Pour voir où nous en sommes dans le cours S.S.I. Signal numérique Rappel de la démarche suivie spectre expliquer le signal numérique utiliser Matlab comment exploiter le spectre comment bien échantillonner, et que signifie ‘sous échantillonner’ qu’est ce qu’un filtre ? comment créer des filtres quasi rectangulaires Comment créer des bancs de filtres pour découper le spectre Comment compresser avec un banc de filtres et un sous échantillonnage Du son à l’image numérique Sous-échantillonner Nous sommes ici ! filtrer Créer des filtres quasi rectangulaires Des bancs de filtres pour découper le spectre Compresser selon le principe de mp3 Du son à l’image ?

Filtrage (numérique) des Signaux Importance de l’interprétation dans le domaine des fréquences Exemples d’objectifs du filtrage (sons, images, transmissions, ...) Formalisation d’un filtre (convolution) ; notion de causalité Lien avec la transformée de Fourier et la transformée en z Filtres à réponse impulsionnelle finie (ou non récursifs) Technique élémentaire de synthèse des filtres numérique Exemples de filtres utilisé en compression MP3 et en reconnaissance de parole Filtres non récursifs ; problème de stabilité Illustration en synthèse de son (timbre d’un instrument, compression de la voix en téléphonie mobile)

Importance de l’interprétation dans le domaine des fréquences Opération usuelle de filtrage, d’annulation d’écho, etc ... : déformation linéaire invariante dans le temps par un milieu de transmission Signal émis Signal capté et déformé Milieu de transmission Une composante sinusoïdale est amplifiée et déphasée différemment suivant la fréquence : trouver cette déformation et la compenser Atténuation Déphasage -2.35696 -1.57233 -0.78770 -0.00307 0.78157 1.56620 2.35083 3.13546 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 -3.14159 -2.35696 -1.57233 -0.78770 -0.00307 0.78157 1.56620 2.35083 3.13546 -2 -1 1 2 ( XR ) visut ( XPH ) visut ( XR ) visut Fréquence Fréquence Filtrer un signal c’est calculer une combinaison linéaire d’échantillons successifs du signal afin de modifier l’amplitude et la phase de ses composantes sinusoïdales

Exemples de Filtrage Lissage par filtrage passe-bas élimination d’une (atténuation du bruit) élimination d’une composante à 50 Hz temps temps composante à 50 Hz fréquence

Modulation d ’amplitude = translation en fréquence exemple d’utilisation du filtrage en communication numérique 30 80 130 -1.2 -0.8 -0.4 -0.0 0.4 0.8 1.2 30 80 130 -1.2 -0.8 -0.4 -0.0 0.4 0.8 1.2 8 16 24 32 -1.2 -0.8 -0.4 -0.0 0.4 0.8 1.2 -50 50 100 2 5 8 8 16 24 32 -1.2 -0.8 -0.4 -0.0 0.4 0.8 1.2 -50 50 100 2 5 8 Bande de base 8 16 24 32 -1.2 -0.8 -0.4 -0.0 0.4 0.8 1.2 -50 50 100 2 5 8 8 16 24 32 -1.2 -0.8 -0.4 -0.0 0.4 0.8 1.2 -50 50 100 2 5 8 modulation 8 16 24 32 -1.2 -0.8 -0.4 -0.0 0.4 0.8 1.2 -50 50 100 2 5 8 Addition, transmission (multiplexage) ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( time time time time time time x1 x2 x1 y2 y1 ) ) ) ) ) ) YY1 YY2 XX2 XX1 YY1 ) ) ) ) ) frequence frequence frequence ys frequence frequence démodulation -50 50 100 2 5 8 8 16 24 32 -1.2 -0.8 -0.4 -0.0 0.4 0.8 1.2 -50 50 100 2 5 8 8 16 24 32 -1.2 -0.8 -0.4 -0.0 0.4 0.8 1.2 8 16 24 32 -1.2 -0.8 -0.4 -0.0 0.4 0.8 1.2 -50 50 100 2 5 8 -50 50 100 2 5 8 filtrage ( YYS ) ( time yrec2 ) frequence 8 16 24 32 -1.2 -0.8 -0.4 -0.0 0.4 0.8 1.2 ( YYR1 ) frequence ( time yrec1 ) ( time yr2 ) ( time yr1 ) ( YYR1 ) ( ( YYRT2 YYR2 ) ) frequence frequence frequence ( YYRT1 ) frequence temps fréq. temps fréq.

Filtrage des bruits ( par exemple lorsque le signal intéressant est dans les basses fréquences) (basses fréquences = variations lentes)

Filtrage passe bas d’une image

filtrage passe haut (dérivation) d’une image en vue de la détection de contours (il y a contour quand il y a une variation rapide de l’intensité) Pour mettre en évidence les contours on amplifie les hautes fréquences

filtrage spatio - temporel Application en Radar, Sonar, antennes adaptatives en communications numériques filtrage spatio - temporel deuxième onde (provenant d’une autre direction) onde plane provenant d’une direction Traitement d’antennes : Retrouver par un réseau de capteurs (antenne) la direction de propagation des ondes sonores ou électromagnétiques en ajustant les gains et les retards appliqués à chacun des signaux captés et reconstruire le signal provenant de cette direction (et remplacer les antennes paraboliques pour les réceptions satellites)

Filtrage (numérique) des Signaux Numérique : dès que la bande de fréquence occupée par le signal est suffisamment faible pour le permettre : plus fiable, plus souple que le filtrage analogique ; actuellement les téléviseurs font des traitements numériques (de l’ordre d’un milliard de multiplications par seconde) Filtrage numérique = convolution discrète* y(t) = St h(t) x(t-t) entrée (signal original) sortie signal filtré filtre caractérisé par sa réponse impulsionnelle x(t) y(t) h(t) Filtre causal : sa réponse impulsionnelle h(t) est nulle pour les temps négatifs (en général nécessité pour la programmation) * filtrage analogique = équation différentielle linéaire

Filtrage (numérique) des Signaux Résultat fondamental pour l’interprétation et parfois pour l’implémentation La transformée de Fourier (ou la transformée en z) Y(z) d’une convolution y(t) de deux fonctions x(t) et h(t) est le produit des transformées X(z) et H(z) de ces deux fonctions y(t) = St h(t) x(t-t) Y(z)=H(z).X(z) Y(ei.w)=H(ei.w).X(ei.w) Fourier / z La transformée de Fourier de x(t) est X(ei.w) : valeur de X(z) pour z= ei.w transformée en z d’une convolution ~ produit de polynômes

Filtrage (numérique) des Signaux filtre à réponse impulsionnelle finie Schéma x(t) y(t) B(z) Convolution = filtre à réponse impulsionnelle finie = filtre non récursif La fonction de transfert B(z) est un polynôme Synthèse d’un filtre En général on se donne la réponse en fréquence du filtre (par transformée de Fourier inverse on obtient la réponse impulsionnelle b(t)) Filtre passe-bas : typiquement pour réaliser un lissage Filtre passe-bande : ne conserver que les composantes dans une bande de fréquence ; ainsi dans MP3 le signal est filtré dans quelques dizaines de bandes de fréquences et analysé dans chacune de ces bandes

synthèse des filtre numériques à réponse impulsionnelle finie Filtre idéal réponse en fréquence (module et éventuellement phase) Bande passante Bande de transition Bande atténuée « Gabarit » : tolérance freq. Fréquence de coupure transformée de fourier inverse : réponse impulsionnelle troncature dans le domaine temporel : modification de la réponse en fréquence transformée de Fourier : vérification : est ce que le gabarit est respecté

Fréquence Temps Troncature Oscillations Troncature Réalisation d’un filtre passe-bande Fréquence Temps Troncature Oscillations Troncature (Atténuation des oscillations en utilisant une fenêtre de pondération)

Lissage par filtrage passe-bas fréquence d’échant. fréquence

Principe du codage MP3 Filtrage des signaux dans différentes bandes de fréquences T. Cos et codage T. Cos et codage T. Cos et codage Emission des données T. Cos et codage T. Cos et codage Sélection des canaux utiles (effet de masquage 1er codage T. Fourier

Filtres MP3 Réponse impulsionnelle des filtres (sans la modulation) Temps(échantillons) Réponse en fréquence du filtre (la modulation se traduit par une translation en fréquence pour chacun des filtres) Fréquence(kHz) Fréquence d’échantillonnage 44100Hz

Filtrage dans différentes bandes de fréquences l’évolution de l’énergie en sortie de chacun des filtres sert de base aux techniques de reconnaissance de parole

Cas des filtres récursifs Convolution = filtre à réponse impulsionnelle finie = filtre non récursif La fonction de transfert H(z) est un polynôme Cas des filtres récursifs Cas des filtres récursifs (ou à réponse impulsionnelle infinie) analogie avec les filtres à temps continu : l’équation différentielle est approximée par une équation aux différences et se traduit par une équation récurrente Meilleure modélisation de résonances Synthèse de parole et de sons Mais problèmes de précision et de stabilité (bouclage)

Cas des filtres récursifs y(t) = x(t) - Sp a (k) y(t-k) (en synthèse de parole l’ordre p vaut 10 ou 12) k=1 Y(z) = X(z) A(z) = 1 1+ Sp a (k) z-k k=1 schémas usuels La fonction de transfert n’est plus un polynôme mais une fraction rationnelle x(t) y(t) - Sp a (k) y(t-k) k=1 x(t) y(t) Bouclage = risque d’instabilité - Sp a (k) z-k k=1

Stabilité d’un filtre Filtre stable : si l’entrée est bornée la sortie est aussi bornée les filtres à réponse impulsionnelle finie sont toujours stables les filtres récursifs sont caractérisés par les racines du dénominateur zpA(z) Le filtre 1/A(z) est stable si et seulement si le polynôme dénominateur zpA(z) a toutes ses racines (pôles du filtre) à l’intérieur du cercle de rayon 1 stable instable

Stabilité d’un filtre récursif Exemple élémentaire (filtre du premier ordre) y(t)=x(t) - a(1).y(t-1) |a(1)| < 1  filtre stable A(z) = 1 + a(1) z -1 La réponse impulsionnelle est donnée par h(t) = a(1)t a(1)= -0.95 a(1)= -1.05 filtre stable filtre instable

On peut combiner des filtres en cascade au lieu de B(z)/A(z) B(z) 1/A(z) au lieu de B(z).C(z) B(z) C(z) en parallèle B(z) au lieu de B(z)+C(z) C(z) Interprétation en termes de transformées en z : multiplications et additions de polynômes ou de fractions rationnelles

Filtre récursif du deuxième ordre (simulation d’une équation différentielle avec oscillations amorties) fréquence de résonance : q amortissement r réponse impulsionnelle temps réponse en fréquence r q q 2p-q pôles (racines du dénominateur z2A(z))

Synthèse de son utilisant des filtres récursifs Entrée = suite d’impulsions (mélodie) Sortie (mélodie + timbre) temps temps fréquence fréquence

Code Excited Linear Prediction (CELP) Analyse / Synthèse de la parole en téléphonie mobile Code Excited Linear Prediction (CELP) adresse dans un Dictionnaire de signaux élémentaires Prédiction à long terme (intonation, cordes vocales) Modèle du conduit vocal Informations déduites du signal analysé et transmises au synthétiseur Filtres récursifs de synthèse

fondé sur les probabilités et produisant les coefficients d’un algorithme d’analyse fondé sur les probabilités et produisant les coefficients d’un filtre récursif stable ayant les mêmes caractéristiques spectrales que le signal temps temps temps

Le filtrage linéaire est une des bases du traitement du signal (avec la transformée de Fourier et les probabilités) à partir de laquelle il y a une grande variété d’extensions de plus en plus élaborées Quand on traite un signal fourni par un capteur, il y a la plupart du temps une opération de filtrage En programmation : essentiellement un calcul de produit scalaire de deux vecteurs (somme de produits)