Illustration dans le plan complexe du repliement spectral lors de l’échantillonnage d’un mouvement régulier de rotation dont on modifie la fréquence début Certaines transitions du diaporama sont automatiques pour les modifier sous powerpoint sélectionner diaporama>transition>avancer>choisir manuellement eu lieu d ’automatiquement ou modifier la durée d ’affichage de la diapositive leroux@essi.fr

Le repliement spectral dû à l’échantillonnage stroboscope Le repliement spectral dû à l’échantillonnage est similaire à l’effet stroboscopique : Photographie recopiée du site http://www.arches.uga.edu/~neg273c/emergence.html Illustration par le mouvement d’une roue au cinéma (24 images par seconde) à la télévision (25 images par seconde)

Fréquence de la rotation 24 fois plus petite que la fréquence d’échantillonnage fréquence faible temps fréquence 1 2 24 Hz 1 s

Lorsque la fréquence est faible on suit bien le mouvement

On suit très bien le mouvement

Fréquence de la rotation fréquence augmentée Fréquence de la rotation 12 fois plus petite que la fréquence d’échantillonnage On augmente la fréquence temps fréquence 1 2 24 Hz 1 s

On suit encore le mouvement

Fréquence de la rotation 4 fois plus petite que la fréquence d’échantillonnage fréquence moitié temps fréquence On augmente la fréquence jusqu ’à la moitié de la fréquence d ’échantillonnage: il n ’est plus possible de suivre le mouvement , on ne sait plus dans quel sens s ’effectue la rotation 1 2 6 12 24 Hz 1 s Le mouvement est moins bien suivi

Le mouvement est moins bien suivi

Fréquence de la rotation fréquence moitié Fréquence de la rotation 2 fois plus petite que la fréquence d’échantillonnage temps fréquence On augmente la fréquence jusqu ’à la moitié de la fréquence d ’échantillonnage: il n ’est plus possible de suivre le mouvement , on ne sait plus dans quel sens s ’effectue la rotation 1 2 12 24 Hz 1 s Le sens de rotation n’apparaît plus

Le sens de rotation n’apparaît plus

Une fréquence positive Augmentation de la fréquence de rotation au delà de la moitié de la fréquence d’échantillonnage fréquences négatives Une fréquence positive apparaît comme Une fréquence négative n ’est rien d ’autre qu ’un sens de rotation opposé une fréquence négative

Mouvement à fréquence positive (convention du sens des aiguilles)

Mouvement à fréquence positive (convention du sens des aiguilles)

Mouvement à fréquence positive (convention du sens des aiguilles)

Mouvement à fréquence positive (convention du sens des aiguilles)

Mouvement à fréquence positive (convention du sens des aiguilles)

Mouvement à fréquence positive (convention du sens des aiguilles)

Mouvement à fréquence positive (convention du sens des aiguilles)

Changement de signe : fréquence négative changement de sens

Changement de signe : fréquence négative

Changement de signe : fréquence négative

Changement de signe : fréquence négative

Changement de signe : fréquence négative

Changement de signe : fréquence négative

Changement de signe : fréquence négative

un peu en dessous de la fréquence d ’échantillonnage Fréquence de la rotation légèrement plus petite que la fréquence d’échantillonnage : le mouvement apparaît inversé un peu en dessous de la fréquence d ’échantillonnage Au delà de la moitié de la fréquence d ’échantillonnage une fréquence apparaît comme une fréquence négative temps 1 s fréquence -1 1 2 23 24 Hz

Au lieu de la fréquence w, on observe la fréquence w - wech qui est négative w - wech = 23-24 = -1

un peu au dessus de la fréquence d ’échantillonnage Fréquence de la rotation égale à la fréquence d’échantillonnage : la rotation ne se voit plus, la roue paraît immobile un peu au dessus de la fréquence d ’échantillonnage Au delà de la fréquence d ’échantillonnage, on confond la fréquence avec la fréquence obtenue en lui soustrayant la fréquence d ’échantillonnage temps 1 s fréquence w - wech = 24-24 = 0 -1 1 2 24 25 Hz

un peu au dessus de la fréquence d ’échantillonnage Fréquence de la rotation plus grande que la fréquence d’échantillonnage : résultat identique au premier cas, repliement spectral un peu au dessus de la fréquence d ’échantillonnage Au delà de la fréquence d ’échantillonnage, on confond la fréquence avec la fréquence obtenue en lui soustrayant la fréquence d ’échantillonnage temps 1 s fréquence w - wech = 25-24 = 1 -1 1 2 24 25 Hz

Au lieu de la fréquence w, on observe la fréquence w - wech Repliement spectral

condition de nyquist 1 Un mouvement sinusoïdal réel est la somme de deux composantes complexes l’une de fréquence positive et l’autre de fréquence négative condition de nyquist 1 2 cos wt = e jwt + e - jwt 2j sin wt = e jwt - e - jwt L ’interprétation d ’un mouvement monodimensionnel réel se fait en le considérant comme la somme de deux mouvements de sens opposés dans le plan -w w fréquence

Pour ne pas perdre d’information lors de l’échantillonnage d’un mouvement réel, sa fréquence doit être inférieure à la moitié de la fréquence d’échantillonnage. condition de nyquist 2 On en déduit la condition de nyquist shannon -1/2wech 1/2wech -w w fréquence

Effet stroboscopique : Plateau, von Stampfer (1830) Analyse du mouvement, Chronophotographie : Muybridge, Marey (1870) Cinématographe : Edison, Lumière (1890) Théorie de l’échantillonnage pour les transmissions : Nyquist (1928), Shannon (1948) références Rechercher les références bibliographiques Consultez les différents sites qui leur sont consacrés ! Une illustration sonore du repliement http://www.essi.fr/~leroux/listen_to_aliasing