Modélisation de l’effet tunnel à un électron dans les dispositifs à nanocristaux semiconducteurs : effet tunnel assisté par phonon. Audrey Valentin Soutenance de thèse - 05/12/2008 Institut d’Electronique Fondamentale – Université Paris-Sud 11 Directrice de thèse : Sylvie Galdin-Retailleau

Introduction : Mémoires flash Durée de vie du composant Temps de rétention de l’information Tensions de programmation Mémoire flash standard Claquage de l’oxyde Fuites par effet tunnel 12 V Mémoire flash à grille flottante granulaire Mémoire flash à grille flottante granulaire (double îlot) Mémoire flash à jonctions tunnel multiples G S B D 05/12/08

Introduction : Mémoires flash Durée de vie du composant Temps de rétention de l’information Tensions de programmation Mémoire flash standard Claquage de l’oxyde Fuites par effet tunnel 12 V Mémoire flash à grille flottante granulaire Mémoire flash à grille flottante granulaire (double îlot) Mémoire flash à jonctions tunnel multiples G B S D Molas, IEEE Trans. Electron. Devices, 2006 De Salvo, IEDM, 2003 05/12/08

Introduction : Mémoires flash Durée de vie du composant Temps de rétention de l’information Tensions de programmation Mémoire flash standard Claquage de l’oxyde Fuites par effet tunnel 12 V Mémoire flash à grille flottante granulaire Mémoire flash à grille flottante granulaire (double îlot) Blocage de Coulomb Mémoire flash à jonctions tunnel multiples G S B D Ohba, IEEE Trans. Electron Devices, 2002 05/12/08

Introduction : Mémoires flash Durée de vie du composant Temps de rétention de l’information Tensions de programmation Mémoire flash standard Claquage de l’oxyde Fuites par effet tunnel 12 V Mémoire flash à grille flottante granulaire Mémoire flash à grille flottante granulaire (double îlot) Blocage de Coulomb Mémoire flash à jonctions tunnel multiples 6V G S B D Deleruyelle, Microelectronic Engineering , 2004 05/12/08

Introduction : Mémoires flash Modélisation du chargement de la grille flottante d’une mémoire flash à jonctions tunnel multiples : étude des structures comportant des nanocristaux semiconducteurs Structure à double barrière : électrode / isolant / nanocristal / isolant / électrode Structure à triple barrière : électrode / isolant / nanocristal / isolant / nanocristal / isolant / électrode B G S D G G S B D S B D 05/12/08

Introduction : Modélisation des dispositifs Modélisation électrique (théorie orthodoxe) Modélisation physique (thèse de J. Sée, 2003) Modélisation électrique de la jonction tunnel Structure électronique calculée par une résolution des équations couplées de Schrödinger et Poisson Fréquences de transfert tunnel G obtenues par la règle d’or de Fermi à l’aide des paramètres électriques de la jonction tunnel Fréquences de transfert tunnel G obtenues par la règle d’or de Fermi à l’aide des énergies et des fonctions d’onde des électrons Courant calculé par l’équation maîtresse ou par une méthode Monte-Carlo Rapide Faibles T, V G(V) Lent Y2 EFG e2 Y1 e1 -eV EFD 05/12/08

Introduction : Modélisation physique Structure électronique calculée par une résolution des équations couplées de Schrödinger et Poisson Fréquences de transfert tunnel obtenues par la règle d’or de Fermi La conservation de l’énergie est exprimée par un facteur d(E-ei). L’élément de matrice est calculé à partir des fonctions d’onde. Courant calculé par une méthode Monte-Carlo / équation maîtresse Y2 EFG e2 Y1 ECG e1 -eV EFD ECD Thèse de J. Sée (2003) 05/12/08

Introduction : Modélisation physique Structure électronique calculée par une résolution des équations couplées de Schrödinger et Poisson Fréquences de transfert tunnel obtenues par la règle d’or de Fermi Courant calculé par une méthode Monte-Carlo / équation maîtresse Tirage au sort des temps de vol ti connaissant les fréquences de transfert. Calcul des probabilités Pn d’avoir n électrons dans la boîte par cumul de ces temps de vol. Calcul du courant (méthode de l’équation maîtresse). Y2 EFG e2 Y1 ECG e1 -eV EFD ECD T = 30 K Thèse de J. Sée (2003) 05/12/08

Introduction : Problématiques Courant dans un dispositif à triple barrière : Sans tenir compte de la largeur des niveaux, les fréquences de transfert sont sous-estimées. Problème identique à celui posé par l’étude de la relaxation dans un nanocristal III-V. Sychugov, Phys.Rev.Lett 2005 05/12/08

Introduction : Problématiques Bockelmann, Phys.Rev.B 1990 Courant dans un dispositif à triple barrière : Sans tenir compte de la largeur des niveaux, les fréquences de transfert sont sous-estimées. Problème identique à celui posé par l’étude de la relaxation dans un nanocristal III-V. Seebeck, Phys.Rev.B 2005 05/12/08

Introduction : Problématiques Courant dans un dispositif à triple barrière : Sans tenir compte de la largeur des niveaux, les fréquences de transfert sont sous-estimées. Problème identique à celui posé par l’étude de la relaxation dans un nanocristal III-V. Influence des phonons sur le transport : Fréquences de transfert > fréquences d’interaction  transport cohérent Fréquences de transfert < fréquences d’interaction  transport séquentiel 05/12/08

Plan Les phonons dans les nanocristaux L’Adiabatic Bond Charge Model Caractérisation des modes de vibration L’élargissement par collision dans un nanocristal Self-energy et fonction spectrale Etude de la relaxation Influence sur le transport Courant électrique dans un dispositif à 2 nanocristaux Fréquences de transfert entre deux nanocristaux Courant obtenu Conclusion 05/12/08

Plan Les phonons dans les nanocristaux L’Adiabatic Bond Charge Model Caractérisation des modes de vibration Spectres Raman Densités d’états Modes surfaciques Modes manquants L’élargissement par collision dans un nanocristal Self-energy et fonction spectrale Etude de la relaxation Influence sur le transport Courant électrique dans un dispositif à 2 nanocristaux Fréquences de transfert entre deux nanocristaux Courant obtenu Conclusion 05/12/08

L’Adiabatic Bond Charge Model Théorie classique du cristal harmonique Modélisation de la liaison covalente Introduction de charges ponctuelles au milieu de la liaison. Mouvement adiabatique des charges. Interactions prises en compte Ressort entre les atomes Ressort entre les atomes et les charges Réaction à la variation d’angle Interactions coulombiennes Ressort Variation d’angle -2z z Interactions coulombiennes Masse de l’atome de silicium Matrice dynamique Vecteurs propres : déplacement des atomes Valeurs propres : fréquences de phonons Weber, Phys.Rev.B 1977 05/12/08

L’Adiabatic Bond Charge Model Application au silicium massif Application aux nanocristaux de silicium 2 atomes par maille élémentaire : matrice 6×6 NSi atomes par nanocristal : matrice 3NSi×3NSi Résolution de l’équation pour chaque valeur du vecteur d’onde Résolution unique de l’équation, pas de vecteur d’onde Utilisation de la constante de Madelung aM Utilisation d’une constante de Madelung effective aMeff Cristal infini : pas de conditions aux limites Conditions aux limites libres ou fixes Comparaison avec des résultats d’expériences de diffraction de neutrons Comparaison avec des résultats d’expériences de spectroscopie Raman 05/12/08

Spectres Raman Modèle de Richter : l’intensité du spectre Raman est une fonction lorentzienne. Largeur : largeur expérimentale Amplitude : corrélation entre les modes du Si massif et les modes du nanocristal Position : fréquence du mode du nanocristal Comparaison avec des résultats expérimentaux* : décalage décroissant de la raie optique pour un rayon du nanocristal croissant. Amplitude Position Largeur *Faraci, Phys.Rev.B (2006) 05/12/08

Densités d’états Conditions aux limites libres Conditions aux limites fixes R = 1 nm R = 2,2 nm 05/12/08

Modes surfaciques Vibration supérieure à la moyenne n = 10,4 THz n = 2 THz Conditions aux limites libres n = 14 THz Conditions aux limites fixes R = 2,2 nm Vibration inférieure à la moyenne 05/12/08

Modes surfaciques Mode surfacique R = 0,5 nm Mode volumique 05/12/08

Modes surfaciques Projection des modes du nanocristal sur la base des modes du Si massif Conditions aux limites libres Conditions aux limites libres Conditions aux limites fixes Conditions aux limites fixes R = 2,2 nm 05/12/08

Modes manquants Projection des modes du nanocristal sur la base des modes du Si massif. Conditions aux limites libres Conditions aux limites fixes R = 2,2 nm 05/12/08

Plan Les phonons dans les nanocristaux L’Adiabatic Bond Charge Model Caractérisation des modes de vibration L’élargissement par collision dans un nanocristal Self-energy et fonction spectrale Etude de la relaxation Modèle Fréquences d’interaction et temps de vie obtenus Influence de la température Transport cohérent et transport séquentiel Influence sur le transport Courant électrique dans un dispositif à 2 nanocristaux Fréquences de transfert entre deux nanocristaux Courant obtenu Conclusion 05/12/08

Self-energy et fonction spectrale Elargissement par collision (collisional broadening) : élargissement des niveaux dû à l’incertitude sur l’énergie induit par le couplage électron-phonon. Le couplage électron-phonon est représenté par la self-energy* Approximation de Born auto-cohérente Equation de Dyson Somme sur les fréquences w E E *Král, Phys.Rev.B (1998) 05/12/08

Self-energy et fonction spectrale Elargissement par collision (collisional broadening) : élargissement des niveaux dû à l’incertitude sur l’énergie induit par le couplage électron-phonon. Le couplage électron-phonon est représenté par la self-energy* L’élargissement d’un niveau est donné par la fonction spectrale Largeur : partie imaginaire de la self-energy Position : partie réelle de la self-energy E E Re[S(E)] -2.Im[S(E)] e E Aj(E) *Král, Phys.Rev.B (1998) 05/12/08

Self-energy et fonction spectrale Présence de pics secondaires La largeur des pics est influencée par l’énergie du phonon, la température… Augmentation de l’énergie de phonon Diminution de la température Deux niveaux d’énergie, R = 1 nm. 05/12/08

Etude de la relaxation : modèle On doit adapter la règle d’or de Fermi pour qu’elle tienne compte de la largeur des niveaux Règle standard : le terme d(ei – ef ± hnp) rend compte de la conservation de l’énergie. Règle adaptée* : l’intégrale de recouvrement rend compte de l’incertitude sur l’énergie. hnp hnp E E ei ef ei ef hnp Ai(E) Af(E) E *Kim, Phys.Rev.B (1987) 05/12/08

Etude de la relaxation : modèle Deux niveaux calculés (0 et 1) donc 4 transitions possibles. Temps de vie sur les niveaux t0 et t1 : inverse des fréquences d’interaction. hnp hnp E E ei ef ei ef hnp Ai(E) Af(E) 0 → 1 E 0 → 0 1 → 1 1 → 0 *Kim, Phys.Rev.B (1987) 05/12/08

Fréquences d’interaction et temps de vie 1 → 0 > 0 → 1 : le niveau fondamental est plus stable. 1 → 0 > 0 → 0 : les niveaux sont très éloignés les uns des autres. 0 → 1 0 → 0 1 → 1 1 → 0 05/12/08

Influence de la température Cas 0 → 0 : Les fréquences d’interactions diminuent avec la température car les fonctions spectrales s’affinent. 0 → 1 0 → 0 1 → 1 1 → 0 05/12/08

Transport cohérent ou séquentiel ? b Calcul des fréquences de transfert tunnel entre le nanocristal et les électrodes*. Comparaison entre les fréquences d’interaction et les fréquences tunnel : le transport séquentiel est bien reproduit par le modèle. b e2 EFG ECG e1 -eV EFD ECD T = 300 K R =2,2 nm b = 1,5 nm *Thèse de J. Sée (2003) 05/12/08

Plan Les phonons dans les nanocristaux L’Adiabatic Bond Charge Model Caractérisation des modes de vibration L’élargissement par collision dans un nanocristal Self-energy et fonction spectrale Etude de la relaxation Influence sur le transport Courant électrique dans un dispositif à 2 nanocristaux Fréquences de transfert entre deux nanocristaux Courant obtenu Conclusion 05/12/08

Fréquences de transfert entre 2 dots Adaptation de la règle d’or de Fermi par introduction d’une intégrale de recouvrement. Règle standard : le terme d(ei1 – ei2) rend compte de la conservation de l’énergie. Le passage n’est possible que quand les niveaux sont alignés. Règle adaptée : l’intégrale de recouvrement rend compte de l’incertitude sur l’énergie. E E E E 1 2 1 2 ef ei ef ei -eV12 E E 1 2 A2(E) -eV12 A1(E) 05/12/08

Fréquences de transfert entre 2 dots Apparition d’un pic lorsque les potentiels chimiques sont proches. Elargissement du pic lorsque la température augmente. R1 =2,2 nm, R2 = 1,1 nm, n1 = n2 = 4 THz, b = 1,5 nm g1 = 3 l2 = 12 g1 = 2 l2 = 12 g1 = 1 l2 = 12 05/12/08

Courant obtenu Détermination de toutes les fréquences de transfert Calcul du courant par la méthode Monte-Carlo / équation maîtresse. b T = 300 K R1 =2,2 nm R2 = 1,1 nm n1 = n2 = 4 THz b = 1,5 nm EFG ECG e1 e2 -eV EFD ECD 05/12/08

Courant obtenu Détermination de toutes les fréquences de transfert Calcul du courant par la méthode Monte-Carlo / équation maîtresse. T = 300 K R1 =2,2 nm R2 = 1,1 nm n1 = n2 = 4 THz b = 1,5 nm 05/12/08

Courant obtenu Influence de la fréquence du phonon Influence de la température R1 =2,2 nm R2 = 1,1 nm b = 1,5 nm R2 = 1,1 nm 05/12/08

Courant obtenu Influence de l’épaisseur de la barrière T = 300 K R1 =2,2 nm R2 = 1,1 nm n1 = n2 = 4 THz b b 1 2 1 2 S S 05/12/08

Courant obtenu Influence de la taille des nanocristaux T = 300 K n1 = n2 = 4 THz b = 1,5 nm R1 =2,2 nm R2 = 1,1 nm R1 =2,2 nm R2 = 1,1 nm R1 =2,0 nm R2 = 1,3 nm R1 =2,0 nm R2 = 1,1 nm 05/12/08

Plan Les phonons dans les nanocristaux L’Adiabatic Bond Charge Model Caractérisation des modes de vibration L’élargissement par collision dans un nanocristal Self-energy et fonction spectrale Etude de la relaxation Influence sur le transport Courant électrique dans un dispositif à 2 nanocristaux Fréquences de transfert entre deux nanocristaux Courant obtenu Conclusion 05/12/08

Conclusion Détermination des modes de phonons dans les nanocristaux de silicium Reproduction satisfaisante des spectres Raman Mise en évidences de modes volumiques et surfaciques Disparition des modes de bord de zone de Brillouin Etude de la relaxation dans un nanocristal Obtention de fonctions spectrales comportant plusieurs pics Relaxation faible Transport séquentiel Calcul du courant dans un dispositif à triple barrière La température et la fréquences de phonon influencent la largeur du pic de courant Les dimensions des nanocristaux influencent la position du pic de courant L’épaisseur de la barrière influence l’amplitude du courant 05/12/08

Conclusion Poursuite de l’étude Sélection des phonons dans les nanocristaux Calcul des modes de phonons dans des nanocristaux de plus grandes tailles Modélisation d’un transistor à un électron et comparaison des caractéristiques courant-tension avec des caractéristiques expérimentales. Modélisation d’une mémoire flash par couplage du simulateur à nanocristaux à un simulateur de MOSFET. Etude des dispositifs germanium, InAs… S D G Hofheinz, Phys.Rev.B (2007) 05/12/08

Merci de votre attention !

Compléments : structure à 1 dot 05/12/08

Compléments : calcul des modes de phonons Spring Bond-bending -2z z Coulombic interactions Harmonic crystal Adiabatic approximation Force constants Madelung constants Equilibrium condition 05/12/08

Compléments : phonons dans les NC 05/12/08

Compléments : projections Définition de la base : Développement des vecteurs du NC sur la base : Définition du produit scalaire : 05/12/08

Compléments : fonctions spectrales 05/12/08

Compléments : interaction électron-phonon 05/12/08

Compléments : courant dans un dispositif à 2 NC 05/12/08

Compléments : courant avec phonons sélectionnés n1 = n2 = 4 THz T = 300 K R1 =2,2 nm R2 = 1,1 nm b = 1,5 nm 05/12/08