Rapide Approche historique de la géométrie… pour quelques implications pédagogiques…

Les débuts de la géométrie Géométrie: « mesure de la terre » Textes mathématiques les plus anciens:  tablettes babyloniennes (1800/1500 av JC)  Papyrus de Rhind (vers 1650 av J.C)  Le grec Hérodote(486-420 av J.C) lie la géométrie à la redistribution des terres après chaque crue du Nil  Origine liée à des problèmes pratiques

PERIODE CLASSIQUE  Les Grecs (VIème siècle avant JC): Apparition avec les grecs d’une science déductive s’appuyant sur des démonstrations, théorèmes, définitions et axiomes. Dégagement du monde sensible en dépassant les simples observations

Les principaux fondateurs Thalès de Milet  Triangles semblables Pythagore de Samos  école pythagoricienne (philosophie, mathématiques et sciences naturelles)  Carré de l’hypoténuse Construction des cinq polyèdres réguliers convexes Quadrature du cercle

« Nul ne doit entrer sous mon toit s’il n’est géomètre » Hippias d’Elis La quadatrice Hippocrate de Chio Carrer des lunules Platon « Nul ne doit entrer sous mon toit s’il n’est géomètre » La démonstration devient la spécificité des mathématiques, s’éloignant de la simple observation et de l’expérience

EUCLIDE ET LA PERIODE HELLENISTE « Les éléments » (420-380 av JC) 13 livres avec au total 465 énoncés et leurs démonstrations Illustration de la notion de système déductif Archimède et Apollonius  Traité Ptolémée -> Astronomie et trigonométrie Erasthogène  Duplication des cubes …/…

Trois problèmes grecs La trisection de l'angle : la duplication du cube : la quadrature du cercle :

Pour ces trois problèmes, la réponse est NON!   La trisection de l'angle, la duplication du cube, et la quadrature du cercle sont trois problèmes grecs classiques qui ont été résolu grâce   Pour ces trois problèmes, la réponse est NON! leur résolution est due aux progrès de la théorie des corps au XVIIIè et XIXè siècle. Leur point commun est de vouloir construire à partir d'une figure, une autre figure vérifiant certaines propriétés, en n'utilisant que la règle et le compas. Derrière ce théorème se cachent des considérations assez profondes concernant la nature de nombres comme pi, ou racine cubique de 2. Par exemple, l'impossibilité de la quadrature du cercle est une conséquence de la transcendance de pi

LA CHINE ET L’INDE Chine: « Neuf chapitres sur l’art mathématique »  Problèmes et solutions: Arpentage, dimensions des greniers, construction de digues et canaux  Liu Hui : donne une approximation de Pi, volume d’une pyramide et prouve le théorème de Pythagore Inde: « Les védas » contiennent des éléments de géométrie pour la constructions de monuments «  Sulvasutra » le traité du cordeau

LES APPORTS DES ARABES Du IX ème au XIIème siècle Traduction des textes grecs pour appropriation, critiques et ajouts  Calculs des aires et des volumes (Banu, Thabit Ibn Qurra, Al-Karadji)  Trigonométrie (Al-Battani, Abu al Wafa)  Constructions géométriques fondamentales Théorie des parallèles Traduction latine de textes arabes favorise la découverte d’exposés mathématiques

LA RENAISSANCE Du XIV ème au XVIIème siècle: diffusion des travaux des savants arabes par les échanges commerciaux Italie : Luca Pacioli  summa, Nicolas de Cues (approximation de pi à partir des polygones), Règles de perspectives De Vinci  Représentation de l’espace Parution de nombreux traités (Dürer, Della Francesca…)

GEOMETRIE ANALYTIQUE Descartes  la «Géométrie » (1637) applique l’algèbre à la géométrie Pierre de Fermat  équation des courbes XVIIIème  combinaison du calcul infinitésimal combinés aux progrès de la géométrie analytique sont à l’origine de la géométrie différentielle Alexis Clairaut  Équations des surfaces Gaspard Monge  géométrie descriptive

LE RENOUVELLEMENT GEOMETRIQUE XIX ème  Théorie des ensembles (étude des relations entre les objets ) Géométrie non-euclidienne (Gauss, Bolyai, Labatchevski) remise en cause des postulats pour avancer dans la recherche Riemman (1867)  Notion de géométrie adaptée à la théorie de la relativité (elliptique) Klein (1871)  présentation réunifiée des 3 géométries

Quelques implications pédagogiques Se confronter avec des situations concrètes (complexité) Passage de la géométrie «du voir » à un géométrie « argumentée » vers une géométrie « démontrée » Utiliser un vocabulaire adapté Confronter, valider, communiquer les résultats

Mettre en œuvre (anticiper, concevoir, suivre) des stratégies personnelles puis expertes Importance des écrits (transmission, mémoire, représentation) Orienter les activités autour de la:  Représentation,  Description,  Reproduction,  Construction

Bibliographie Enseigner la géométrie, A.Bertotto Bordas Aider les élèves en difficulté en mathématiques CP/CE1, C.Berdonneau, Hachette Éducation