Construction des gammes Diatonique et Chromatique Gamme de Pythagore Construction des gammes Diatonique et Chromatique

=> Gamme linéaire 1 Chaque point de la droite représente une note correspondant à une fréquence (en hertz: nombre d’oscillations par seconde) Hertz 440 Hz 110 Hz 220 Hz 330 Hz Construire une gamme c’est choisir des points (des notes) de cette droite, c’est-à-dire des fréquences. Les musiques seront constituées de ces notes. Pour que ces musiques soient « harmonieuses », il ne faut pas choisir ces points au hasard… Pour des raisons physiques, les notes correspondant aux fréquences X, 2X, 3X (comme 100Hz, 200Hz, 300Hz) « vont bien ensemble »… Aussi Pythagore va construire sa gamme à partir de ces écarts de notes qu’on appelle INTERVALLES.

<= => Gamme linéaire 2 + 1 octave x 2 + 1 octave x 2 + 1 octave x 2 DO0 F DO1 2.F DO2 4.F DO3 8.F Hertz On choisit un point de la droite que l’on nomme DO0 de fréquence F On appelle OCTAVE l’intervalle entre 2 notes de fréquences X et 2X. Ajouter une octave à une note revient à multiplier la fréquence par 2. Les notes séparées d’une octave vont si bien ensemble qu’on décide de leur donner le même nom. On les différencie par un numéro. On peut donc construire sur la droite les notes DO1 , DO2 en ajoutant des octaves à partir de DO0 .

On définit les notes suivantes: <= => + 1 quinte x 1,5 + 1 quinte x 1,5 + 1 quinte x 1,5 Hertz DO3 8F DO4 16F DO5 32F SOL3 12F RE4 18F LA4 27F OCTAVE 3 OCTAVE 4 L’ensemble des notes comprises entre DO0 et DO1 est l’OCTAVE 0. L’ensemble des notes comprises entre DO1 et DO2 est l’OCTAVE 1.etc. Les notes de l’octave 0 portent le numéro 0… On appelle Quinte l’intervalle entre 2 notes de fréquences 2X et 3X. Ajouter une quinte à une note revient à multiplier la fréquence par 3/2. On définit les notes suivantes: SOL = DO + 1 quinte RE = SOL + 1 quinte LA = RE + 1 quinte

Gamme linéaire 4 suite suite OCTAVE 3 OCTAVE 4 <= => Gamme linéaire 4 suite - 1 octave x 0,5 + 1 octave x 2 - 1 octave x 0,5 suite RE4 18F LA4 27F SOL3 12F Hertz DO3 8F DO4 16F DO5 32F OCTAVE 3 OCTAVE 4 RE3 9F LA3 13,5F SOL4 24F On obtient les autres SOL, RE et LA par ajout ou soustraction d’octaves

Gamme linéaire 5 suite OCTAVE 3 OCTAVE 4 <= => Gamme linéaire 5 - 1 octave x 2-1 suite + 1 quinte x 3/2 + 1 quinte x 3/2 SOL3 12 Hertz DO3 8 DO4 16 DO5 32 OCTAVE 3 OCTAVE 4 SOL4 24 RE4 18 LA4 27 RE3 9 LA3 332-1 MI3 342-3 SI3 352-4 MI4 342-2 On continue à ajouter des quintes pour créer de nouvelles notes… MI = LA + 1 quinte SI = MI + 1 quinte

<= => Gamme linéaire 6 - 1 quinte x 2/3 DO3 23 F DO4 24 F SOL3 3.22 F RE3 32 F LA3 3.2-1 F MI3 34.2-3 F SI3 35.2-4 F FA3 3-1.25 F OCTAVE 3 Pour obtenir la 7ème note on soustrait une quinte à partir de DO: FA = DO – 1 quinte On a ainsi la gamme diatonique de Pythagore

Gamme linéaire 7: ton et limma <= => Gamme linéaire 7: ton et limma + 1 limma x 256/243 + 1 limma x 256/243 + 1 ton x 9/8 + 1 ton x 9/8 + 1 ton x 9/8 + 1 ton x 9/8 + 1 ton x 9/8 DO3 23 F DO4 24 F SOL3 3.22 F RE3 32 F LA3 3.2-1 F MI3 34.2-3 F SI3 35.2-4 F FA3 3-1.25 F On voit 2 nouveaux intervalles sur cette gamme diatonique: Le TON : Ajouter un ton revient à multiplier la fréquence par 9/8 = 2-3.32 Le LIMMA : Ajouter un limma revient à multiplier la fréquence par 256/243 = 28.3-5

Gamme linéaire 8: gammes majeures <= => Gamme linéaire 8: gammes majeures + 1 ton + 1 limma DO3 23 F RE3 32 F MI3 34.2-3 F FA3 3-1.25 F SOL3 3.22 F LA3 3.2-1 F SI3 35.2-4 F DO4 24 F RE4 32 2F ? ? + 1 ton + 1 ton + 1 limma + 1 ton + 1 ton + 1 ton + 1 limma La gamme de DO MAJEUR est DO-RE-MI-FA-SOL-LA-SI-DO Une gamme majeure est obtenue à partir de la première note en ajoutant successivement : ( Ton, Ton, Limma),Ton, ( Ton, Ton, Limma) Quelle serait la gamme majeure en RE? RE MI ? SOL LA SI ? RE Elle n’existe pas! Il manque 2 notes… On ne peut pas « transposer » dans la gamme diatonique de Pythagore Il est nécessaire de construire de nouvelles notes pour y arriver…

Le ton n’est pas égal à 2 limma <= Gamme linéaire 9 => + 1 ton x 2-3.32 + 1 limma x 28.3-5 + 1 limma x 28.3-5 + 1 comma DO3 23 F RE3 32 F Le ton n’est pas égal à 2 limma x 2-19.312 2 limma a pour coef multiplicateur 28.3-5 x 28.3-5 = 216.3-10 = 1,10985… 1 ton a pour coef multiplicateur 2-3.32 = 1,125 Donc 1 ton est plus grand que 2 limma: On définit donc un nouvel intervalle le COMMA 1 Comma = 1 ton – 2 limma coef multiplicateur du comma = (2-3.32) / (216.3-10) = 2-19.312

On définit un nouvel intervalle: Le dièse Gamme linéaire 10 <= => - 1 limma -1 com - 1 Dièse x 211.3-7 + 1 limma x 2-11.37 +1 com x 2-19.312 x 28.3-5 + 1 Dièse Nb 211.3-7 F N F N# 2-11.37 F On définit un nouvel intervalle: Le dièse 1 dièse = 1 comma + 1 limma 1 dièse a pour coef multiplicateur 28.3-5 x 2-19.312 = 2-11.37 = 1,0678.. Diéser une note revient à ajouter 1 dièse Si la note N est de fréquence F alors N# a pour fréquence 2-11.37 F Bémoliser une note revient à soustraire 1 dièse Si la note N est de fréquence F alors Nb a pour fréquence 211.3-7 F

Gamme linéaire 11 Trois nouvelles notes entre DO et RE: DO # RE b SI # <= Gamme linéaire 11 => Trois nouvelles notes entre DO et RE: DO # RE b SI # Représente 1 limma Représente 1 comma + 1 dièse x 2-11.37 + 1 limma + 1 comma + 1 comma DO3 23 F RE3 32 F SI2 2-5.35F SI#3 2-16.312F REb3 211 3-5 F DO#3 2-8 37 F + 1 limma + 1 comma - 1 comma - 1 limma + 1 dièse x 2-11.37 - 1 dièse x 211.3-7

Gamme linéaire 12 Trois nouvelles notes entre RE et MI: RE # MI b FA b <= Gamme linéaire 12 => Trois nouvelles notes entre RE et MI: RE # MI b FA b Représente 1 limma Représente 1 comma - 1 dièse x 211.3-7 - 1 limma - 1 comma RE3 32F MIb3 283-3F RE#3 2-11.39F FAb3 216 3-8 F MI3 2-3 34 F FA3 253-1 F + 1 dièse x 2-11.37 + 1 limma + 1 comma - 1 dièse x 211.3-7 - 1 limma - 1 comma

Gamme linéaire 13 Trois nouvelles notes entre FA et SOL: FA # SOL b <= => Trois nouvelles notes entre FA et SOL: FA # SOL b MI # Représente 1 limma Représente 1 comma + 1 dièse x 2-11.37 + 1 limma + 1 comma - 1 dièse x 211.3-7 - 1 limma - 1 comma MI3 2-3.34F FA3 25.3-1F MI#3 2-14.311F SOLb3 2133-6F FA#3 2-6.36F SOL3 22 3 F + 1 dièse x 2-11.37 + 1 limma + 1 comma

Gamme linéaire 14 Deux nouvelles notes entre SOL et LA: SOL # LA b <= Gamme linéaire 14 => Deux nouvelles notes entre SOL et LA: SOL # LA b Représente 1 limma Représente 1 comma - 1 dièse x 211.3-7 - 1 limma - 1 comma SOL3 22.3F LAb3 2103-4F SOL#3 2-9.38F LA3 2-1 33 F + 1 dièse x 2-11.37 + 1 limma + 1 comma

Gamme linéaire 15 Trois nouvelles notes entre LA et SI: LA # SI b DO b <= Gamme linéaire 15 => Trois nouvelles notes entre LA et SI: LA # SI b DO b Représente 1 limma Représente 1 comma - 1 dièse x 211.3-7 - 1 limma - 1 comma LA3 2-1.33F SIb3 273-2F LA#3 2-12.310F DOb3 2153-7F SI3 2-4 35 F DO4 24F + 1 dièse x 2-11.37 + 1 limma + 1 comma - 1 dièse x 211.3-7 - 1 limma - 1 comma

Gamme chromatique de Pythagore (octave 3) DO#3 2-8.37F 8,54 RE#3 2-11.39F 9,61 FA#3 2-6.36F 11,39 SOL#3 2-9.38F 12,81 LA#3 2-12.310F 14,42 SI#3 2-16.312F 8,11 FAb3 216.3-8F 9,99 MI#3 2-14.311F 10,81 DOb3 215.3-7F 14,98 DO3 23F 8 REb3 211 3-5 F 8,43 RE3 32F 9 MIb3 283-3F 9,48 MI3 2-334F 10,13 FA3 253-1F 10,67 SOLb3 2133-6F 11,24 SOL3 223F 12 LAb3 2103-4F 12,64 LA3 2-133F 13,5 SIb3 273-2F 14,22 SI3 2-435F 15,19 DO4 24F 16 Gamme chromatique de Pythagore (octave 3) Représente 1 limma Représente 1 comma

Toutes ces notes s’obtiennent par ajout et retrait de quintes: c’est le cycle des quintes 19 quintes séparent le Dob du SI# Ces notes s’étalent sur environ 11 octaves + 1 quinte - 1 quinte - 1 quinte CYCLE DES QUINTES

Représentation de la gamme de Pythagore sur un cercle Cycle des quintes Le cercle représente une octave. Une octave = 360°. On place arbitrairement la note FA

DO Représentation de la gamme de Pythagore sur un cercle Cycle des quintes Le cercle représente une octave. Une octave = 360°. Une quinte  210,5865 ° (Voir arguments mathématiques pour en connaître la raison) DO De FA on tourne d’une quinte, La nouvelle note est DO (par définition)

SOL Représentation de la gamme de Pythagore sur un cercle Cycle des quintes De la même façon, on tourne d’une quinte, À partir de DO: La nouvelle note est SOL (par définition) SOL

Représentation de la gamme de Pythagore sur un cercle Cycle des quintes De la même façon, on tourne d’une quinte, À partir de SOL: La nouvelle note est RE ETC.

Représentation de la gamme de Pythagore sur un cercle Cycle des quintes De quinte en quinte, on construit la gamme diatonique de Pythagore (7 notes)

Représentation de la gamme de Pythagore sur un cercle Cycle des quintes DO-RE, RE-MI, FA-SOL, SOL-LA et LA-Si: ces écarts sont les mêmes ( 61,173°): Le TON MI-FA et SI-DO: ces écarts sont les mêmes ( 21,675°): Le LIMMA

Représentation de la gamme de Pythagore sur un cercle Cycle des quintes On peut décomposer chaque ton en Limma-comma-limma On peut vérifier qu’un ton est entre 2 et 3 limma: On appelle COMMA l’intervalle TON – 2 LIMMA On a approximativement Comma  7,038°

Représentation de la gamme de Pythagore sur un cercle Cycle des quintes On définit ainsi 10 nouvelles notes (points noirs sur le cercle) Chaque arc rouge représente un limma, chaque arc jaune représente un comma.

DO # MI b Représentation de la gamme de Pythagore sur un cercle Diéser une note, c’est l’augmenter d’1 dièse Bémoliser une note, c’est la diminuer d’1 dièse On définit un nouvel intervalle: le DIESE qui est 1 LIMMA + 1 COMMA DO # MI b

Représentation de la gamme de Pythagore sur un cercle Cycle des quintes On continue le cycle des quintes: SI + 1 QUINTE = FA # 1 QUINTE = 3 TONS + 1 LIMMA 1 TON = 2 LIMMAS + 1 COMMA

Représentation de la gamme de Pythagore sur un cercle Cycle des quintes et: DO # + 1 QUINTE = SOL # De même: FA # + 1 QUINTE = DO # 1 QUINTE = 3 TONS + 1 LIMMA 1 TON = 2 LIMMAS + 1 COMMA

Représentation de la gamme de Pythagore sur un cercle Cycle des quintes et: RE # + 1 QUINTE = LA # De même: SOL # + 1 QUINTE = RE # 1 QUINTE = 3 TONS + 1 LIMMA 1 TON = 2 LIMMAS + 1 COMMA

Représentation de la gamme de Pythagore sur un cercle Cycle des quintes SI on continue: LA # + 1 QUINTE = ??? On ne tombe pas sur une des 17 notes de la gamme chromatique de Pythagore. C’est FA + 1 comma ou encore MI #. 1 QUINTE = 3 TONS + 1 LIMMA 1 TON = 2 LIMMAS + 1 COMMA

Représentation de la gamme de Pythagore sur un cercle Cycle des quintes On continue le cycle des quintes en descendant à partir de FA: FA - 1 QUINTE = SI b 1 QUINTE = 3 TONS + 1 LIMMA 1 TON = 2 LIMMAS + 1 COMMA

Représentation de la gamme de Pythagore sur un cercle Cycle des quintes SI b - 1 QUINTE = MI b MI b - 1 QUINTE = LA b 1 QUINTE = 3 TONS + 1 LIMMA 1 TON = 2 LIMMAS + 1 COMMA

Représentation de la gamme de Pythagore sur un cercle Cycle des quintes LA b - 1 QUINTE = RE b RE b - 1 QUINTE = SOL b 1 QUINTE = 3 TONS + 1 LIMMA 1 TON = 2 LIMMAS + 1 COMMA

Représentation de la gamme de Pythagore sur un cercle Cycle des quintes SI on continue: SOL b - 1 QUINTE = ??? On ne tombe pas sur une des 17 notes de la gamme chromatique de Pythagore. C’est SI - 1 comma ou encore DO b. 1 QUINTE = 3 TONS + 1 LIMMA 1 TON = 2 LIMMAS + 1 COMMA

Représentation de la gamme de Pythagore sur un cercle Voici donc construite la gamme chromatique de Pythagore. Les 17 notes sont obtenues par augmentation de 16 quintes consécutives à partir de SOL b.