère : trouver une solution admissible 2nde : solution  point de départ vers solution optimale ou un optimum non borné méthode du simplexe : -J+c1x1+…cnxn=0 ajouté aux contraintes optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen  algorithme du simplexe ( forme canonique) : solution de base : J=J', x1=b1, .., xm=bm, xm+1=xm+2= .. =xn=0 optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen solution admissible (b10, .. , bm0) : forme canonique admissible test d’optimalité : solution admissible optimale (coût J' minimal) si tous les cm+1, .. , cn, (IP relatifs) 0 pour j={(m+1), .., n} maximum  changement du signe de cj ou Max{J}=min{-J} solution admissible : solution optimale unique si cj>0 pour toutes variables non de base optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen passage d’une solution de base à une autre: * programme linéaire  système canonique à solution de base pas toujours compatible avec contraintes 0 et coefficients tous négatifs xj=0 pour j [(m+1),(m+n)], xi=bi pour i [1,m] et J=J' * inspection du signe des cj avec solution minimale si cj0 * test d’optimalité non vérifié nouveau pivot xs un seul cj <0  xs avec cj=cs plusieurs cj<0  cs=min{cj}<0 optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen * pivot xr  xs choisi parmi les pivots xi ayant ais positif * nouveau système canonique avec nouvelle solution admissible  examen des signes des nouveaux cj optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen   2.3 Forme révisée de l'algorithme du simplexe. seules informations nécessaires : * cs<0  nouvelle colonne Ps=(a1s, .., ams)t et variables  nouveau pivot arsxs optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen souvent : plus de colonnes que de lignes  perte de temps calcul et de mémoire en conservant Pj avec js  approche plus efficace : forme révisée de la méthode du simplexe programme linéaire min{J}=c1x1+ .. +cnxn sous P1x1+ .. +Pnxn=b, avec xi0 pour i={1, .., n}. Pj=(a1j .. amj)t : j ème colonne de matrice des coefficients A optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen B=[Pj1, ..Pjm] : matrice de base, xB=(xj1, .., xjm)t0 variables de base p=(p1, .., -pm)=cB.B-1 : vecteur des multiplicateurs du simplexe associés à la base B optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen résumé de la méthode du simplexe sous forme révisée multiplicateurs du simplexe  facteurs de coût relatifs cj→cj-p Pj=cj-piaij * règle de sélection  cs=min(cj) cj<0 * cs>0 : solution optimale  stop et optimum optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen un ais0 : stop  solution optimale non bornée optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen * par transformation de pivot sur ars (m+1) 1ères colonnes : inverse de la nouvelle matrice de base solution de base : (xB)i=(xB)-qais (ir) avec (xB)r= q puis retour à l'étape initiale optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen   2.4 Programmation convexe. 1. Programmation de Kuhn - Tücker. programmation convexe : résolution de problèmes plus généraux formulation mathématique : min{J}=f(x) sous gi(x)0, hk(x)=0 et xj0, pour i[1, m], k[1, p] et j[1, n] gi et hk : fonctions non linéaires convexes continues f : fonction non linéaire concave continue optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen théorème de Kuhn-Tücker: s'il existe x tel que gi(x)0 et hk(x)=0 pour i[1, m],k[1, p], il existe des multiplicateurs ai0 et bk quelconques et un vecteur x' solution de ces équations avec min{J} satisfaisant à application : - ai0 et bk arbitraires - formation de F,  (m+n+p) équations pour l’extremum optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen   2. Programmation convexe séparable. méthode de Kuhn-Tücker : programmation convexe avec inverse non vérifié 0xjhj résolution par linéarisation par morceaux optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen   3. Programmation quadratique.   problème quadratique : Max{J}=xtC x sous A x=b et x0 résolution Aj et Cj j-èmes colonnes de A et de C avec yj= yj=Cjtxo-po Aj  solution x=xo minimale s’il existe p=po et y=yo avec: A xo=b xo0 yj=Cjtxo-po Aj0 j[1, n] yj=0 si xjo>0 optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

Chapitre 3 – Méthodes de descente. optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen 3.1 Schéma général des méthodes de descente.   méthodes directes: itération en 2 étapes  * étape 1 :recherche d'une direction de descente; * étape 2 :recherche linéaire du pas m  optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen   3.2 Calcul du pas m. m déterminé par tâtonnements avec pas d’essai m0  calcul de f(x+md) puis recherche de m pour pas satisfaisant f(x+md)=q(m)  pas optimal qui minimise q(m)? optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen 3.3 Calcul de la direction.   1. Méthode du gradient ou de plus grande pente. d=-f’(x)  nouvel estimé x+= x - mf’(x)  méthode de plus grande pente optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen 2. Gradient conjugué.   * première itération, d=-f’(x), * itérations suivantes, d+=-f’(x+)+md avec m>0 f quadratique et m bien choisi : solution en n itérations fondamental: direction dépendant de l’itération précédente optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen 3. Méthodes de type Newton.   méthode de Newton : trouver d à partir de f’(x)+f"(x)d=0 d= -f"(x)-1f’(x) (recherche linéaire le long de d) dérivées secondes + système linéaire : calculs lourds optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen  quasi-Newton d=-Hf’(x), (H: estimation de f"(x)-1) * première itération : H=I, soit d= -f’(x); * autres : formules de récurrence de quasi-Newton  nouvelle estimation H+ optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

Chapitre 4 – Filtrage optimal de Wiener. optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen 4.1 Introduction.    entrée x(n) = signal désiré s(n) + bruit ou interférence w(n)  filtre ôtant l’interférence et préservant s(n) estimateur : filtre linéaire de RI h(n) de sortie ~ signal désiré d(n) optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen diagramme de l’estimateur: optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen trois cas possibles : * d(n)=s(n): filtrage, * d(n)=s(n+D) (D>0):prédiction, * d(n)=s(n-D) (D>0): lissage filtre optimum  critères de comparaison et mise en oeuvre d'une technique opérationnelle  théorie de Wiener ou de Kalman (commande des systèmes stochastiques ou déterministes) optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen théorie de Wiener: applicable uniquement aux processus stationnaires au sens large et à moyenne nulle théorie de Kalman : applications aux systèmes non stationnaires à CI non nulles théorie de Wiener: filtre minimisant la variance de l'erreur résiduelle  équation de Wiener-Hopf optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen Wiener  IP=eqm entrée et signal désiré stationnaires  eqm minimum : filtre de Wiener approche stochastique  filtre de Wiener: connaissance a priori des statistiques des signaux présents  suppose grand nombre de réalisations de séquences nécessaires  hypothèse de séquences ergodiques mesure directe difficile des moyennes des signaux: statistiques utilisées indirectement optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen   4.2 Filtres de Wiener. but : coefficients optimum de la RI du filtre rendant minimale une fonction donnée filtrage de Wiener : concept général pour des applications avec estimation linéaire d’une séquence désirée d’un signal à partir d’une autre séquence  applications des filtres de Wiener : prédiction linéaire, lissage, estimation de FT et égalisation de canaux (déconvolution) optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen filtre de Wiener: * transversal causal pour signaux discrets réels puis étendu aux signaux complexes avec étude de filtres non contraints : RI souvent non causale et à durée infinie * signaux aléatoires avec filtre utilisant des statistiques obtenues par une moyenne d’ensemble * algorithmes adaptatifs : moyennes temporelles et pas d’ensemble  processus ergodiques optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen filtre linéaire discret W(z) avec estimation du signal désiré d(n) avec excitation x(n) x(n) et d(n): échantillons d’un processus aléatoire de longueur infinie optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen e(n) : erreur d’estimation e(n) petit  filtre performant problème: poids donnant e(n) minimum?  sélection des poids par optimisation d'un IP approprié fonction de coût = eqm, fonction ou surface de performance choix de l'eqm: - solution mathématique, - minimum (maximum) unique pour poids optimum avec sélection sans ambiguïté optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen eqm donné: nombre d’extremum lié à structure du filtre RII : beaucoup d’extremum RIF : extremum global unique  ici, étude limitée aux seuls filtres RIF x=E[e(n)2] :eqm quadratique satisfaisant aux 2 conditions généralisation : xp=E[e(n)p] (p entier) p>2 pair : un seul extremum p impair : cas mathématiquement difficile à traiter à cause du signe de e(n) optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen 4.3 Filtre de Wiener transversal à coefficients réels.   x(n) et d(n) : processus stationnaires à valeurs réelles optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen poids w0, w1, .., wN-1 réels vecteurs poids et d’entrée : w=[w0, w1, .., wN-1]t et x(n)=[x(n) x(n-1) .. x(n-N+1)]t sortie : y(n)=wix(n-i)=wtx(n)=xt(n)w (wtx(n))   e(n)=d(n)-y(n)=d(n)-wtx(n)=d(n)-xt(n)w  x=E[e(n)2]=E[{d(n)-wtx(n)}{d(n)-xt(n)w}] = x=E[d2(n)]-wtE[x(n)d(n)]-E[d(n)xt(n)]w +wtE[x(n)xt(n)]w optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen vecteur intercorrélation p=E[x(n)d(n)]=[p0 p1 .. pN-1]t matrice autocorrélation  x=E[d2(n)]-2wtp+wtR w optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen wo  xmin=0 x=E[d2(n)]-2piwi+wiwmrim  rki=E[x(n-k)x(n-i)]=fxx(i-k) symétrie  fxx(k)=- fxx(k) et rki=rik équations de Wiener - Hopf ( ou normales) : R wopt=P optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen solution : wopt=R-1 P si R est inversible min=E[d2(n)]-wopt P+=E[d2(n)]-wopttR wopt optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen   4.4 Principe d’orthogonalité. données réelles : x=E[e2(n)]=E[d2(n)] optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen E[2eopt(n) x(n-i)]=0  principe d’orthogonalité : ajustement optimal des poids  erreur d’estimation non corrélée avec échantillons d’entrée utilisés pour estimation corollaire utile : optimalité  sortie yopt(n) décorrélée de eopt(n), car E[eopt(n) yopt(n)]=E[eopt(n)wopt,ix(n-i)]= wopt,iE[eopt(n) x(n-i)]=0 optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen  sortie optimisée du filtre de Wiener et erreur d’estimation orthogonales à l'optimalité orthogonalité ou orthogonal : référence à des paires de variables aléatoires non corrélées entre elles optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen principe d’orthogonalité  dérivation alternative de R wopt=P et de xmin=E[d2(n)]-wopttR wopt xmin=E[eopt2(n)]=E[eopt(n){d(n)-yopt(n)}]=E[eopt(n)d(n)] =E[{d(n)- wopt,ix(n-i)}d(n)]=E[d2(n)]-wopt,ipi : forme développée de xmin=E[d2(n)]-woptt R wo E[d2(n)]=E[eopt2(n)]+E[yopt2(n)]+E[eopt(n)yopt(n)] xmin=E[d2(n)]-E[yopt2(n)]  eqm minimum: différence entre eqm de sortie désirée et eqm d'estimée optimale de sortie optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen  4.5 Extension aux valeurs complexes.   transmission de données : PSK( déphasage) et QAM (modulation d’amplitude en quadrature)  bande de base : 2 composantes séparées (parties réelle et imaginaire) x(n), d(n), {w} et e(n) complexes  x=E[e(n)2]= E[e(n)e*(n)] : fonction quadratique des poids du filtre wopt : dx/dwi =0 avec wi complexes  dérivées conventionnelles non applicables optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen pour chaque poids : deux variables indépendantes  calcul séparé des dérivées partielles devant être nulles pour wopt w=wR+jwI optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen wix=E[e(n)wie*(n)+e*(n)wie(n)]  wie(n)=-x(n-i)wiwi et wie*(n)=-x*(n-i)wiwi*  wix=-2E[e(n)x*(n-i)] wopt : wix=0 et E[eo(n)x*(n-i)]=0  principe d’orthogonalité pour signaux complexes optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen x(n)= [x*(n) x*(n-1) . x*(n-N+1)]h w=[w0* w1* . ..wN-1*]t= [w0 w1 .. wN-1]h  E[eopt*(n)x(n-i)]=E[eopt*(n)x(n)]=0  E[x(n){d*(n)-xh(n)wopt}]=0  équations normales (Wiener - Hopf) complexes : R wopt=P avec R=E[x(n)xh(n)] et P=E[x(n)d*(n)]  xmin=E[d2(n)]-wopthP=E[d2(n)]-wopthR wopt   optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen   4.6 Filtres de Wiener non contraints. contraintes : causalité et RIF filtre de Wiener W(z) causal ou non et/ou RII z=1  z*=z-1 coefficients réels: W*(1/z*)=W(z-1)  z et W(z-1)=W*(z) si z=1 optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen   1. Eqm d’un filtre de Wiener. x=E[d2(n)]+ E[y2(n)]-2E[y(n)d(n)] =fdd(0)+fyy(0)-2 fyd(0) où fxy(n)=E[x(n)y(n)] TZI : optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen x(n) et y(n) liés : fyd(z)=W(z)2fyd(z), W(z)2=W(z)W*(z) et W*(z)=W(z-1)  eqm d’un filtre général de Wiener de FT W(z) C : cercle unité optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen   2. FT optimale. FT optimale d'un filtre de Wiener non contraint (RI entre n=- et n=+)  principe d'orthogonalité  signaux réels : E[eopt(n)x(n-i)] (iZ) donné par optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen E[x(n-m)x(n-i)]=fxx(i-m) et E[x(n-m)x(n-i)]= fdx(i)  TZ : Fxx(z)Wopt(z)= Fdx(z) équation de Wiener - Hopf de filtres de Wiener non contraints optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen filtre de Wiener non contraint optimum : Wo(z)=Fdx(z)/ Fxx(z) réponse en fréquence optimale : Wo(jw)= Fdx(jw)/ Fxx(jw)  rapport entre DSP croisée entre d(n) et de x(n) et celle de x(n) à w=wi  séquence d'étapes de filtrage et de moyenne : optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

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optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen information de phase  filtres pour uniquement fréquences positives signaux filtrés di(n) et xi(n) à valeurs complexes E[di(n)xi*(n)]  proportionnel à Fdx(jwi) énergie moyenne de x(n)  proportionnel à Fxx(jwi) Wopt(jwi) : rapport de ces deux quantités et aussi le poids transversal optimal d'un filtre de Wiener à un retard d'entrée et de sortie désirée respectivement xi(n) et di(n) optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen eqm minimum : Wopt(jw)= Fdx(jw)/ Fxx(jw) dans z=1 : Fdx*(z)= Fdx(z)et Fxx*(z)= Fxx(z)  Wopt(z)2=Wopt(z)Wopt*(z)=Wopt(z)Fdx(z)/Fxx(z)   optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

Chapitre 5 - Filtre optimal en treillis. optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen treillis : implémentation de prédicteurs linéaires prédicteur linéaire direct : estimation de x(n) à partir de la combinaison linéaire des x(n-1), x(n-2), .. , x(n-m) prédicteur linéaire rétrograde : x(n-m) estimé par combinaison linéaire des x(n-1), x(n-2), .. , x(n-m+1) équations d’actualisation de l’ordre : prédiction linéaire d’ordre (m+1) obtenue comme combinaison linéaire des prédictions directe et rétrograde d’ordre m autre développement: algorithme de Levinson-Durbin débouchant sur les structures en treillis de FT arbitraires RIF et RII optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen   5.1 Prédiction linéaire directe et rétrograde. 1. Prédiction linéaire directe (avance). optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen filtre transversal entrée xm(n-1)=[x(n-1) x(n-2) x(n-m)]t et poids am=[am,1 am,2 am,m]t  estimé de x(n) x(n) : processus stochastique stationnaire poids am,1 am,2 am,m : optimum au sens des MC calculés en minimisant Pmf=E[fm²(n)] optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen équation de Wiener-Hopf : R am,opt=r : substitution directe de d(n) par x(n) et x(n) par xm(n-1) où R=E[xm(n-1)xmt(n-1)], r=E[x(n)xm(n-1)] hypothèse : poids toujours optimum  R am=r Pmf=E[x²(n)]-rtam=E[x²(n)]-rtR-1r minimum : poids vérifiant cette équation optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen r=[r(1) r(2) r(m]t optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen   2. Prédiction linéaire rétrograde. optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen entrée xm(n-1)=[x(n-1) x(n-2) x(n-m)]t poids gm=[gm,1 gm,2 gm,m]t  estimé de x(n-m) poids du prédicteur linéaire rétrograde optimum poids gm,1 gm,2 gm,m optimum du prédicteur obtenus en minimisant la fonction Pmb=E[bm²(n)] optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen équation de Wiener-Hopf : R gm=rb  substitution de d(n) par x(n-m) et de x(n) par xm(n) rb=E[x(n-m)xm(n)] différent du prédicteur direct rb=[r(m) r(m-1) r(1)]t même forme que r avec éléments en ordre inversé poids optimisés : Pmb=E[x²(n-m)]-rbtgm= E[x²(n-m)]-rbtR-1rb optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen   3. Relations entre prédicteurs direct et rétrograde.   dans R am=r : r(k)=E[x(n)x(n-k)] et optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen x(n) stationnaire au sens large : poids optimum d’un prédicteur direct d’ordre m  prédicteur rétrograde correspondant mais pris dans l’ordre inversé optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen   5.2 Filtres d’erreur de prédiction. 1. Introduction. prédicteur direct : équivalent à filtre transversal ayant m retards  x(n) estimé à partir des x(n-1), x(n-2), . , x(n-m) filtre d’erreur de prédiction directe d’ordre m pour x(n) : entrée x(n) et sortie fm(n) (erreur de prédiction directe) optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen relation entre prédicteur direct et filtre d’erreur de prédiction directe optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen filtre d’erreur de prédiction rétrograde d’ordre m pour x(n) : entrée x(n) et sortie bm(n) relation entre prédicteur rétrograde et filtre d’erreur de prédiction rétrograde: optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen 2. Propriétés des erreurs de prédiction.   * Propriété 1 Pmb=Pmf=Pm * Propriété 2 E[fm(n)x(n-k)]=0 * Propriété 3 E[bm(n)x(n-k)]=0 * Propriété 4 kq, E[bk(n)bq(n)]=0 optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen   3. Structure du treillis. structure en treillis : implémentation directe des équations d’actualisation et structure des filtres en treillis: début par erreur de prédiction directe pour optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen où km+1=am+1,m+1 a’m,i=am+1,i+ km+1am,m+1 optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen  combinaison linéaire des x(n-1), , x(n-m-1) : combinaison linéaire de x(n-1), , x(n-m) et bm(n-1) passés de x(n) et de l’erreur de prédiction rétrograde a’m,i et km+1 : minimum d'erreur d'estimation de optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen z(n)=[xmt(n-1) bm(n-1)]t, wz=[a’m,1 a’m,2 .. a’m,m]t , xm(n-1)  fm+1(n)=x(n)-wztz(n) équation de Wiener-Hopf correspondante Rzzwz=Pxz  wz qui minimise fm+1(n) propriété 3  optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen a’m=R-1r=am optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen  fm+1(n)=fm(n)-km+1bm(n-1) procédure similaire: bm+1(n)=bm(n-1)-k’m+1fm(n) optimum : k’m+1= km+1 optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen  km+1 : coefficient de corrélation partielle (PARCOR) entre erreurs directe fm(n) et rétrograde bm(m-1) important : km+11 optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen équations d’actualisation de l’ordre : fm+1(n)=fm(n)-km+1bm(n-1) bm+1(n)=bm(n-1)-km+1fm(n). initialisation des récursivités : f0(n)=b0(n)=x(n) implémentation des récursivités : filtre (prédicteur) en treillis optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

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optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen propriété 2  Pm+1=E[fm+1(n)x(n)] fm+1(n) et x(n)  Pm+1=E[fm²(n)]- km+1E[fm(n)bm(n-1)] optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen  avec PARCOR proche de 1 : réduction significative de l’erreur de prédiction et PARCOR petit : peu d’effet de réduction d’erreur correct : PARCOR assez grand (en amplitude) dans les premiers étages puis décroissant vers zéro dans les étages suivants optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen   5.3 Algorithme de Levinson-Durbin. 1. Algorithme de Levinson-Durbin. R am=r : coefficients am,i d’un prédicteur transversal directement liés à R optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen dérivation de l’algorithme de Levinson-Durbin : optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen Algorithme de Levinson-Durbin _________________________ données  r(0), r(1), .., r(M) nécessaires aM,1, aM,2, .., aM,M et k1, k2, .., kM ______________________________  P0=r(0) pour m=1 à (M-1) k1=r(1)/P0 a1,1=k1 am+1,i=am,i-km+1am,m+1-i am+1,m+1=km+1 P1=(1-k1²)P0 Pm+1=(1-km+1²)Pm fin optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen environ M² produits et autant d’additions pour résolution d’un système linéaire de M équations : M3 produits et additions structure symétrique de Toeplitz de R: processus x(n) stationnaire  matrice de Toeplitz + symétrique : tous les éléments le long d’une même diagonale identiques hypothèse de stationnarité de x(n)  R toujours de Toeplitz optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen   2. Extension de l’algorithme de Levinson-Durbin. extension à un estimateur à processus associés (sans hypothèse de stationnarité) équation normale (de Wiener-Hopf) R w=P où R=E[x(n)xt(n)] et P=E[x(n)d(n)] résolution en trois étapes optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen * étape 1 : algorithme de Levinson  PARCOR k1, k2, .., kN-1 et eqm P0, P1, .., PN-1 en même temps obtenus optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen   * étape 2 : construction et résolution des équations normales pour la partie linéaire de l’estimateur du processus associé en treillis  coefficients c=(L-1)tw * étape 3 : w=Ltc équation de Wiener-Hopf pour c : Rbbc=Pdb avec Rbb=E[b(n)bt(n)] et Pdb=E[d(n)b(n)] optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

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optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen propriété 4  Rbb diagonale d’éléments P0,.., PN-1, eqm d’erreurs de prédiction rétrograde b0(n),.., bN-1(n)  Rbb=diag(P0, P1, .., PN-1) optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen algorithme de Levinson-Durbin étendu. ______________________ données  nécessaires : R et P  w=R-1P ________________________ P0=r(0) k1=r(1)/P0 P1=(1-k1²)P0 w0,0=c0 a1,1=k1 w1,0=c0-a1,1c1 w1,1=c1 optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen pour m=1 à (N-2) am+1,i=am,i-km+1am,m+1-i am+1,m+1=km+1 Pm+1=(1-km+1²)Pm wm+1,i=wm,i-am,m+1-icm+1 wm+1,m+1=cm+1 fin optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen   5.4 Structures en treillis tout pôle et tout zéro. 1. Treillis tout pôle. treillis pour implémenter un filtre tout pôle: optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen treillis : filtre à erreur de prédiction directe toujours à phase minimale zéros de HfM(z) de filtre à erreur de prédiction avec amplitude <1  la FT HfM(z) de systèmes à phase minimale,  toujours un système de filtre à erreur de prédiction HfM(z) HfM(z) : filtre à erreur de prédiction  excitation de F(z)=1/ HfM(z) par fM(n)d’ordre M de x(n)  sortie q: x(n)   F(z) = FT entre fM(n) et x(n) mise à jour d’ordre : fm(n)=fm+1(n)+km+1bm(n) avec bm+1(n)=bm(n-1)-km+1fm(n)  optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

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optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen   2. Treillis tout zéro.   treillis pour G(z): w=Ltc z=[1 z-1 z-2 .. z-(N-1)]t, multiplication à droite de w=(Ltc)t par z et enfin remplacement de (N-1) par M optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen  toute FT W(z) d’un RIF d’ordre arbitraire M réalisable comme combinaison linéaire de FT Hb0(z), Hb1(z), .., HbM(z) de filtres à erreur de prédiction rétrograde optimisation et filtrage de Wiener 2004-2005 A. Thieltgen

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