ROBOTIQUE -ELE4203- Cours #2: Exercices & introduction à la cinématique directe Enseignant: Jean-Philippe Roberge Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012

Cours #2 Bref rappel des principales notions du cours #1 Fin de la matière sur les transformations homogènes: Rotation autour d’un vecteur unitaire Quelques exercices reliés au chapitre 2 – transformations homogènes Début du chapitre 3 – Cinématique directe: Notions de bases sur les référentiels: Pose relative des différents référentiels Référentiels standards en robotique Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012

Cours #2 Notions de bases sur les référentiels (Suite): Angles de roulis, tangage et lacet (Roll, Pitch et Yaw) Exemple simple de la cinématique directe à l’aide d’un robot-planaire: Positionnement des repères Construction des matrices de transformation permettant l’élaboration de la cinématique directe. Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012

Bref rappel du cours #1 (1) Quelques types de robots: Robots statiques: Robots ayant une base fixe (e.g. : les robots du laboratoires, les robots typiques d’une chaîne de production). Robots mobiles: Robots qui se déplacent dans l’espace de travail (par exemple, les robots explorateurs de planètes tels que Curiosity, Spirit & Opportunity, Sojourner, etc…) Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012

Bref rappel du cours #1 (2) Quelques types de robots (suite): Robots sériels: Robots composés d’un seul segment articulé formant une chaîne cinématique ouverte. Robots parallèles: Robots composés de plusieurs segments articulés qui composent ensemble une chaîne cinématique fermée. Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012

Bref rappel du cours #1 (3) Types d’automatisation: Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012

Bref rappel du cours #1 (4) Types de joint Dans le cadre du cours, nous utiliserons principalement deux types de joints: Les joints prismatiques (Prismatic joint), notés P, permettent un déplacement en translation. Les joints rotoïdes (Revolute joint), notés R, permettent un déplacement en rotation. Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012

Bref rappel du cours #1 (5) Géométrie PPP Le robot PPP (communément appelé le manipulateur cartsien): Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Bref rappel du cours #1 (6) Géométrie PRP ou RPP Le robot PRP ou RPP, communément appelé le manipulateur cylindrique: Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Bref rappel du cours #1 (7) Géométrie RRP Le robot RRP, communément appelé le manipulateur sphérique: Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Bref rappel du cours #1 (8) SCARA Le robot SCARA (Selective Compliant Articulated Robot Arm), qui est aussi un RRP, mais toutefois différent du manipulateur sphérique ordinaire. Il est conçu spécifiquement pour des tâches d’assemblage. http://www.youtube.com/watch?v=xM5iAhVDVR4&feature=related http://www.youtube.com/watch?feature=endscreen&v=v5eR0eHknZk&NR=1 Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Bref rappel du cours #1 (9) Géométrie RRR Le robot RRR (ici c’est un RRRR), communément appelés manipulateurs articulés: Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Bref rappel du cours #1 (10) Géométrie RRRRRR Les robots RRRRRR sont souvent surnommés manipulateurs anthropomorphiques puisqu’ils s’inspirent partiellement du bras humain: ont dit souvent qu’ils ont un épaule, un coude et un poignet. Leur enveloppe de travail est beaucoup plus complexe que les autres types de robots vu précédemments. Leur cinématique directe ainsi que leur dynamique est aussi plus compliqué. Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Bref rappel du cours #1 (11) (Terminologie et définitions) Nombre d’axes d’un robot: Le nombre d’axes que possède un robot désigne le positionnement que ce dernier peut faire en x,y et z, ainsi qu’en Θx , Θy, Θz . Ceci est souvent relié au nombre de degrés de liberté du robot, mais c’est une notion bien différente, sachez la différencier. Capacité, vitesse de déplacement, portée, débattement, répétabilité, justesse, résolution spatiale. **Tableau tiré de : http://www.perceptron.com/index.php/en/company/university-of-perceptron/80.html Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Bref rappel du cours #1 (12) Coordonnées homogènes Note: De manière générale, w=1 Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Bref rappel du cours #1 (13) Transformations 2D - translation Un point de coordonnées (x,y), après une translation de (a,b) possède les coordonnées (x+a,y+b). En coordonnées homogènes: Ceci implique: Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Bref rappel du cours #1 (14) Transformations 2D - Rotation Un point de coordonnées (x,y), après une rotation de Θ degrés, possède les coordonnées (x’,y’). En coordonnées homogènes: Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Bref rappel du cours #1 (15) Concaténation de transformations Rappel, en général: Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Bref rappel du cours #1 (16) Transformations 3D Comme dans le cas à deux dimensions, on peut développer les matrices (de transformation) de translation et de rotation: Translation: Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Bref rappel du cours #1 (17) Transformations 3D Rotations: Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Cours #2 Rotation autour d’un vecteur unitaire (1) Au dernier cours, nous avons vu comment, en 2D, bâtir une matrice de transformation qui permet d’effectuer la rotation de point(s) en coordonnées homogènes autour d’un point de coordonnées (a,b) : Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Rotation autour d’un vecteur unitaire (2) Généralisons maintenant ce concept dans le domaine 3D: bâtissons une matrice de transformation permettant la rotation de Θ degrés d’un point en coordonnées homogènes autour d’un vecteur unitaire. On effectuera cinq rotations: 1-Une rotation de α degrés en x 2-Une rotation de β degrés en y Ces deux rotations permettront d’enligner le vecteur avec l’axe z. 3-Une rotation de θ degrés en z Finalement, les transformations inverses: 4-Une rotation de -β degrés en y 5-Une rotation de -α degrés en x Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Rotation autour d’un vecteur unitaire (3) L’angle α et la transformation sont donnés par: L’angle β et la transformation sont données par: Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Rotation autour d’un vecteur unitaire (4) Finalement, la rotation de θ autour de z, ainsi que les transformations inverses sont données par: Donc, la matrice de transformation permettant d’effectuer une rotation de θ degrés autour d’un axe unitaire u est: Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Exercices du chapitre 2 (1) Exercice #5 – Notions supplémentaires sur les matrices de rotation: 1) Les matrices de rotation sont dites “orthogonales”. En effet, de par leur nature, la norme (euclidienne) de chacune de leur colonne est égal à 1. Similairement, la norme de chacune de leur ligne est aussi égal à 1. 2) Soit une matrice R1 orthogonale, alors: det(R1) = ±1. 3) Si on considère seulement les repères “main droite”, alors on dira de R qu’elle est spéciale-orthogonale. Soit une matrice R2 spéciale-orthogonale, alors : det(R2) = 1. Dans le cours, nous travaillerons uniquement avec les matrices spéciales- orthogonales. 4) Pour une matrice spéciale-orthogonale R2, (R2(θ))-1=R2(-θ)=R2T Exercice #1, #2 Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Exercices du chapitre 2 (2) Exercice #3 – Notions supplémentaires: Soit une matrice de transformation T tel que: Alors: Exercice #10 (survol) Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Cinématique directe (1) Qu’est-ce que la cinématique directe? La cinématique directe concerne la détermination de la position et de l’orientation de l’effecteur (pose de l’effecteur) du robot en fonction des positions des articulations du robot. Il s’agit en fait de bâtir un modèle mathématique qui permet d’obtenir la pose de l’effecteur en fonction de ce que l’on appelle les “variables articulaires”. Pour bâtir ledit modèle mathématique, nous aurons recours aux variables / transformations homogènes. Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Cinématique directe (2) Aperçu très peu exhaustif de la démarche: Pour réaliser la cinématique directe des robots que nous étudierons, nous nous intéresserons tout d’abord à apposer des repères au niveau des joints du robot, par exemple: Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Cinématique directe (3) Aperçu très peu exhaustif de la démarche (suite): Par la suite, nous nous intéresserons à trouver les transformations qui lient chacun des repères ensemble. Dans le cas d’un robot sériel à six degrés de liberté, on déterminera: La cinématique directe est alors contenue dans la matrice de transformation totale: Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Cinématique directe (4) Suite et fin du survol: exemple de la cinématique directe du robot Kuka: Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Cinématique directe (5) À quoi sert la cinématique? Comme vous devez vous en doutez, il est nécessaire de connaître la position et l’orientation de l’effecteur pour effectuer une panoplie de tâches. Concrètement: Des encodeurs donnent les valeurs des différentes variables articulaires. Par exemple, pour des joints rotoïdes, les encodeurs permettront d’obtenir directement les angles de chacune des articulations. Connaissant ces valeurs et ayant réaliser la cinématique directe du robot, il est alors possible de connaître la position et l’orientation de l’effecteur. Nous verrons dans les heures qui suivent comment réaliser efficacement la cinématique directe. Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Cinématique directe (6) Référentiels Commençons par introduire certains concepts liés aux référentiels. Considérons les référentiels et le point suivant: La question que nous nous posons d’abord est: Étant donné un point A exprimé en coordonnés du repère B, comment faire pour exprimer ce point dans le repère C? Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Cinématique directe (7) Référentiels Voici les étapes de la solution. Tout d’abord, il faut déterminer la matrice de rotation qui permet de “passer” du repère C au repère B. Nous noterons celle-ci : CTB Les transformations qui permettent de passer du repère C au repère B sont des rotations et une translation, donc: Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Cinématique directe (8) Référentiels Rappel sur les coordonnées homogènes: Un vecteur en coordonnée homogène: peut subir une translation et/ou une rotation lorsque pré-multiplié par une matrice de transformation. Un vecteur en coordonnée homogène: ne peut subir qu’une rotation lorsque pré-multiplié par une matrice de transformation. Une matrice de transformation homogène identité : est une matrice de transformation qui représente un système de coordonnées qui coïncide avec le référentiel de base (aucune transformation). Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Cinématique directe (9) Référentiels Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Cinématique directe (10) Référentiels Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Cinématique directe (11) Référentiels Voici quelques propriétés de la matrice de rotation et de la matrice de transformation: Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Cinématique directe (12) Référentiels Maintenant que nous avons introduit certains concepts de base concernant les référentiels, étudions les référentiels souvent discutés en robotique: Référentiel U: il est surnommé le référentiel universel. Dans certains ouvrages, on peut aussi parler du référentiel de travail. Référentiel R: C’est le référentiel associé à la base du robot. Référentiel H: il est surnommé le référentiel “Hand”, c’est le référentiel associé à la main (porte-outil). Référentiel E : il est surnommé le référentiel effecteur. Il est associé à l’outil. Référentiel P: Référentiel associé à la pièce. Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Cinématique directe (13) Référentiels Maintenant que nous avons introduit certains concepts de base concernant les référentiels, étudions les référentiels souvent discutés en robotique: Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Cinématique directe (14) Référentiels Tel que mentionné, l’ordre de multiplication est important lorsqu’il s’agit de multiplier des matrices de transformation homogènes. De plus, lorsque les matrices de transformation sont utilisées pour décrire la pose de différents repères les uns par rapport aux autres il faut se rappeller de ceci: Lorsqu’on pré-multiplie, la transformation se fait par rapport au repère fixe. Lorsqu’on post-multiplie, la transformation se fait par rapport au repère mobile. Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Cinématique directe (16) Référentiels Il existe plusieurs façon pour décrire l’orientation d’un repère. Pour représenter l’orientation de l’outil, une convention est d’utiliser les angles de roulis (roll), tangage (pitch) et lacet (yaw). Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Cinématique directe (17) Exemple du robot planaire Pour terminer le cours, effectuons la cinématique directe d’un robot “simple”, puisqu’il s’agit d’un robot-planaire à trois degrés de liberté: Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Cinématique directe (18) Exemple du robot planaire Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Cinématique directe (19) Exemple du robot planaire Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Au prochain cours… Suite et fin de la cinématique directe On introduira une manière assez simple et surtout efficace d’effectuer la cinématique directe basée sur les paramètres de Denavit-Hartenberg. On étudiera par la suite des exemples de robot un peu plus complexe. Le robot PUMA (six degrés de liberté – tous des joints rotoïdes) Le robot Stanford (six degrés de liberté – cinq joints rotoïdes et un joint prismatique) Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Références [1] Absolute Beginner’s Guide to Building Robots, Gareth Branwyn, 2003 [2] http://spectrum.ieee.org/automaton/robotics/robotics- software/10_stats_you_should_know_about_robots Notes de cours (ELE3202) – Richard Gourdeau & John Thistle [3] http://www.geekologie.com/2008/12/thats-it-im-moving-robotic-sta.php [4] Robot Modeling and Control, Mark W. Spong et al.,2006. [5] Notes de cours (Manipulateurs) - ELE4203, Richard Gourdeau, juillet 2012. Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011