Equipe synthèse d ’images et réalité virtuelle IRIT-UPS Toulouse Surfaces implicites Les différents modèles analytiques

Equipe synthèse d ’images et réalité virtuelle IRIT-UPS Toulouse Plan Définition générale implicite / paramétrique Les arbres CSG –Les opérateurs de composition booléenne –Les arbres de composition Les transformations de l'espace Calcul de la normale Les surfaces implicites non-bornées –Les primitives –Les modèles de composition Les surfaces implicites bornées –Les primitives –Les modèles de composition Surfaces implicites bornées / non bornées

Equipe synthèse d ’images et réalité virtuelle IRIT-UPS Toulouse Les modèles mathématiques Deux grandes familles: –Les surfaces paramétriques –Les surfaces implicites

Equipe synthèse d ’images et réalité virtuelle IRIT-UPS Toulouse Les surfaces paramétriques Une surface paramétrique est définie par une fonction f de D 2  R 3. A chaque couple de paramètre (u,v)  D 2 la fonction f associe un point P(x p,y p,z p ) de l'espace R 3. Ce point est un point de la surface Quand u et v parcourent D 2, les points P associés parcourent l'ensemble de la surface La définition de la surface est explicite : On a directement accès aux points de la surface Pas de notion de volume : On ne sait pas directement dire où se positionne un point par rapport à la surface

Equipe synthèse d ’images et réalité virtuelle IRIT-UPS Toulouse Les surfaces implicites Une surface implicite est définie à partir d'une fonction potentiel. Une fonction potentiel est une fonction f de R 3  R qui à tout point P(x p,y p,z p ) de l'espace R 3 associe une valeur de potentiel C p. Une surface implicite est alors définie par l'ensemble des points de R 3 pour lesquels la fonction f associe la même valeur de potentiel C 0 La définition de la surface est implicite : On ne peut pas directement calculer les points de la surface Par contre la fonction potentiel définit complètement le volume : –S = {P  R 3 / f(P) = C 0 } –si f(P) > C 0 le point P est à l'extérieur du volume –si f(P) < C 0 le point P est à l'intérieur du volume –V = {P  R 3 / f(P)  C 0 } définit un solide En général C 0 = 0

Equipe synthèse d ’images et réalité virtuelle IRIT-UPS Toulouse Les opérateurs de composition Les opérateurs de composition booléenne: –Union –Intersection –Différence

Equipe synthèse d ’images et réalité virtuelle IRIT-UPS Toulouse Les arbres CSG On construit un arbre de composition   \ P1P1 P5P5 P4P4 P3P3 P2P2 

Equipe synthèse d ’images et réalité virtuelle IRIT-UPS Toulouse CSG sur les surfaces implicites O 1  O 2 : O 1  O 2 =  (  O 1   O 2 ) O 1 \ O 2 = O 1   O 2

Equipe synthèse d ’images et réalité virtuelle IRIT-UPS Toulouse Les transformations de l'espace Rappel : –translation –rotation autour de (Ox)

Equipe synthèse d ’images et réalité virtuelle IRIT-UPS Toulouse Les transformations de l'espace –changement d'échelle

Equipe synthèse d ’images et réalité virtuelle IRIT-UPS Toulouse Appliquée à une surface implicite Pour appliquer une transformation à une surface implicite, on transforme le repère local dans lequel elle est définie : f(x,y,z) rot trans scale objet final f final (x,y,z)

Equipe synthèse d ’images et réalité virtuelle IRIT-UPS Toulouse Evaluation de la fonction Quand j'évalue la fonction f finale en un point P de l'espace, je vais chercher la valeur de la fonction f d'origine au point p correspondant dans le repère de définition de la surface implicite :

Equipe synthèse d ’images et réalité virtuelle IRIT-UPS Toulouse Illustration sur du CSG

Equipe synthèse d ’images et réalité virtuelle IRIT-UPS Toulouse Calcul de la normale La normale en un point P d'une surface implicite est défini par le gradient de la fonction potentiel f en ce point P. si f(P)  0 définit le volume si f(P)  0 définit le volume

Equipe synthèse d ’images et réalité virtuelle IRIT-UPS Toulouse Les surfaces implicites non bornées La fonction varie de façon continue dans tout l'espace. L'isovaleur C 0 est fixée à C 0 =0 La convention intérieur / extérieur est à préciser en fonction des différents modèles Exemples de primitives : –Les quadriques présentées au cours précédent –Le plan

Equipe synthèse d ’images et réalité virtuelle IRIT-UPS Toulouse Les primitives à squelette Un squelette S est défini à partir d'une primitive géométrique simple La fonction potentielle f est définie à partir de la distance d(S,P) entre un point P de R 3 et le squelette S ou

Equipe synthèse d ’images et réalité virtuelle IRIT-UPS Toulouse Surfaces à squelettes r r r r

Equipe synthèse d ’images et réalité virtuelle IRIT-UPS Toulouse Les opérateurs de composition Le mélange : Il s'agit d'une transition lisse et arrondie liant les objets composés avec des opérateurs de composition booléenne Union Intersection Différence

Equipe synthèse d ’images et réalité virtuelle IRIT-UPS Toulouse Les fonctions réelles Modèle introduit par V.L. Rvachev en 1982 et approfondi par A. Pasko en 1994 : –Convention : f(P)  0 définit le volume Union Intersection différence Transition franche sur la surface mais le champ de potentiel est de continuité C 1 partout ailleurs (fondamental pour le CSG).

Equipe synthèse d ’images et réalité virtuelle IRIT-UPS Toulouse Opérateurs avec transitions douces Convention : f(P)  0 définit le volume Opérateurs avec mélange : Transition douce sur la surface et le champ de potentiel est de continuité C 1 en tous points.

Equipe synthèse d ’images et réalité virtuelle IRIT-UPS Toulouse Vérifiez votre compréhension Avec un schémas du type de celui utilisé pour comprendre les opérateurs de composition à base des fonctions min et max, vérifiez le respect des conventions int/ext de ces opérateurs.

Equipe synthèse d ’images et réalité virtuelle IRIT-UPS Toulouse Les surfaces implicites bornées La fonction varie de façon constante au delà d'un certain rayon d'influence. Dans notre cas, la constante est nulle. L'isovaleur C 0 est fixée à C 0 =0.5 en général La convention intérieur / extérieur est : –f(P) > C 0 : le point P est à l'intérieur du volume –f(P) < C 0 : le point P est à l'extérieur du volume –f(P)  C 0 : définit le volume

Equipe synthèse d ’images et réalité virtuelle IRIT-UPS Toulouse Le "Blobby model" Primitives locales par approximation : Au delà d’un certain rayon d’influence, la fonction est presque nulle. Les primitives de base sont limitées à des sphères. Le modèle : –Un blob isolé où d i (x,y,z) est la distance entre le centre du blob et le point P(x,y,z) didi fifi bibi aiai bibi

Equipe synthèse d ’images et réalité virtuelle IRIT-UPS Toulouse Le mélange Primitive complexe :

Equipe synthèse d ’images et réalité virtuelle IRIT-UPS Toulouse Les fonctions potentielles bornées La gaussienne est approximée par une fonction polynomiale avec un rayon d’influence R. –Le calcul de l’exponentielle est évité et ainsi la fonction est moins coûteuse à évaluer. –Au delà d’un certain rayon d’influence R, la fonction vaut zéro didi fifi 1 R R

Equipe synthèse d ’images et réalité virtuelle IRIT-UPS Toulouse Exemple de fonctions bornées B. Wyvill (1986) : N. Stolte (1996) si sinon si sinon

Equipe synthèse d ’images et réalité virtuelle IRIT-UPS Toulouse Les primitives à squelette Cette représentation se prête tout particulièrement à l’utilisation de primitives à squelette car elle sont définies par une fonction de distance. On remplace la fonction de distance d qui est définie entre un point P 0 qui est le centre de la sphère et un point P(x,y,z) de l’espace par la distance entre le squelette S et un point P(x,y,z) de l’espace. Le fonction f i reste la même. Seul le calcul de la distance change!

Equipe synthèse d ’images et réalité virtuelle IRIT-UPS Toulouse Les primitives négatives Permet de retirer de la matière au lieu d’en ajouter sans augmenter la complexité du modèle.

Equipe synthèse d ’images et réalité virtuelle IRIT-UPS Toulouse Graphe de mélange Pour éviter le mélange indésirable

Equipe synthèse d ’images et réalité virtuelle IRIT-UPS Toulouse Graphe de mélange Les primitives sont regroupées par groupe. Les primitives d’un même groupe se mélangent entre elles et seuls sont mélangés les groupes reliés par un lien. Exemple de la main : paume doigt 1 doigt 5 doigt 4 doigt 3 doigt 2

Equipe synthèse d ’images et réalité virtuelle IRIT-UPS Toulouse L’écrasement

Equipe synthèse d ’images et réalité virtuelle IRIT-UPS Toulouse Le CSG Il existe des opérateurs CSG pour les primitives bornées, mais des recherches restent encore à faire pour les rendre plus adaptés –Les variations des champs de potentiels deviennent de plus en plus irrégulière et la forme du mélange de plus en plus difficile a contrôler –Néanmoins, avec beaucoup de temps et d’efforts, on arrive à des résultats

Equipe synthèse d ’images et réalité virtuelle IRIT-UPS Toulouse Quelques résultats

Equipe synthèse d ’images et réalité virtuelle IRIT-UPS Toulouse Quelques résultats

Equipe synthèse d ’images et réalité virtuelle IRIT-UPS Toulouse Modèles bornés / non bornés Modèles bornés : –Une évaluation moins coûteuse de la fonction potentielle –Plus difficile de développer des modèles de composition évolués –Adapté au mélange et l’animation d’une grande quantité de primitives Modèles non bornés : –Evaluation chère de la fonction potentielle –Modèle général permettant d’intégrer n’importe quelle type de surface implicite –Une grande variété d’opérateurs de déformation et composition –Adaptés à la composition d’un petit nombre de primitives complexes utilisant des opérateurs plus évolués