Problème Autre formulation : Garçons ou filles : qui réussi le mieux au bac ? Cigarette et cancer : y a t il un lien ? Prévention routière : moins d’accident chez les verbalisés ? Autre formulation : Y a t il un lien entre sexe et réussite au bac ? Y a t il un lien entre cancer et cigarette ? Y a t il un lien entre accident et verbalisation ?

Mesures Données brutes Tableau des effectifs Tableau croisé

Théorie… Définition : Hypothèse nulle (=H0) : il n’y a pas de lien entre la variable sexe et la variable résultat. Si H0 est vrai : le pourcentage des Admis est le même chez les garçons que chez les filles

Variabilité biologique ou H0 est-elle rejetable ? … et pratique Dans d’autres lycées : Pas de différence H0 n’est pas rejetable Différence énorme On rejette H0 Dans notre lycée : Variabilité biologique ou H0 est-elle rejetable ?

Problème Une différence significative cache probablement une cause Quand peut-on considérer qu’une différence est significative ? Quand est-elle du à la variabilité biologique ? Pas de différence H0 n’est pas rejetable Différence énorme On rejette H0 Variabilité biologique ? Différence significative ? Dans notre lycée :

Solution Test du 2 (prononcez khi2) permet de trancher : Le 2 est un indice que l’on calcule à partir d’un tableau croisé. Quand on l’a trouvé, il permet de décider si oui ou non les variations du tableau soit du au hasard : 2=0,062 2=0,062  Incertitude On ne sait pas si la différence est due au hasard des mesures ou a un lien entre les deux variables 2=8,68 2=8,68  Pas de hasard On en est sûr, une telle différence ne peut pas être due au hasard : il y a un lien entre les deux variables.

Calcul du 2 On utilise des tableaux : Tableau des effectifs observés (tableau croisé) Tableau des effectifs théoriques Tableau des écarts bruts Tableau des écarts au carré et pondérés Formule du 2 Lecture de la table

1 : Effectifs observés

2 : Effectifs théoriques total colonne x total ligne total général Pour chaque case : effectif théorique = Totaux Calcul par case Résultats

Tableau des écarts bruts Pour chaque case : écart brut = effectifs observés – effectifs théoriques – Effectifs observés Effectifs théoriques = Tableau des écarts bruts

4 : Écarts au carré et pondérés Pour chaque case : Écart au carré pondéré = (écart brut)2 effectif théorique

 5 : Formule du 2 Le 2 est la somme des écarts au carré pondérés 2 =  (écart brut)2 effectif théorique 2 =0,035+0,015+0,009+0,004=0,63

Généralisation 1 : Effectifs observés Y a t il un lien entre couleur des yeux et des cheveux ? 1 : Effectifs observés

2 : Effectifs théoriques total colonne x total ligne total général Pour chaque case : effectif théorique =

Tableau des écarts bruts Pour chaque case : écart brut = effectifs observés – effectifs théoriques – Effectifs observés Effectifs théoriques = Tableau des écarts bruts

4 : Écarts au carré et pondérés Pour chaque case : Écart au carré pondéré = (écart brut)2 effectif théorique

 5 : 2 2 = (écart brut)2 effectif théorique 2 =5,11+0,96+2,07+1,69+0,33+0,66+2,66+0,52+1,04+0,01+0,00+0,00=15,05

(effectifs observés – effectifs théoriques)2 2 en bref 2 = Le 2 que l’on calcule est également appelé 2 observé. On le note : 2Obs  (effectifs observés – effectifs théoriques)2 effectif théorique

Problème Quand un 2 est-il grand ? 2=2,6 2=5,3

DDL=(Nombre de colonnes-1)x(Nombre de lignes-1) DDL=Degré de liberté DDL=(Nombre de colonnes-1)x(Nombre de lignes-1) DDL = (2-1)x(2-1) = 1 DDL=(4-1)x(3-1)=6

Lecture de la table Cette table permet de lire le 2 théorique (qu’on note 2Th) Au risque 10%, DDL 1, 2Th =2,706 Au risque 5% DDL 3, 2Th =7,815

Conclusion RAPPEL : Si le 2 observé est grand, on peut rejeter H0 Formellement : si le 2 observé est plus grand que le 2 théorique, cela signifie qu’il est grand et qu’on peut rejeter H0 si 2Obs <2Th, cela signifie que le 2 observé est petit et qu’on ne peut pas rejeter H0 2Obs >2Th => On rejette H0 2Obs <2Th => On ne rejette pas H0

On peut rejeter H0, il y a un lien entre C. Cheveux et C. Yeux Conclusion Exemple sexe / réussite : 2Obs=0,63 DDL=1 Au risque 5% : 2Th=3,841 On ne peut pas conclure car le 2 observé est plus petit que le 2 théorique : On ne peut pas rejeter H0 Exemple C. Cheveux / C. Yeux : 2Obs=15,05 DDL=6 Au risque 5% : 2Th=12,592 On peut conclure car le 2 observé est plus grand que le 2 théorique : On peut rejeter H0, il y a un lien entre C. Cheveux et C. Yeux

Écarts au carré pondérés Interprétation 2Obs=15,05 : le 2Obs, est grand. Pourquoi ? Écarts au carré pondérés Parce que Blond / Bleus = 5,11 et que Noir / Bleus = 2,66 Ces deux cases « apportent » beaucoup au 2

Écarts au carré pondérés Interprétation Cases sur et sous représentées : Écarts au carré pondérés Sur le tableau des écarts, Blonds / Bleus = 9 : il y en a beaucoup. On dit qu’ils sont sur-représentés Sur le tableau des écarts, Noirs / Bleus = -4,5 : il en manque beaucoup. On dit qu’ils sont sous-représentés