Introduction à l’automatisation -ELE3202- Cours #6: Critère de stabilité de Routh & Design de PID à partir du lieu des racines Enseignant: Jean-Philippe Roberge Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Cours # 6 Critère de stabilité de Routh (2ième partie): Cas spéciaux Choix d’un gain proportionnel K à l’aide du critère de Routh-Hurwitz Conception de contrôleurs PID à l’aide du lieux des racines Contrôleurs de type proportionnel Contrôleurs de type proportionnel dérivé et à avance de phase Retour sur le cours #5: Exercices concernant le lieux des racines (issus des examens de pratique) Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Cours #6

Critère de Routh-Hurwitz (I) Lors du cours précédent, nous avions vu que le critère de Routh- Hurwitz est un outil pratique qui permet de conclure sur la stabilité d’un système d’ordre quelconque. Nous avions introduit cette matière en présentant la table de Routh- Hurwitz: Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Critère de Routh-Hurwitz (II) Etc... Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Critère de Routh-Hurwitz (III) Exemple 1 Avant d’écrire la table de Routh, il faut s’assurer que la première condition de stabilité est vérifiée : tous les coefficients ai doivent être positifs. Ensuite: s5 1 2 4 s4 8 5 7 s3 b1 b2 s2 c1 c2 s1 d1 s0 e1 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Critère de Routh-Hurwitz (IV) Exemple 1 s5 1 2 4 s4 8 5 7 s3 11/8 25/8 s2 -145/11 s1 559/145 s0 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Critère de Routh-Hurwitz (V) Exemple 1 Il y a deux changements de signe dans la table de Routh: Le système est donc instable et il y a exactement deux racines dans le demi-plan droit du plan complexe (instable). s5 1 2 4 s4 8 5 7 s3 11/8 25/8 s2 -145/11 s1 559/145 s0 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Critère de Routh-Hurwitz (VI) Exemple 1 Effectivement, en utilisant la fonction « roots() » de Matlab: Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Critère de Routh-Hurwitz (VII) Cas spéciaux La table de Routh est très pratique, puisqu’elle permet de conclure assez directement la stabilité d’un système d’ordre n sans avoir à calculer « à la main » toutes les racines du polynôme caractéristique. Cependant, l’analyse de la table de Routh se fait à partir du changement de signe de la première colonne: il est donc obligatoire de se soucier des deux cas spéciaux suivant: 1) Un élément de la première colonne est nul 2) Une ligne entière de la table de Routh est nulle Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Critère de Routh-Hurwitz (VII) Cas spécial #1 : Un élément nul dans la première colonne Solution pour ce premier cas spécial: lorsqu’un élément de la première colonne est nul, on remplace ce dernier par ϵ et on continue le développement de la table. À la toute fin, on fait tendre ϵ vers 0 (depuis la gauche ou la droite) pour effectuer l’analyse de stabilité. Considérons un système dont la fonction de transfert est la suivante: Objectif: Conclure sur la stabilité du système Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Critère de Routh-Hurwitz (VIII) Cas spécial #1 : Exemple tiré de [2] Votre réflexe est d’utiliser le critère de Routh pour vérifier la stabilité du système: s5 1 3 5 s4 2 6 s3 0 ϵ 7/2 s2 (6ϵ -7)/ϵ s1 (42ϵ-49-6ϵ2)/(12ϵ-14) s0 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Critère de Routh-Hurwitz (IX) Cas spécial #1 : Exemple tiré de [2] Le tableau enfin complété, vous pouvez effectué votre analyse en faisant tendre ϵ vers 0 (à partir de la gauche ou de la droite). L’analyse se fait comme suit: Il y a deux changements de signes, donc le système est instable et possède deux racines instables (dans le demi-plan droit du plan complexe): Première colonne de la table de Routh ϵ→0+ ϵ→0- s5 1 + s4 2 s3 ϵ - s2 (6ϵ -7)/ϵ s1 (42ϵ-49-6ϵ2)/(12ϵ-14) s0 3 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Critère de Routh-Hurwitz (X) Cas spécial #2 : Une ligne entière de la table est nulle Solution pour ce deuxième cas spécial: lorsqu’une ligne entière de la table de Routh est nulle, la solution est de : 1) Former un polynôme intermédiaire à l’aide de la ligne précédent la ligne nulle. 2) Dériver ce polynôme intermédiaire par rapport à s 3) Utiliser les coefficients du résultat de la différentiation pour remplacer la ligne de zéros. 4) Tester finalement les racines du polynôme intermédiaire. Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Critère de Routh-Hurwitz (XI) Cas spécial #2 : Exemple tiré de [2] Considérons un système dont la fonction de transfert est la suivante: Votre objectif est de conclure sur la stabilité de ce système, vous utilisez donc le critère de Routh et bâtissez la table en conséquence. Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Critère de Routh-Hurwitz (XII) Cas spécial #2 : Exemple tiré de [2] Remarque: Lorsque l’on construit la table de Routh, il est permit de multiplier une ligne entière par une constante pour obtenir une forme plus convenable, c’est le cas ici pour la deuxième ligne (multiplication par 1/7). La troisième ligne est complètement nulle: s5 1 6 8 s4 7 1 42 6 56 8 s3 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Critère de Routh-Hurwitz (XIII) Cas spécial #2 : Exemple tiré de [2] On considère donc le polynôme intermédiaire donné par la ligne qui précède la ligne de zéros, i.e.: On le dérive par rapport à s: On utilise les coefficients de ce résultat pour remplacer la ligne de 0: s5 1 6 8 s4 s3 4 1 12 3 Aussi, multiplication de la ligne par 1/4 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Critère de Routh-Hurwitz (XIV) Cas spécial #2 : Exemple tiré de [2] On complète finalement le tableau comme à l’habitude: Aucun changement(s) de signe, donc il n’y a aucunes racines dans le demi-plan droit. Effectivement: s5 1 6 8 s4 s3 3 s2 s1 1/3 s0 Cependant, le système est marginalement stable: regardez la forme des racines! Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Critère de Routh-Hurwitz (XIV) Cas spécial #2 : Exemple tiré de [2] Qu’avons-nous oublié lors de notre démarche? Réponse: De vérifier les racines du polynôme intermédiaire Remarque: Lorsque, dans une table de Routh, une ligne est complètement nulle, cela signifie que l’on se trouve dans l’un de ces 2 cas: 1) Racines conjuguées complexes : s=±jω 2) Racines réelles de mêmes valeurs mais de signes opposés: : s=±α Aussi, le polynôme intermédiaire est un facteur du polynôme caractéristique, ce qui implique qu’il partage aussi une partie des ses racines… Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Critère de Routh-Hurwitz (XV) Cas spécial #2 : Exemple tiré de [2] Racines du polynôme caractéristique VS celles du polynôme intermédiaire: Ici, par simple observation, il était possible de constater que le polynôme intermédiaire possédait toutes ses racines conjuguées complexes: c’est pour cette raison que cette étape de la démarche fut « oubliée ». D’ailleurs, tous les polynômes d’ordre n qui ont des coefficients positifs (ai) et des termes en s élevés à une puissance paire possèdent tous des racines conjuguées complexes! Polynôme caractéristique Polynôme intermédiaire Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Critère de Routh-Hurwitz (XVI) Choix d’un gain proportionnel K à l’aide de Routh-Hurwitz Le critère de Routh est souvent utile afin de déterminer pour quelles valeurs de paramètres (gains) du contrôleur le système sera stable. La première colonne du tableau nous fournira alors les conditions de stabilité en fonction des paramètres du contrôleur. Nous avons déjà fait quelques exercices qui démontraient très bien ce fait. On peut aussi utiliser le critère de Routh pour trouver le gain K au point où le lieu des racines croise l’axe des imaginaires. Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Critère de Routh-Hurwitz (XVII) Choix d’un gain proportionnel K à l’aide de Routh-Hurwitz Soit le système suivant, commandé par un contrôleur de type proportionnel: Où: C(s) G(s) Contrôleur Procédé Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Critère de Routh-Hurwitz (XVIII) Choix d’un gain proportionnel K à l’aide de Routh-Hurwitz La fonction de transfert du système en boucle fermée est donc: Il faut donc que: Si K=0 ou K=1386, certaines des racines seront directement sur l’axe imaginaire: système marginalement stable → indésirable s3 1 77 s2 18 K s1 (1386-K)/18 s0 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Critère de Routh-Hurwitz (XIX) Choix d’un gain proportionnel K à l’aide de Routh-Hurwitz 1) 2) 3) K=0 K=1000 K=1386 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Critère de Routh-Hurwitz (XX) Choix d’un gain proportionnel K à l’aide de Routh-Hurwitz Autre exemple: Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Critère de Routh-Hurwitz (XXI) Choix d’un gain proportionnel K à l’aide de Routh-Hurwitz Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de PID à l’aide du lieux des racines (I) Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de PID à l’aide du lieux des racines (II) Dans plusieurs cas, un contrôleur PID permet de répondre aux spécifications du comportement désiré, par exemple le dépassement P le temps de réponse à 2% l’erreur en régime permanent Etc… Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de PID à l’aide du lieux des racines (III) Un contrôleur proportionnel-dérivé permet d’améliorer la réponse en régime transitoire et, jusqu’à un certain degré, l’erreur en régime permanent. Un contrôleur proportionnel-intégral permet d’améliorer la réponse en régime permanent (en tant que suiveur ainsi que régulateur). Un contrôleur PID constitue une combinaison de ces deux contrôleurs. Par ailleurs, dans le domaine temporel: Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de PID à l’aide du lieux des racines (IV) Contrôleur de type P Il existe plusieurs outils de conception de contrôleurs ; nous utiliserons comme outil principal de design le lieu des racines. Pour illustrer cette méthode, commençons par considérer le système ci- dessous: C(s) G(s) Contrôleur Procédé Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de PID à l’aide du lieux des racines (V) Contrôleur de type P Le contrôleur le plus simple est un contrôleur proportionnel, qui n’a qu’une seule constante K comme fonction de transfert. En particulier, il ne permet pas de modifier de façon indépendante les valeurs de ζ et de ωn. Ce dernier fait sera illustré par notre exemple. Le polynôme caractéristique du système en boucle fermé est: Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de PID à l’aide du lieux des racines (VI) Contrôleur de type P Utilisons les règles d’Evans pour tracer le lieu des racines: Le point de départ des deux branches du lieu des racines débute aux positions des pôles du système en boucle ouverte, donc en s1 = 0 et s2 = -5 Le centre de gravité des asymptotes sera: Angles des asymptotes: Points d’intersection: Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de PID à l’aide du lieux des racines (VII) Contrôleur de type P Angles de départ: Pôle #1: Pôle #2: Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de PID à l’aide du lieux des racines (VIII) Contrôleur de type P Rappel – temps de réponse à 2%: Dans l’exemple que nous venons d’étudier, à toute paire de pôles complexes qui se trouvent sur chacune des branches, il ne correspond qu’une même valeur de ζωn : Si on augmente K de façon à s’éloigner de l’origine et ainsi augmenter la valeur de ωn, alors il faut forcément diminuer ζ par le même facteur. Par conséquent, on se trouve dans l’impossibilité de diminuer le temps de réponse du système! Pour pouvoir mieux répondre aux diverses spécifications, il faut considérer des contrôleurs de formes plus générales (PI, PD ou PID). Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de PID à l’aide du lieux des racines (IX) Contrôleurs PD et avance de phase La fonction de transfert d’un contrôleur de type PD s’écrit comme suit: Le terme Kp donne lieu à un composant de la commande qui est directement proportionnel à l’erreur. Le terme Kds procure un composant qui est proportionnel à la dérivée de l’erreur. Ce contrôleur PD ajoute à la fonction de transfert en boucle fermée un zéro à s = −1/τPD. Le lieu des racines correspondant à la fonction de transfert en boucle ouverte C(s)P(s) = Kd(s + 11)P(s) est présenté à la figure suivante. Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de PID à l’aide du lieux des racines (X) Contrôleurs PD et avance de phase Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de PID à l’aide du lieux des racines (XI) Contrôleurs PD et avance de phase Pour bien comprendre comment l’ajout du zéro modifie la forme du lieu, effectuons un bref rappel: i) La relation d’amplitude: ii) La relation d’angle: Ce système de deux équations étant équivalent à l’équation originale, un point s se trouve sur le lieu des racines si et seulement s’il répond à ces deux équations. Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de PID à l’aide du lieux des racines (XII) Contrôleurs PD et avance de phase L’angle de G(s) étant donné par: Soit la partie imaginaire de s positive, Alors la contribution d’un terme (s− s0) est illustrée ci-dessous: Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de PID à l’aide du lieux des racines (XIII) Contrôleurs PD et avance de phase Étant donnée la forme de notre expression pour l’angle de G(s), on voit que les zéros apportent une contribution positive à l’angle pour un s à partie imaginaire positive, alors que les pôles y apportent une contribution négative. L’effet de l’ajout du contrôleur PD est donc d’apporter une contribution positive à l’angle de la fonction de transfert G(s): Pour que la relation d’angle soit toujours remplie, la contribution des pôles doit devenir plus négative. On peut vérifier que ceci veut dire que le lieu se déplace vers la gauche et vers la partie négative de l’axe des réels. L’ajout d’un contrôleur PD permet donc d’obtenir des pôles en boucle fermée avec des rapports d’amortissement ζ augmentés pour une pulsation naturelle ωn donnée. Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de PID à l’aide du lieux des racines (XVI) Contrôleurs PD et avance de phase Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de PID à l’aide du lieux des racines (XVII) Contrôleurs PD et avance de phase Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de PID à l’aide du lieux des racines (XVIII) Contrôleurs PD et avance de phase Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de PID à l’aide du lieux des racines (XIX) Contrôleurs PD et avance de phase Un contrôleur PD ne devrait pas être implanté sous la forme idéale K + Kds = Kd(s + 1/τPD). En effet, le module de la réponse fréquentielle de ce contrôleur est: qui s’accroît sans borne en fonction de la fréquence ω. Un contrôleur avec cette fonction de transfert serait donc non souhaitable, et amplifierait de façon excessive le bruit de mesure. Par conséquent, un contrôleur réel a souvent la forme d’un contrôleur avance de phase : Noter que le module de la réponse fréquentielle d’un tel système tend vers KA lorsque ω tend vers 0, et vers KA lorsque ω tend vers l’infini. C’est ce qui introduit la matière du prochain cours! Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Exercices

Retour sur le cours #5 (I) Exercices Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Retour sur le cours #5 (II) Exercices Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Retour sur le cours #5 (III) Exercices Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Retour sur le cours #5 (IV) Exercices Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Prochain cours Contrôleurs à avance de phase Contrôleurs proportionnel-intégral (PI) et à retard de phase Fin des exercices des examens de pratique Réponse à vos questions Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Références [1]Modern Control Systems – Richard C. Dorf & Robert H. Bishop [2]Control Systems Engineering – Norman S. Nise [3]Notes de cours (ELE3202) – Richard Gourdeau & John Thistle [4]Linear System Theory – Wilson J. Rugh Jean-Philippe Roberge - Février 2011