Dérivation des équations fluides Pour chaque fluide (ions et électrons) pris séparément. 1. Continuité Nombre de particules quittant le volume à travers la surface S (le terme « quittant » fait référence au fait que la normale au cube dans la direction x1 en x1+dx1 est orientée vers l’extérieur, i.e. les x1 positifs) Nombre de particules pénétrant dans le volume en x1 (en x1 la normale au cube est orientée vers les x négatifs) Si l’on suppose qu’il n’y a pas de gain ou de perte +contribution des autres faces Ionisations et recombinaisons donc ou

Forces macroscopiques 2. Impulsion Forces macroscopiques Flux dans la direction d’impulsion dirigée dans la direction Nombre de particules par unité de surface et par unité de temps passant à travers une surface x=cte fois l’impulsion dans la direction En sommant sur les directions: On définit le tenseur de pression par: Le flux dans la direction i d’impulsion dans la direction j est donc: En combinant Note: Si P est isotrope: En utilisant l’équation de conservation de la masse:

Equation d’état Forme la plus simple γ=1 : cas isotherme quand la compression est lente par rapport à la conduction thermique γ=5/3 : cas adiabatique quand la compression est rapide mais suffisamment lente pour que l’énergie puisse être échangée par collision entre les trois degrés de liberté. Si la compression est rapide par rapport à la conduction et aux collisions: Il faut tenir compte de l’anisotropie. On verra qu’alors:

Equations bi-fluides: Les équations de continuité s’appliquent séparément pour chaque fluide mais il faut tenir compte dans l’équation pour l’impulsion des collisions entre particules différentes. Le taux auquel l’impulsion par unité de volume est gagné par l’espèce α du aux collisions avec l’espèce β s’écrit: où est appelé fréquence de collision Il faut donc rajouter dans l’équation pour l’espèce α un terme de la forme On doit avoir

Equations mono-fluide On définit On obtient alors: où La pression P désigne ici la somme des pressions des ions et des électrons calculées avec la déviation entre la vitesse des particules et la vitesse barycentrique du fluide global u (et non la vitesse de chaque fluide pris séparément).

Approximations supplémentaires conduisant aux équations de la MHD Quatre étapes: Lentes variations temporelles: négliger le courant de déplacement 2. Neutralité de charge: Mais où Dans le soleil: 3. Loi d’Ohm: dans le référentiel des ions, les électrons, supposés froids, obéissent à

4. Passage du référentiel des ions au référentiel du laboratoire Négliger l’inertie des électrons (pas de contribution des mouvements de gyration aux courants) Supposer que le champ magnétique n’a pas de gradient à petite échelle. 4. Passage du référentiel des ions au référentiel du laboratoire Transformation de Galilée: Transformation de Lorentz: D’où: Equation de Faraday: On a: Terme de diffusion est le nombre de Reynolds magnétique est la résistivité.

Force exercée sur le fluide: La force de Lorentz moyenne sur la collection d’ions et d’électrons s’écrit En utilisant la condition de neutralité: Tension magnétique Pression magnétique Paramètre β:

Théorème du champ gelé Dans le cas où le terme diffusif est négligeable: Flux du champ magnétique à travers la surface A: En utilisant l’équation de divergence nulle : on obtient et Donc:

Caractère gelé du champ: Soient P et Q deux éléments de plasma initiallement situés sur une ligne de champ à l’intersection de deux surfaces magnétiques S1 et S2. Le flux magnétique sur ces deux surfaces est nul et le reste. Ces deux surfaces restent donc des surfaces magnétiques et leur intersection reste donc sur une ligne de champ. Le champ est gelé dans le plasma Q P Autre forme de l’équation d’induction: En combinant avec l’équation de continuité:

Autre démonstration: Montrer que si initialement alors L reste parallèle à B Nul par hypothèse

Conservation de l’énergie totale (pression isotrope, MHD idéale): En présence de diffusion, l’effet Joule conduit à une dissipation d’énergie égale à

Références: Solar Magneto-hydrodynamics, E.R. Priest, D. Reidel Publishing Company, 1984 Physique des plasmas (1 et 2), J.L. Delcroix, A. Bers, Savoirs Actuels, InterEditions, CNRS Editions, 1994 Introduction to Plasma Theory, D.R. Nicholson, Krieger Publishing Company, 1992. Basic Space Plasma Physics, W. Baumjohann et R.A. Treumann, Imperial College Press, 2004. Principles of magnetohydrodynamics, H. Goedbloed et S. Poedts, Cambridge University Press, 2004 The Physics of Plasmas, TJM Boyd et J.J. Sanderson, Cambridge University Press, 2003 Physique des plasmas, J.M. Rax, Cours License, Master, Dunod, 2005 The Physics of Astrophysics, vol II, Gas Dynamics, F.H. Shu, University Science Books, 1992 Nonlinear magneto-hydrodynamics, D. Biskamp, Cambridge University Press, 1993