Analyse temps-fréquence Spectrogramme Distribution de Wigner Ville SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

Les signaux non stationnaires Un signal dont la ‘ structure ’ change au cours du temps parole, musique, impacts, ‘ chirp ’, machines tournantes lors d ’accélération ou décélération, on souhaite faire l ’analyse en fréquence de régions locales du signal .i.e. localisée temporellement.  ANALYSE TEMPS FREQUENCE Une limite « le principe d’incertitude  » B largeur de bande fréquentiel d ’un signal, T durée du signal alors : BT 1/2 plus on veut se localiser sur une portion d ’un signal moins on peut spécifier les fréquences précisément SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

Le spectrogramme formulation DSP x(t) signal stationnaire x(t) x (f) =   x(t).e-2jft 2 est indépendant du temps Spectrogramme : non stationnaire = suite de non stationnarités Sx (t,f) =   x(u).h(u-t).e-2jft 2 est fonction du temps et de la fréquence h(t) est une fenêtre glissante bonne résolution temporelle si h(t) courte bonne résolution fréquentielle si h(t) longue SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

Représentation ‘ Waterfall ’ (ou cascade) SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

Le spectrogramme Représentation plan SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

Le spectrogramme quelques propriétés Les plus: positif, extension directe de Fourier, interprétation identique en fréquences pas de termes d ’interférences Les moins: principe d ’incertitude BT 1/2, compromis entre résolutions en fréquence et en temps la résolution et les lois en fréquence sont fonction de la fenêtre l ’optimisation des fenêtres nécessite des informations a priori sur le signal SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

Spectrogramme: chirp nfft=64 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

Spectrogramme: chirp nfft=128 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

Spectrogramme chirp nfft=256 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

Spectrogramme chirp nfft=512 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

Spectrogramme: double chirp (nfft=128) SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

Spectrogramme: double chirp (nfft=256) SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

Spectrogramme: double chirp (nfft=512) SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

Spectrogramme: signal d ’engrenage (nfft=256) SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

Spectrogramme: signal d ’engrenage (nfft=1024) SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

Comment définir une fréquence ? Dans le cas stationnaire Fourier « Sinusoïde de durée infinie » Dans le cas non stationnaire même définition que le cas stationnaire mais QUI VARIE DANS LE TEMPS?? Impossible à cause du principe d’incertitude On définit alors la FREQUENCE INSTANTANEE signal analytique, cette quantité est fonction du temps, elle correspond à la sinusoïde qui suit au mieux le signal cependant elle est adaptée à un signal à bande étroite (.i.e. une composante) SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence Fréquence instantanée et retard de groupe pour un signal monochromatique Fréquence instantanée x(t) = cos (2. .f0.t) xa(t) = cos (2. .f0.t) + j. sin (2. .f0.t) = e 2.j. .f0.t fi (t) = 1/2. d/dt { arg (xa(t) } = f0 localisation en fréquence d ’une composante temporelle Retard de groupe Xa(f) = TF { xa(t) } tg = 1/2. d/df { Arg Xa(f) } retard de groupe x(t) = cos (2. .f0.t), xa(t) = e 2. .f0.t Xa(f) =  (f-f0)  tg=0 x(t) = cos (2. .f0.(t-t0)), xa(t) = e 2. .f0.(t-t0) Xa(f)=  (f-f0).e-2 .j f0t0  tg=t0 localisation en temps d ’une composante fréquentielle SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

Distributions temps fréquence Objectifs: Améliorer la résolution en temps et en fréquence de l ’analyse d ’un signal non stationnaire Des représentations temps- fréquence ont été développées pour avoir la meilleure répartition de l ’énergie dans ce plan. Ces représentations sont dites représentations quadratiques Distribution de Wigner, Classe générale de Cohen d ’autres représentations existent (Choï Williams, ..) SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

Quelles sont les propriétés souhaitées pour une représentation T-F ?? SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

Fréquence instantanée et retard de groupe pour un chirp Chirp (sinus à balayage linéaire d ’amplitude constante (durée infinie) x(t) = a. cos ( 2(t)) = a. cos(2(f0t + b/2.t2)) xa(t) = a. e 2j(f0t + b/2.t^2), Xa(t) = A(f) e j  (t) fréquence instantanée f(t) = (1/2).d(t)/dt = f0+b/2.t retard de groupe tg(f)= (1/2).d(t)/df = -2/b.(f-f0) réciprocité entre la fréquence instantanée et le retard de groupe Ces notions sont importantes pour les signaux mono composantes pour les signaux dont l ’amplitude varie lentement vis-à-vis de la fréquence la plus basse Dans les autres cas, la fréquence instantanée sera une valeur moyenne SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

La fonction d’autocorrélation et DSP Aléatoire stationnaire Aléatoire , non stationnaire SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

La fonction d’autocorrélation signal déterministe Ecriture de la fonction d ’autocorrélation Déterministe SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

Spectre de Wigner Ville : définition Pour un signal déterministe Cas particulier : On obtient la transformation de Wigner Ville SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

Distribution de Wigner Ville Signaux déterministes Signaux aléatoires Rem: la représentation de Wigner Ville prend en compte TOUT le signal. Pour les signaux déterministes => Représentation de WV Pour les signaux aléatoires => Spectre de WV SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

Propriétés de la TF de Wigner Ville (1) SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

Propriétés de la TF de Wigner Ville (2) Inconvénients Valeurs négatives locales !!! Interférences entre les composantes des signaux ceci est du au produit x(t-T/2) x(t+T/2) Avantages meilleure résolution en temps et fréquence puisque on utilise tout le signal propriétés marginales estimation des modulations de fréquences du retard de groupe SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

Wigner Ville cas discret l ’indice l, dans la TFWV directe correspond à l.t/2 l ’indice k, dans la TFWV inverse correspond à k/2.M.t D ’où un échantillonnage 2 fois plus fin! Autre interprétation: le produit des 2 signaux x(t), x(t+T/2) donne dans le domaine fréquentiel une convolution avec un spectre de largeur double! D ’où la nécessité d ’échantillonner à une fréquence double de celle de Nyquist! SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

Transformée de Wigner Ville Utilisation du signal analytique Au lieu d ’utiliser x(t), on utilise souvent le signal analytique de x(t) Ce signal a un spectre défini uniquement pour les fréquences positives. Ce permet: d ’éviter d ’échantillonner à la fréquence double! d ’éviter les interactions entre les fréquences positives et négatives du spectres. Formulation basée sur la TF des signaux remarque: il n ’y a pas de pertes d ’informations WV est défini pour les fréquences positives, sans pertes d ’informations SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

Pseudo Wigner-Ville et Pseudo Wigner-Ville Lissé Pseudo Wigner Ville : lissage en fréquence version lissée en fréquence on utilise une portion du signal moins bonne résolution en fréquence Pseudo Wigner Ville Lissé : lissage en temps et fréquence convolution bi-dimensionnelle réduction des interférences positivité perte de résolution T-F SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence Pseudo WV chirp nfft=64 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence Pseudo WV chirp nfft=128 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence Pseudo WV chirp nfft=256 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence Pseudo WV chirp2 nfft=64 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence Pseudo WV chirp2 nfft=128 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence Pseudo WV chirp2 nfft=256 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

Pseudo WV signaux d ’engrenage nfft=256 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

Pseudo Xigner Ville Lissé et Spectrogramme Interprétation: le spectrogramme correspond à une version lissée du spectrogramme WV du signal WV de la fenêtre SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence Annexe : représentation générale des représentations quadratiques La classe de Cohen SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

Cas particuliers de la classe de Cohen Forme générale SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence